Deterministik sinyallerin korelasyon-spektral analizi. Sinyal korelasyon fonksiyonu

Sinyallerin spektral analizinin anlamı, bir sinyalin basit harmonik salınımların toplamı (veya integrali) olarak nasıl temsil edilebileceğini ve dalga biçiminin bu salınımların genliklerinin ve fazlarının frekans dağılımının yapısını nasıl belirlediğini incelemektir. Buna karşılık, sinyallerin korelasyon analizinin görevi, sinyaller veya bir sinyalin zaman kaydırmalı kopyaları arasındaki benzerlik ve fark derecesinin bir ölçüsünü belirlemektir. Bir ölçümün tanıtılması, sinyallerin benzerlik derecesinin nicel ölçümlerine giden yolu açar. Sinyallerin spektral ve korelasyon özellikleri arasında belirli bir ilişki olduğu gösterilecektir.

3.1 Otokorelasyon işlevi (ACF)

Sonlu bir enerjiye sahip bir sinyalin otokorelasyon işlevi, bu sinyalin iki kopyasının çarpımının integralinin değeridir, bu zaman kaymasının τ bir fonksiyonu olarak kabul edilen, τ zamanına göre birbirine göre kaydırılır:

Sinyal sonlu bir zaman aralığında algılanırsa , ardından ACF'si şu şekilde bulunur:

,

nerede
- kaydırılan sinyal kopyalarının örtüşen aralığı.

Otokorelasyon fonksiyonunun değerinin ne kadar büyük olduğuna inanılmaktadır.
bu değerde , sinyalin iki kopyası zaman aralığına göre ne kadar fazla kaydırılırsa birbirine benzer. Bu nedenle, korelasyon fonksiyonu
ve sinyalin kaydırılmış kopyaları için bir benzerlik ölçüsüdür.

Sıfır değeri etrafında rastgele salınımlar formuna sahip sinyaller için bu şekilde tanıtılan benzerlik ölçüsü aşağıdaki karakteristik özelliklere sahiptir.

Sinyalin kaydırılan kopyaları birbirine göre yaklaşık olarak dalgalanıyorsa, bu onların benzerliklerinin bir işaretidir ve ACF büyük pozitif değerler alır (büyük pozitif korelasyon). Kopyalar neredeyse antifazda salınırsa, ACF büyük negatif değerler alır (sinyal kopyalarının benzerliği, büyük negatif korelasyon).

Maksimum ACF, kopyalar çakıştığında, yani kayma olmadığında elde edilir. Sıfır ACF değerleri, sinyal kopyalarının ne benzerliğinin ne de benzerliğinin fark edilmediği vardiyalarda elde edilir (sıfır korelasyon, yaklaşık korelasyon yok).

Şekil 3.1, 0 ila 1 s zaman aralığında belirli bir sinyalin uygulanmasının bir parçasını gösterir. Sinyal rastgele sıfır civarında dalgalanıyor. Sinyal varlığının aralığı sonlu olduğundan, enerjisi de sonludur. ACF'si aşağıdaki denkleme göre hesaplanabilir:

.

Bu denkleme göre MathCad'de hesaplanan sinyalin otokorelasyon fonksiyonu Şekil 1'de gösterilmektedir. 3.2. Korelasyon fonksiyonu sadece sinyalin kendisine benzer olduğunu (kaydırma τ = 0) değil, aynı zamanda birbirine göre yaklaşık 0.063 s kaydırılan sinyal kopyalarının da (otokorelasyon fonksiyonunun yanal maksimumu) bazı işaretlere sahip olduğunu gösterir. benzerlik. Bunun aksine, sinyalin 0.032 s kaydırılan kopyaları birbirine anti-benzer, yani bir anlamda birbirine zıt olmalıdır.

Şekil 33, bu iki kopyanın çiftlerini göstermektedir. Şekil, sinyal kopyalarının benzerliği ve anti-benzerliği ile ne kastedildiğini göstermektedir.

Korelasyon işlevi aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. τ = 0'da otokorelasyon fonksiyonu, sinyal enerjisine eşit en büyük değeri alır.

2. Otokorelasyon işlevi, eşit bir zaman kaydırma işlevidir.
.

3. τ arttıkça, otokorelasyon fonksiyonu sıfıra düşer

4. Sinyal, δ - fonksiyonları türünde süreksizlikler içermiyorsa, o zaman
- sürekli fonksiyon.

5... Sinyal bir elektrik voltajı ise, o zaman korelasyon fonksiyonu boyuta sahiptir.
.

Otokorelasyon fonksiyonunun tanımındaki periyodik sinyaller için aynı integral, sinyal tekrarlama periyoduna bölünür:

.

