Преобразование матриц строка на столбец. Элементарные преобразования матриц и их свойства. Эквивалентность слау при элементарных преобразованиях

03.03.2020

В настоящее время, в связи с перестройкой системы дошкольного воспитания, практические работники ДОУ ищут новые, нетрадиционные формы работы с родителями, основанные на сотрудничестве и взаимодействии педагогов и родителей. Приведем примеры некоторых из них.

Семейные клубы. В отличие от родительских собраний, в основе которых назидательно-поучительная форма общения, клуб строит отношения с семьей на принципах добровольности, личной заинтересованности. В таком клубе людей объединяет общая проблема и совместные поиски оптимальных форм помощи ребенку. Тематика встреч формулируется и запрашивается родителями. Семейные клубы - динамичные структуры. Они могут сливаться в один большой клуб или дробиться на более мелкие, - все зависит от тематики встречи и замысла устроителей.

Значительным подспорьем в работе клубов является библиотека специальной литературы по проблемам воспитания, обучения и развития детей. Педагоги следят за своевременным обменом, подбором необходимых книг, составляют аннотации новинок.

Учитывая занятость родителей, используются и такие нетрадиционные формы общения с семьей, как "Родительская почта" и "Телефон доверия". Любой член семьи имеет возможность в короткой записке высказать сомнения по поводу методов воспитания своего ребенка, обратиться за помощью к конкретному специалисту и т.п. Телефон доверия помогает родителям анонимно выяснить какие-либо значимые для них проблемы, предупредить педагогов о замеченных необычных проявлениях детей.

Нетрадиционной формой взаимодействия с семьей является и библиотека игр. Поскольку игры требуют участия взрослого, это вынуждает родителей общаться с ребенком. Если традиция совместных домашних игр прививается, в библиотеке появляются новые игры, придуманные взрослыми вместе с детьми.

Бабушек привлекает кружок "Очумелые ручки". Современная суета и спешка, а также теснота или, наоборот, излишняя роскошь современных квартир почти исключили из жизни ребенка возможность заниматься рукоделием, изготовлением поделок. В помещении, где работает кружок, дети и взрослые могут найти все необходимое для художественного творчества: бумагу, картон, бросовые материалы и др.

Сотрудничество психолога, воспитателей и семьи помогает не только выявить проблему, ставшую причиной сложных взаимоотношений родителей с ребенком, но и показать возможности ее решения. При этом необходимо стремиться к установлению равноправных отношений между педагогом-психологом, воспитателем и родителями. Они характеризуются тем, что у родителей формируется установка на контакт, возникают доверительные отношения к специалистам, которые, однако, не означают полного согласия, оставляя право на собственную точку зрения. Взаимоотношения протекают в духе равноправия партнеров. Родители не пассивно выслушивают рекомендации специалистов, а сами участвуют в составлении плана работы с ребенком дома.

Таким образом, взаимодействие детского сада с семьей можно осуществлять по-разному. Важно только избегать формализма.

Одна из главных задач детского сада - это обеспечение конституционного права каждого ребенка на охрану его жизни и здоровья. Здоровье детей невозможно обеспечить без рационального питания, которое является необходимым условием их гармоничного роста, физического и нервно-психического развития, устойчивости к действиям инфекций и др. неблагоприятных факторов внешней среды. Правильно организованное питание обеспечивает организм всеми необходимыми ему пищевыми веществами (белками, жирами, углеводами, витаминами и минеральными солями) и энергией. Именно поэтому, задача сохранения и укрепления здоровья ребенка, как для семьи, так и образовательного учреждения, по-прежнему остается актуальной. Питание ребенка в дошкольном учреждении и в семье должно сочетаться.

Одним из направлений в работе МДОУ детского сада № 42 "Золотая искорка" (г.Тюмень) является сотрудничество с семьей в вопросах рационального питания детей дошкольного возраста. Значимость поставленной работы состоит в том, чтобы достичь грамотного подхода родителей к проблеме сохранения и укрепления здоровья ребенка, через организацию рационального питания в семье.

Здоровье ребенка зависит от уровня осведомленности родителей в вопросах организации правильного здорового питания в семье. С целью определения перспектив взаимодействия МДОУ и семьи в воспитании здорового ребенка, организации рационального питания было проведено анкетирование, участниками которого стали 220 родителей, дети которых посещают МДОУ.