Tanıtılan korelasyon işlevi aşağıdaki özelliklere sahiptir:

Örneğin, harmonik salınımın korelasyon fonksiyonunu hesaplayalım:

Bir dizi trigonometrik dönüşüm kullanarak sonunda şunu elde ederiz:

Böylece, bir harmonik salınımın otokorelasyon fonksiyonu, sinyalin kendisi ile aynı değişim periyoduna sahip bir kosinüsdür. Salınım periyodunun katları olan kaymalarda harmonik kendine çevrilir ve ACF genliğin karesinin yarısına eşit en büyük değerleri alır. Salınım periyodunun yarısının katları olan zaman kaymaları, bir açıyla faz kaymasına eşdeğerdir.
, bu durumda salınımların işareti değişir ve ACF, negatif ve genliğin karesinin yarısına eşit bir minimum değer alır. Bir periyodun çeyreğinin katları olan kaymalar, örneğin sinüzoidal salınımı kosinüs salınımlarına ve bunun tersini de çevirir. Bu durumda, ACF kaybolur. Otokorelasyon fonksiyonu açısından birbirine göre dörtlü olan bu tür sinyaller birbirinden tamamen farklı çıkıyor.

Sinyal korelasyon fonksiyonu için ifadenin başlangıç ​​fazını içermemesi önemlidir. Faz bilgisi kayboldu. Bu, sinyalin kendisinin sinyal korelasyon fonksiyonundan yeniden yapılandırılamayacağı anlamına gelir. Görüntülemek
göstermenin aksine
bire bir değildir.

Sinyal üretme mekanizmasından, seçtiği korelasyon fonksiyonuna göre bir sinyal yaratan belirli bir demiurge anlıyorsak, o zaman aslında aynı korelasyon fonksiyonuna sahip olan, ancak her birinden farklı olan bir dizi sinyal (bir sinyal topluluğu) oluşturabilir. diğer faz ilişkilerinde.

yaratıcının iradesinden bağımsız olarak özgür iradesinin bir işaretiyle tezahür etme eylemi (bazı rastgele süreçlerin ayrı gerçekleşmelerinin ortaya çıkması),

sinyale karşı yabancı şiddetin sonucu (herhangi bir fiziksel miktarın ölçümü sırasında elde edilen ölçüm bilgisinin sinyaline giriş).

Durum, herhangi bir periyodik sinyal ile benzerdir. Temel periyodu T olan bir periyodik sinyalin bir genlik spektrumu varsa
ve faz spektrumu
, daha sonra sinyal korelasyon fonksiyonu aşağıdaki formu alır:

.

Zaten bu örneklerde, korelasyon fonksiyonu ile sinyalin spektral özellikleri arasında belirli bir bağlantı kendini gösterir. Bu oranlar daha sonra ayrıntılı olarak tartışılacaktır.

Sinyaller ve lineer sistemler. sinyallerin korelasyonu

Konu 6. Sinyallerin korelasyonu

En büyük korku ve en büyük cesaret şevki aynı derecede mideyi bulandırıyor ve ishale neden oluyor.

Michel Montaigne. Fransız hukuk düşünürü, 16. yüzyıl

Bu numara! İki fonksiyon, üçüncü ile %100 ilişkilidir ve birbirine diktir. Şey, Yüce Allah'ın dünyanın yaratılışında şakaları vardı.

Anatoly Pyshmintsev. Ural okulunun Novosibirsk jeofizikçisi, XX yüzyıl

1. Sinyallerin otokorelasyon fonksiyonları. Otokorelasyon fonksiyonları (ACF) kavramı. Zaman sınırlı ACF sinyalleri. Periyodik sinyallerin ACF'si. Otokovaryans fonksiyonları (ACF). Ayrık sinyallerin ACF'si. Gürültülü sinyallerin ACF'si. Kod sinyallerinin ACF'si.

2. Sinyallerin (CCF) çapraz korelasyon fonksiyonları. Çapraz korelasyon işlevi (CCF). Gürültülü sinyallerin çapraz korelasyonu. Kesikli sinyallerin CCF'si.Gürültüde periyodik sinyallerin değerlendirilmesi. Çapraz korelasyon katsayısı fonksiyonu.

3. Korelasyon fonksiyonlarının spektral yoğunlukları. ACF spektral yoğunluğu. Sinyal korelasyon aralığı. CCF'nin spektral yoğunluğu. FFT kullanarak korelasyon fonksiyonlarının hesaplanması.

Tanıtım

Korelasyon (korelasyon) ve ortalanmış sinyaller için özel durumu - kovaryans, bir sinyal analizi yöntemidir. İşte yöntemi kullanma seçeneklerinden biri. Sonlu T uzunluğunda bir x (t) dizisinin bulunabileceği veya olmayabileceği, zamansal konumu bizi ilgilendiren bir s (t) sinyali olduğunu varsayalım. Bu diziyi, s(t) sinyali boyunca kayan T uzunluğundaki bir zaman penceresinde aramak için, s(t) ve x(t) sinyallerinin skaler ürünleri hesaplanır. Böylece, aranan x (t) sinyalini, argümanı boyunca kayan sinyale s (t) "uygularız" ve nokta çarpım değerine göre, karşılaştırma noktalarındaki sinyallerin benzerlik derecesini tahmin ederiz.

Korelasyon analizi, sinyallerde (veya dijital sinyal verisi dizisinde), bağımsız değişken tarafından sinyallerin değerlerindeki değişiklikler arasında, yani birin büyük değerleri olduğunda, belirli bir ilişkinin varlığını belirlemeyi mümkün kılar. sinyal (sinyalin ortalama değerlerine göre) başka bir sinyalin büyük değerleriyle (pozitif korelasyon) ilişkilendirilir veya tersine, bir sinyalin küçük değerleri diğerinin büyük değerleriyle ilişkilendirilir ( negatif korelasyon) veya iki sinyalin verileri hiçbir şekilde ilişkili değildir (sıfır korelasyon).

Sinyallerin işlevsel uzayında, bu bağlantı derecesi, korelasyon katsayısının normalleştirilmiş birimlerinde ifade edilebilir, yani. sinyal vektörleri arasındaki açının kosinüsünde ve buna göre 1'den (sinyallerin tam çakışması) -1'e (tam zıt) kadar değerler alacaktır ve ölçüm birimlerinin değerine (ölçek) bağlı değildir .

Otokorelasyon varyantında, argüman boyunca kayan kendi kopyası ile s(t) sinyalinin skaler ürünü benzer bir teknik kullanılarak belirlenir. Otokorelasyon, mevcut sinyal örneklerinin önceki ve sonraki değerlerine (sinyal değerlerinin korelasyon yarıçapı olarak adlandırılan) ortalama istatistiksel bağımlılığını tahmin etmenin yanı sıra sinyalde periyodik olarak tekrarlanan elemanların varlığını ortaya çıkarmayı mümkün kılar.

Rastgele olmayan bileşenleri belirlemek ve bu süreçlerin rastgele olmayan parametrelerini değerlendirmek için rastgele süreçlerin analizinde korelasyon yöntemleri özellikle önemlidir.

"Korelasyon" ve "kovaryans" açısından bazı karışıklıklar olduğunu unutmayın. Matematik literatüründe, "kovaryans" terimi, merkezli fonksiyonlara ve "korelasyon" keyfi olanlara uygulanır. Teknik literatürde ve özellikle sinyaller ve bunların işleme yöntemleri ile ilgili literatürde sıklıkla tam tersi terminoloji kullanılmaktadır. Bu çok önemli değildir, ancak edebi kaynaklarla tanışırken bu terimlerin kabul edilen amacına dikkat etmelisiniz.

Literatür: [L.1], 77-83 arası

[L.2], 22-26 arası

[L.3], s.39-43

Birçok radyo mühendisliği probleminde, genellikle bir sinyali ve kopyasını bir süre kaydırılmış olarak karşılaştırmak gerekir.

ACF kaldırıldığında, çarpanın girişlerinden birine bir sinyal gönderilir ve aynı sinyal ikinciye gönderilir, ancak bir süre geciktirilir. Ürünle orantılı sinyal , entegrasyon işlemine tabi tutulur. Entegratörün çıkışında, sabit bir değerde ACF'nin değeriyle orantılı bir voltaj üretilir. Gecikme süresini değiştirerek sinyalin ACF'sini oluşturabilirsiniz.

CCF'nin deneysel yapısı için, sinyal çarpanın girişlerinden birine beslenir ve sinyal gecikme cihazına beslenir (gelen devreler noktalı bir çizgi ile gösterilir). Aksi takdirde, cihaz benzer şekilde çalışır. Açıklanan cihazın çağrıldığını unutmayın. bağdaştırıcı ve sinyalleri almak ve işlemek için çeşitli radyo mühendisliği sistemlerinde yaygın olarak kullanılmaktadır.

Şimdiye kadar, sonlu enerjili periyodik olmayan sinyallerin korelasyon analizini gerçekleştirdik. Aynı zamanda, teorik olarak sonsuz enerjiye, ancak sonlu bir ortalama güce sahip olan periyodik sinyaller için genellikle böyle bir analiz ihtiyacı ortaya çıkar. Bu durumda, ACF ve CCF, dönemin ortalaması alınarak hesaplanır ve ortalama güç anlamına gelir (sırasıyla içsel veya karşılıklı). Böylece, periyodik bir sinyalin ACF'si:

, (2.66)

ve çoklu periyotlu iki periyodik sinyalin çapraz korelasyon fonksiyonu:

, (2.67)

dönemin en büyük değeri nerede.

Harmonik sinyalin otokorelasyon fonksiyonunu bulun

,

açısal frekans nerede, başlangıç ​​aşamasıdır.

Bu ifadeyi (2.66) yerine koyarak ve iyi bilinen trigonometrik bağıntıyı kullanarak integrali hesaplayarak:

.

Ele alınan örnekten, herhangi bir periyodik sinyal için geçerli olan aşağıdaki sonuçlar çıkarılabilir.

1. Periyodik bir sinyalin ACF'si, aynı periyoda sahip periyodik bir fonksiyondur.

2. Periyodik bir sinyalin ACF'si, argümanın çift bir işlevidir.

3. Değer, 1 Ohm'luk bir dirençte serbest bırakılan ve bir düzenliliğe sahip olan ortalama gücü temsil ettiğinde.

4. Periyodik bir sinyalin ACF'si, sinyalin ilk aşaması hakkında bilgi içermez.

Ayrıca periyodik sinyalin korelasyon aralığına dikkat edilmelidir.