По результатам анкетирования выяснилось, что 64% родителей отметили отсутствие необходимых знаний и умений как причину, мешающую уделять внимание здоровому питанию ребенка. В ходе работы над данной проблемой были продуманы как традиционные, так и нетрадиционные формы взаимодействия с родителями.

1) повысить психолого-педагогические знания родителей (лекции, семинары- практикумы, консультации);
2) вовлечь родителей в воспитательно-образовательный процесс (родительские собрания, совместные творческие дела, помощь в укреплении материально-технической базы);
3) способствовать активному участию родителей в организации питания МДОУ.

Формы и методы работы с родителями направлены на повышение педагогической культуры родителей, на укрепление взаимодействия МДОУ и семьи, на усиление ее воспитательного потенциала в вопросах рационального питания. Систематическое разностороннее педагогическое просвещение родителей осуществляется через ознакомление их как с основами теоретических знаний, так и с практической работой. Содержание работы с родителями охватывает широкий круг вопросов, освещает все стороны организации питания дошкольников.

Наиболее интересны родителям нетрадиционные формы, потому, что они позволяют познакомить их с психолого-педагогической литературой по организации питания детей дошкольного возраста, с данными исследований ученых, погрузить родителей в среду педагогического общения, дать образцы установок на правильную организацию питания в домашних условиях, повысить педагогическую грамотность, увеличить время для совместного общения, создать единое родительское сообщество (кулинарный практикум, школа заботливых родителей и т.д.) Большинство родителей пришли к выводу, что посещение занятий, семинаров - практикумов помогло им решить многие проблемы с организацией питания детей. Дети стали охотнее есть овощные и молочные блюда, перестали есть в сухомятку, полюбили супы, каши и кисели, освоили основные правила приема пищи, умение вести себя за столом, меньше стали болеть. У детей сформировалось позитивное отношение к режиму питания и продуктам питания. Родители благодарны педагогам МДОУ за интересные форму занятий, содержательные консультации и полезные семинары-практикумы.

К сожалению, не все родители, в меру своей занятости, могут участвовать в специально организованной работе детского сада по организации питания. Одним из путей решения данной проблемы стало создание ежемесячной газеты для родителей "Разговор о правильном питании". Выпуск газеты позволяет наладить тесный контакт между детским садом и родителями, вооружить каждого родителя знаниями и советами по организации питания в семье.

Положительные моменты данной формы взаимодействия заключаются в следующем: родителям предлагается объективная информация, и они решают, что с ней делать; родители не ограничены во времени, они могут взять издание домой и изучить его в удобное время; информация, представленная в издании касается детей, посещающих МДОУ; родители всегда в курсе событий, происходящих в детском саду и связанных с вопросами питания их детей; родителям предоставляется возможность через издание участвовать в конкурсах, задавать интересующие вопросы по организации питания в МДОУ, реализовать право на участие в совместных творческих делах.

Внедренный в 2009 году проект "Приобщение родительской общественности к вопросам рационального питания дошкольников" позволил не только расширить знания родителей о полезных и вредных продуктах, об особенностях животной и растительной пищи, о разнообразии блюд, но и выработать практические навыки по приготовлению некоторых из них. Таким образом, систематическая, планомерная, целенаправленная деятельность всего коллектива помогла добиться определенных результатов.

Элементарные преобразования матрицы - это такие преобразования матрицы , в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений , которую представляет эта матрица.

Элементарные преобразования используются в методе Гаусса для приведения матрицы к треугольному или ступенчатому виду.

Определение

Элементарными преобразованиями строк называют:

В некоторых курсах линейной алгебры перестановка строк матрицы не выделяется в отдельное элементарное преобразование в силу того, что перестановку местами любых двух строк матрицы можно получить, используя умножение любой строки матрицы на константу k {\displaystyle k} , и прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на константу k {\displaystyle k} , k ≠ 0 {\displaystyle k\neq 0} .

Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов .

Элементарные преобразования обратимы .

Обозначение указывает на то, что матрица A {\displaystyle A} может быть получена из B {\displaystyle B} путём элементарных преобразований (или наоборот).

Свойства

Инвариантность ранга при элементарных преобразованиях

Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях).
Если A ∼ B {\displaystyle A\sim B} , то r a n g A = r a n g B {\displaystyle \mathrm {rang} A=\mathrm {rang} B} .