Şimdi aynı frekanstaki, ancak genlikleri ve başlangıç ​​fazları farklı olan iki harmonik sinyalin çapraz korelasyon fonksiyonunu hesaplayalım.

ve .

(2.67) kullanarak ve basit hesaplamalar yaparak,

,

nerede - sinyallerin ilk aşamaları arasındaki fark ve.

Bu nedenle, söz konusu iki sinyalin çapraz korelasyon fonksiyonu, ilk fazlar arasındaki fark hakkında bilgi içerir. Bu önemli özellik, çeşitli radyo mühendisliği cihazlarının, özellikle bazı radyo otomasyon sistemleri ve diğerleri için senkronizasyon cihazlarının yapımında yaygın olarak kullanılmaktadır.

Sonuç olarak, periyodik olmayan bir sinyalin ACF'si ile tanımı [bkz. (2.51)] yukarıda verilmiştir. Bunun için (2.49)'da kullanıyoruz. Sonra ilişkiyi alırız

fonksiyon kompleksi eşleniği nerede.

şimdi koyduk ve ... (2.45)'e göre, Fourier dönüşümü şu şekildedir:

Diğer tarafta

.

Bu ifadeleri (2.68)'de yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

.

Ancak (2.51)'e göre bir enerji tayfı vardır. Sonunda

. (2.69)

Doğrudan Fourier dönüşümüne uygulayarak, ilişkiye ulaşırız.

. (2.70)

Böylece, ACF ve sinyal enerji spektrumu bir çift Fourier dönüşümü ile ilişkilidir.

ve reel ve çift fonksiyonlar olduğundan, (2.69) ve (2.70) ifadeleri sırasıyla şu şekilde yazılabilir:

, (2.71)

. (2.72)

Dikkate alınan korelasyon-spektral analizi, etkin spektrum genişliğinin bir yorumunu daha yapmamızı sağlar. Enerji spektrumu biliniyorsa, etkin spektrum genişliği aşağıdaki gibi belirlenir:

. (2.73)

Başka bir deyişle, ikinci kenarı olan tek taraflı bir spektrumun eğrisi altında kalan alana eşit alana sahip bir dikdörtgenin bir kenarıdır (Şekil 2.13). Açıktır ki, enerji spektrumunun etkin genişliğinin korelasyon aralığının değeri ile çarpımı sabit bir değerdir.

.

Dolayısıyla, bu durumda da belirsizlik ilkesinin tezahürüyle karşı karşıyayız: korelasyon aralığı ne kadar büyükse, enerji spektrumunun genişliği o kadar küçüktür ve bunun tersi de geçerlidir.

2. bölüm için gözden geçirme soruları

1. Temel trigonometrik fonksiyonlar sistemi nedir?

2. Trigonometrik Fourier serisini nasıl yazabilirsiniz?

3. Periyodik bir sinyalin genlik ve faz spektrumunun tanımını verin.

4. Dikdörtgen darbeler dizisinin spektrumunun doğası nedir?

5. Tek bir darbenin spektrumu ile periyodik bir darbe dizisinin spektrumu arasındaki fark nedir?

6. İleri ve geri Fourier dönüşümlerini yazın.

7. Dikdörtgen bir sinyalin etkin süresi ve etkin spektrum genişliği nasıl bulunur?

8. Bir delta fonksiyonu biçimindeki bir sinyalin spektrumu nedir?

9. Deterministik bir sinyalin otokorelasyon fonksiyonunun tanımını verin.

10. İki sinyalin çapraz korelasyon işlevi nedir?

11. Çapraz korelasyon katsayısı nasıl bulunur?

12. Periyodik bir sinyalin otokorelasyon fonksiyonu hangi özelliklere sahiptir?

Rayleigh ve Rice dağılımları, sinyal zayıflamasını tam olarak karakterize etmez. Özellikle sinyal zayıflama sürecinin zaman içinde nasıl ilerlediği hakkında bir fikir vermezler. Sürecin zaman içinde iki noktada ele alındığını varsayalım. T ve T+ t, burada t gecikmedir. Daha sonra sönümlemenin istatistiksel ilişkisi aşağıdaki gibi tanımlanan korelasyon fonksiyonu ile verilir.

Söz konusu sürecin durağan olduğunu varsayalım. Bu, ortalama, varyans ve çapraz korelasyon gibi istatistiksel parametrelerinin zamandan bağımsız olduğu anlamına gelir. T... Dar bant işlemi için (2.3.37), şeklinde korelasyon fonksiyonunu elde ederiz.

Kareleme sinyallerinin korelasyon fonksiyonlarını tanıtalım:

Şimdi (2.3.61) ifadesini forma dönüştürüyoruz.

Daha fazla dönüşüm için (2.3.63) trigonometrik ilişkiler kullanıyoruz.

(2.3.64)

Sonuç olarak şunu anlıyoruz

Süreç durağan olduğu için korelasyon fonksiyonu zamana bağlı olmamalıdır. Bu gereklilik, (2.3.65)'deki ikinci ve dördüncü terimler sıfıra eşitse karşılanabilir, bu da karesel sinyallerin korelasyon fonksiyonları aşağıdaki ilişkileri sağlıyorsa mümkündür:

Böylece, durağan bir normal dar bant sinyalinin korelasyon fonksiyonu şu şekildedir:

Korelasyon fonksiyonunun t'nin tek bir fonksiyonu olduğunu gösterelim. Bunun için dikkate alıyoruz

(2.3.66)'daki ikinci formülde (2.3.68) yerine koyun ve şunu bulun:

. (2.3.69)

Bu nedenle, kareleme sinyallerinin çapraz korelasyon fonksiyonu tektir. Bu, aynı anda kareleme sinyallerinin korelasyonlu olmadığı önemli bir sonucu ima eder, yani, .

Şimdi karmaşık genliğin korelasyonunu ele alalım.

Korelasyon fonksiyonunun tanımına göre şunu yazabiliriz.

. (2.3.71)

Fonksiyon karmaşıktır ve simetri özelliğine sahiptir, yani.

. (2.3.72)

(2.3.70)'i (2.3.71) ile değiştirin ve (2.3.62)'yi dikkate alın. Sonra (2.3.71) formunu alır

(2.3.66)'yı hesaba katarsak, bu formül büyük ölçüde basitleştirilmiştir:

Dar bantlı bir sinyalin korelasyon fonksiyonu (2.3.67) ve karmaşık genliğinin korelasyon fonksiyonu (2.3.74) birbiriyle ilişkilidir. Bu bağlantı, (2.3.67) ve (2.3.74) karşılaştırılarak kolayca ortaya çıkar. Sonuç olarak, sahip olacağımız

Bir sinyalin korelasyon özellikleri, spektral özellikleriyle yakından ilişkilidir. Özellikle, spektral güç yoğunluğu, korelasyon fonksiyonunun Fourier dönüşümü kullanılarak bulunur ve şuna eşittir:

. (2.3.76)

Korelasyon fonksiyonu karmaşık iken bunun gerçek bir fonksiyon olduğunu gösterelim. Bunun için (2.3.76) ifadesinden karmaşık konjugasyon alıyoruz ve korelasyon fonksiyonunun simetri özelliğini (2.3.72) dikkate alıyoruz. Sonuç olarak şunu anlıyoruz

(2.3.77) ile (2.3.76) karşılaştırdığımızda şuna sahibiz: ... Bu, karmaşık genlik spektrumunun gerçek bir fonksiyon olduğunu kanıtlar.

Aşağıda, çok yollu kanaldaki zayıflamayı tanımlayan sinyalin karmaşık genliğinin spektrumunun aşağıdaki gibi olduğu gösterilecektir. hatta geçerli frekansın işlevi, yani ... Daha sonra korelasyon fonksiyonu geçerli olur. Bunu kanıtlamak için, spektral güç yoğunluğunun ters Fourier dönüşümü formunda korelasyon fonksiyonunu formda yazıyoruz.

. (2.3.78)

(2.3.78) ifadesinin karmaşık konjugasyonunu alıyoruz ve fonksiyonun paritesini hesaba katıyoruz. anladık

(2.3.79) ile (2.3.78) karşılaştırdığımızda şuna sahibiz: ... Bu, çift fonksiyon olarak gerçek spektrum ile karmaşık genliğin korelasyon fonksiyonunun gerçek bir fonksiyon olduğunu kanıtlar.

Korelasyon fonksiyonunun gerçekliğini hesaba katarak, (2.3.74)'den şunu buluruz:

. (2.3.80)

(2.3.75) kullanarak, dar bantlı bir sinyalin korelasyon fonksiyonunu şu şekilde elde ederiz:

Şimdi, çok yollu bir kanalda sinyal zayıflamasını tanımlayan spektrum ve korelasyon fonksiyonunu açık bir biçimde bulmak için görevi belirleyelim. Zamanda iki noktayı tekrar düşünün T ve T+ t. t süresi boyunca verici, alıcı ve yeniden yansıtıcılar konumlarını değiştirmez ve parametrelerini muhafaza etmezlerse, alıcıdaki toplam sinyal değişmez. Sinyal zayıflamasının gerçekleşmesi için verici, alıcı ve (veya) yeniden yansıtıcıların karşılıklı hareketi gereklidir. Sadece bu durumda alıcı antenin girişinde toplanan sinyallerin genliklerinde ve fazlarında bir değişiklik olur. Bu hareket ne kadar hızlı gerçekleşirse, sinyal zayıflaması o kadar hızlı gerçekleşir ve bu nedenle spektrumu daha geniş olmalıdır.

Alıcının bir hızda hareket ettiğini varsayacağız. v verici sabit kalırken. Verici anteni belirli bir frekansta harmonik sinyal veriyorsa F, daha sonra Doppler etkisi nedeniyle, alıcı farklı bir frekansta bir sinyal kaydeder. Bu frekanslar arasındaki farka Doppler frekans kayması denir. Frekans ofsetinin değerini bulmak için Şek. Verici, alıcı, dalga vektörünü gösteren 2.16 k düzlem dalga ve vektör v alıcı hızı.