Эквивалентность СЛАУ при элементарных преобразованиях

Назовём элементарными преобразованиями над системой линейных алгебраических уравнений :

перестановку уравнений;
умножение уравнения на ненулевую константу;
сложение одного уравнения с другим, умноженным на некоторую константу.

То есть элементарные преобразования над её расширенной матрицей. Тогда справедливо следующее утверждение: Напомним, что две системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.

Нахождение обратных матриц

Теорема (о нахождении обратной матрицы).
Пусть определитель матрицы A n × n {\displaystyle A_{n\times n}} не равен нулю, пусть матрица B {\displaystyle B} определяется выражением B = [ A | E ] n × 2 n {\displaystyle B=_{n\times 2n}} . Тогда при элементарном преобразовании строк матрицы A {\displaystyle A} к единичной матрице E {\displaystyle E} в составе B {\displaystyle B} одновременно происходит преобразование E {\displaystyle E} к A − 1 {\displaystyle A^{-1}} .

Матричная алгебра - Элементарные преобразования матриц

Элементарные преобразования матриц

Элементарные преобразования матрицы находят широкое применение в различных математических задачах. Например, они составляют основу известного метода Гаусса (метода исключения неизвестных) для решения системы линейных уравнений .

К элементарным преобразованиям относятся:
1) перестановка двух строк (столбцов);
2) умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на некоторое число, не равное нулю;
3) сложение двух строк (столбцов) матрицы, умноженных на одно и то же число, отличное от нуля.

Две матрицы называются эквивалентными , если одна из них может быть получена из другой после конечного числа элементарных преобразований. В общем случае эквивалентные матрицы равными не являются, но имеют один и тот же ранг.

Вычисление определителей с помощью элементарных преобразований

С помощью элементарных преобразований легко вычислить определитель матрицы. Например, требуется вычислить определитель матрицы:

где ≠ 0.
Тогда можно вынести множитель :

теперь, вычитая из элементов j - го столбцасоответствующие элементы первого столбца, умноженные на, получим определитель:

который равен: где

Затем повторяем те же действия для и, если все элементы то тогда окончательно получим:

Если для какого-нибудь промежуточного определителя окажется, что его левый верхний элемент , то необходимо переставить строки или столбцы втак, чтобы новый левый верхний элемент был не равен нулю. Если Δ ≠ 0, то это всегда можно сделать. При этом следует учитывать, что знак определителя меняется в зависимости от того, какой элемент является главным (то есть, когда матрица преобразована так, что). Тогда знак соответствующего определителя равен.

П р и м е р. С помощью элементарных преобразований привести матрицу

К элементарным преобразованиям относятся:

1) перестановка двух строк (столбцов);

2) умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на некоторое число, не равное нулю;

3) сложение двух строк (столбцов) матрицы, умноженных на одно и то же число, отличное от нуля.

Вычисление определителей с помощью элементарных преобразований

Тогда можно вынести множитель :

теперь, вычитая из элементов j -го столбца соответствующие элементы первого столбца, умноженные на , получим определитель:

который равен: где

Затем повторяем те же действия для и, если все элементы то тогда окончательно получим:

Если для какого-нибудь промежуточного определителя окажется, что его левый верхний элемент , то необходимо переставить строки или столбцы в так, чтобы новый левый верхний элемент был не равен нулю. Если Δ ≠ 0, то это всегда можно сделать. При этом следует учитывать, что знак определителя меняется в зависимости от того, какой элемент является главным (то есть, когда матрица преобразована так, что ). Тогда знак соответствующего определителя равен .

П р и м е р. С помощью элементарных преобразований привести матрицу

к треугольному виду.

Р е ш е н и е. Сначала умножим первую строку матрицы на 4, а вторую на (–1) и прибавим первую строку ко второй:

Теперь умножим первую строку на 6, а третью на (–1) и прибавим первую строку к третьей:

Наконец, умножим 2-ю строку на 2, а 3-ю на (–9) и прибавим вторую строку к третьей:

В результате получена верхняя треугольная матрица

Пример. Решить систему линейных уравнений, используя матричный аппарат:

Р е ш е н и е. Запишем данную систему линейных уравнений в матричной форме:

Решение данной системы линейных уравнений в матричной форме имеет вид:

где – матрица, обратная к матрице А .

Определитель матрицы коэффициентов А равен:

следовательно, матрица А имеет обратную матрицу .