Pirinç. 2.16. Doppler frekans kaymasını belirlemek için

Alıcının düzgün hareket denklemini formda yazıyoruz

O zaman alınan sinyalin fazı zamanın bir fonksiyonu olacaktır.

burada q, hız vektörü ile dalga vektörü arasındaki açıdır.

Anlık frekans, fazın türevi olarak tanımlanır. Bu nedenle, (2.3.83) türevini alarak ve dalga sayısını dikkate alarak,

. (2.3.84)

Alıcının düzgün hareketi ile, (2.3.84)'den aşağıdaki gibi bir frekans kayması gözlemlenir:

Örneğin, hızın v= 72 km/sa = 20 m/s, verici frekansı F= 900 MHz ve açı q = 0. Dalga boyu l ve frekans Fışık hızıyla bağlantılı ile birlikte oran ile birlikte=fl... Dolayısıyla elimizde l = C/F= 0.33 m Şimdi (2.3.85) den Doppler frekans kaymasını buluyoruz fd= 60Hz.

Doppler frekans kayması (2.3.85), açıya bağlı olarak hem pozitif hem de negatif değerler alır. Q hız vektörü ve dalga vektörü arasında. Doppler kayması, şuna eşit olan maksimum değeri aşmaz: f maks=v/ l. Formül (2.3.85) uygun biçimde şu şekilde temsil edilebilir:

. (2.3.86)

Çok sayıda yeniden yansıtıcı olduğunda, bunların alıcının etrafına, örneğin Şekil 2'de gösterildiği gibi bir daire içinde eşit olarak dağıtıldığını varsaymak doğaldır. 2.17. Bu yeniden yansıtıcı modeline Clarke modeli denir.

Pirinç. 2.17. Clark'ın modelinde reflektörlerin düzenlenmesi

Clarke modeli durumunda güç spektral yoğunluğu aşağıdaki şekilde belirlenir. Frekans aralığını seçin df d yakın frekans fd... Bu aralıkta bulunan alınan güç eşittir. Bu güç, Doppler frekans kaymasından (2.3.86) kaynaklanmaktadır. Açısal boşlukla ilgili güç kaybı NS q, eşittir, harcanan gücün açısal yoğunluğu nerede. Aynı Doppler kaymasının fd açısal koordinatları ± q olan yeniden yansıtıcılar için gözlendi. Bu, aşağıdaki kardinalite eşitliği anlamına gelir

Toplam harcanan gücün bire eşit olduğunu ve aralıkta düzgün bir şekilde dağıldığını varsayacağız.

Pirinç. 2.18. için Doppler Jakes spektrumu f maks= 10Hz

Karmaşık genliğin korelasyon fonksiyonunu (2.3.71) belirlemek için, (2.3.78)'deki spektral güç yoğunluğu için elde edilen (2.3.90) ifadesinin yerine kullanılması gerekir. Sonuç olarak şunu anlıyoruz

İki maksimum Doppler frekansı için karmaşık genliğin korelasyon fonksiyonunun (2.3.91) modülü f maks= 10 Hz (düz çizgi) ve f maks= 30 Hz (kesik çizgi) Şek. 2.19. Kanaldaki sinyal zayıflamasının korelasyon süresini 0,5 düzeyinde tahmin edersek, o zaman şuna eşittir: ... Bu 24 ms verir f maks= 10 Hz ve 8 ms için f maks= 30 Hz.

Pirinç. 2.19. için korelasyon fonksiyon modülü f maks= 10 ve 30 Hz (düz ve noktalı eğriler,
sırasıyla).

Genel olarak, Doppler spektrumu Jakes spektrumundan (2.3.90) farklı olabilir. D aralığı fd sıfırdan önemli ölçüde farklı olan, denir Doppler saçılması kanalda. Fourier dönüşümü ile ilişkili olduğundan, o zaman tutarlılık zamanı T koh kanal t değeridir koh»1 / D fd, kanal özelliklerinin değişim oranını karakterize eder.

(2.3.90) ve (2.3.91) türetildiğinde, saçılan sinyalin ortalama gücünün bire eşit olduğu varsayılmıştır. Bu aynı zamanda (2.3.91) ve (2.3.71)'den de kaynaklanmaktadır, çünkü

Korelasyon katsayısı, korelasyon fonksiyonunun ortalama güce oranına eşittir. Dolayısıyla bu durumda (2.3.91) ifadesi de korelasyon katsayısını verir.

(2.3.81)'den dar bant sinyalinin korelasyon fonksiyonunu şuna eşit buluyoruz:

Pratikte, genlik gibi rastgele değişkenlerin korelasyon özellikleri A ve anlık güç P=A 2. Bu değerler genellikle örneğin doğrusal veya kare kanun dedektörünün çıkışında kaydedilir. Korelasyon özellikleri, belirli bir şekilde karmaşık genliğin korelasyon özellikleriyle ilişkilidir. Z(T).

Anlık güç korelasyon katsayısı, aşağıdaki şekildeki basit bir ilişki ile karmaşık genlik korelasyon katsayısı ile ilgilidir:

. (2.3.94)

Bu formülün bir kanıtını verelim. Korelasyon katsayısının tanımına dayanarak şunu yazabiliriz:

, (2.3.95)

güç korelasyon fonksiyonu nerede.

Belirleyici bir sinyal bileşeni olmadığını ve genliğin olmadığını varsayalım. A Rayleigh dağılımına sahiptir. Sonra<P>=<A 2> = 2σ 2. (2.3.95)'e dahil edilen miktar ... Rayleigh dağılım yasasını kullanarak şunu buluruz:

. (2.3.96)

(2.3.96)'yı dikkate alarak, basit cebirsel dönüşümler kullanarak (2.3.95)'den güç korelasyon fonksiyonunu buluyoruz. anladık

. (2.3.97)

Güç korelasyon fonksiyonu, formdaki karesel bileşenler cinsinden de ifade edilebilir.

Eşitliğin (2.3.98) sağ tarafında çarpma ve ortalama alma yaparak, aşağıdaki dördüncü dereceden anları temsil eden terimleri elde ederiz:

Bu nedenle dördüncü mertebenin momentlerini hesaplamamız gerekir. Dördün bileşenlerini hesaba katalım. ben ve Q sıfır ortalamalı ve aynı varyans σ 2 olan Gauss rastgele değişkenleridir ve iyi bilinen dördüncü dereceden moment açma kuralını kullanırlar. Buna göre, eğer dört rastgele değişken varsa a, B, C, ve NS, o zaman aşağıdaki formül geçerlidir:

Bu kuralı uygulayarak, (2.3.99)'da dördüncü dereceden momentleri hesaplıyoruz. Sonuç olarak, sahip olacağımız

(2.3.101)

(2.3.96), (2.3.66) ve (2.3.74) dikkate alınırsa, (2.3.98) şeklinde yazılabilir.

Şimdi bunu hesaba katmak gerekiyor ... Sonuç olarak, güç korelasyon fonksiyonu için aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

Elde edilen formülü (2.3.97) ile karşılaştırdığımızda, (2.3.94)'ün geçerliliğine ikna oluyoruz.

Clarke kanal modeli için korelasyon katsayısının (2.3.91) ile belirlendiğini bulduk. (2.3.94) dikkate alındığında, Clarke modeli durumunda güç korelasyon katsayısı şuna eşit olacaktır:

. (2.3.104)

Genlik korelasyon özellikleri Açok daha karmaşık bir matematiksel aygıt kullanılarak araştırılır ve burada ele alınmaz. Ancak, genliğin korelasyon katsayısına dikkat edilmelidir. A aşağıdaki yaklaşık eşitliği sağlar.

Radyo mühendisliğinin gelişiminin ilk aşamalarında, belirli özel uygulamalar için en iyi sinyalleri seçme sorunu çok keskin değildi. Bu, bir yandan iletilen mesajların (telgraf mesajları, radyo yayıncılığı) nispeten basit yapısından kaynaklanıyordu; Öte yandan, karmaşık şekilli sinyallerin, kodlama, modülasyon ve mesaja ters dönüşüm için ekipmanla birlikte pratik uygulamasının uygulanması zor oldu.

Şu anda, durum kökten değişti. Modern radyo-elektronik komplekslerinde, sinyallerin seçimi, öncelikle üretim, dönüşüm ve alım tekniklerinin uygunluğu ile değil, sistemin tasarımında öngörülen problemlerin optimal çözüm olasılığı ile belirlenir. Özel olarak seçilmiş özelliklere sahip sinyallere olan ihtiyacın nasıl ortaya çıktığını anlamak için aşağıdaki örneği inceleyin.

Zaman kaydırmalı sinyallerin karşılaştırılması.

Şarkı aralığını ölçmek için tasarlanmış darbeli bir radarın çalışmasının basitleştirilmiş fikrine dönelim. Burada, ölçüm nesnesi hakkındaki bilgiler değere dahildir - problama ve alınan sinyaller arasındaki zaman gecikmesi. Sondalamanın ve alınan ve sinyallerin şekilleri herhangi bir gecikmede aynıdır.

Mesafeyi ölçmek için tasarlanmış bir radar sinyal işleme cihazının blok şeması, Şekil 2'de gösterildiği gibi görünebilir. 3.3.

Sistem, bazı sabit zaman aralıkları için iletilen "referans" sinyali geciktiren bir dizi öğeden oluşur.

Pirinç. 3.3. Sinyal gecikme süresi ölçüm cihazı

Gecikmeli sinyaller, alınan sinyalle birlikte şu prensibe göre çalışan karşılaştırma cihazlarına beslenir: çıkış sinyali ancak her iki giriş salınımı birbirinin "kopyası" ise görünür. Belirtilen olayın meydana geldiği kanal numarasını bilerek, gecikmeyi ve dolayısıyla hedefe olan menzili ölçmek mümkündür.

Böyle bir cihaz daha doğru çalışacaktır, sinyal ve zaman içinde kaydırılan "kopyası" birbirinden ne kadar farklı olursa.

Bu bize belirli bir uygulama için "hangi sinyallerin iyi olduğuna dair iyi bir fikir" verir.

Şimdi, ortaya konan problemin tam matematiksel formülasyonuna geçelim ve bu konu dizisinin, sinyallerin enerji spektrumları teorisi ile doğrudan ilişkili olduğunu gösterelim.

Sinyalin otokorelasyon fonksiyonu.

Sinyal ile onun zaman kaydırmalı kopyası arasındaki farkın derecesini ölçmek için, sinyalin ve kopyanın skaler ürününe eşit olan sinyalin otokorelasyon fonksiyonunu (ACF) tanıtmak gelenekseldir:

Aşağıda, incelenen sinyalin, zaman içinde lokalize edilmiş bir dürtüsel karaktere sahip olduğunu, böylece (3.15) formunun bir integralinin kesinlikle var olduğunu varsayacağız.

Doğrudan, otokorelasyon fonksiyonunun sinyal enerjisine eşit olduğu görülmektedir:

ACF'nin en basit özelliklerinden biri paritesidir:

Gerçekten de (3.15) integralindeki değişkenleri değiştirirsek, o zaman

Son olarak, otokorelasyon fonksiyonunun önemli bir özelliği şudur: zaman kaymasının herhangi bir değeri için, ACF modülü sinyal enerjisini aşmaz:

Bu gerçek doğrudan Cauchy - Bunyakovsky eşitsizliğinden kaynaklanmaktadır (bkz. Bölüm 1):

Bu nedenle, ACF, her zaman pozitif olan merkezi bir maksimuma sahip simetrik bir eğri gibi görünmektedir. Bu durumda, sinyal tipine bağlı olarak, otokorelasyon fonksiyonu hem monoton olarak azalan hem de salınan bir karaktere sahip olabilir.

Örnek 3.3. Dikdörtgen bir video darbesinin ACF'sini bulun.

İncirde. 3.4, a, genliği U ve süresi olan bir dikdörtgen video darbesini gösterir Burada ayrıca zaman içinde gecikme yönünde kaydırılan "kopyası" da gösterilmektedir. İntegral (3.15) bu durumda grafiksel bir yapı temelinde basit bir şekilde hesaplanır. Gerçekten de, ve ve'nin çarpımı, yalnızca sinyallerin çakışması gözlemlendiğinde zaman aralığı içinde sıfır değildir. İncir. 3.4'te, vardiya darbe süresini geçmiyorsa bu zaman aralığının eşit olduğu görülebilir. Böylece, dikkate alınan sinyal için

Böyle bir fonksiyonun grafiği, Şekil 2'de gösterilen bir üçgendir. 3.4, b. Üçgenin tabanının genişliği, darbe genişliğinin iki katıdır.

Pirinç. 3.4. Dikdörtgen bir video darbesinin ACF'sini bulma

Örnek 3.4. Dikdörtgen bir radyo darbesinin ACF'sini bulun.

Formun bir radyo sinyalini ele alacağız

ACF'nin çift olduğunu önceden bilerek, integrali (3.15) ayarlayarak hesaplıyoruz. nerede

nereden kolayca elde ederiz

Doğal olarak, at değeri bu darbenin enerjisine eşit olur (bkz. Örnek 1.9). Formül (3.21) sınırlar içinde kalan tüm kaymalar için dikdörtgen bir radyo darbesinin ACF'sini tanımlar Kaymanın mutlak değeri darbe süresini aşarsa, otokorelasyon işlevi aynı şekilde ortadan kalkar.

Örnek 3.5. Dikdörtgen video darbeleri dizisinin ACF'sini belirleyin.

Radarda, aynı zaman aralığında birbirini takip eden aynı şekle sahip darbe paketleri olan sinyaller yaygın olarak kullanılmaktadır. Böyle bir patlamayı tespit etmek ve parametrelerini ölçmek için, örneğin zamandaki konum, donanımın ACF'yi hesaplamak için algoritmalar uygulayan cihazlar oluşturulur.

Pirinç. 3.5. Üç özdeş video darbesinden oluşan bir patlamanın ACF'si: a - darbelerin patlaması; b - ACF grafiği

İncirde. 3.5, c, üç özdeş dikdörtgen video darbesinden oluşan bir paketi göstermektedir. Ayrıca (3.15) formülüyle hesaplanan otokorelasyon fonksiyonunu da gösterir (Şekil 3.5, b).

ACF'nin maksimum değerine şu anda ulaşıldığı açıkça görülmektedir, ancak gecikme, dizi periyodunun bir katı olduğu ortaya çıkarsa (bizim durumumuzda), ACF'nin yan lobları gözlemlenir, yükseklik olarak ana ile karşılaştırılabilir. lob. Dolayısıyla bu sinyalin korelasyon yapısının bilinen kusurundan bahsedebiliriz.

Sonsuz genişletilmiş bir sinyalin otokorelasyon işlevi.

Zaman içinde sonsuzca uzayan periyodik dizileri dikkate almak gerekirse, sinyallerin korelasyon özelliklerini inceleme yaklaşımı biraz değiştirilmelidir.

Böyle bir dizinin, zaman içinde yerelleştirilmiş bazılarından, yani dürtü, sinyalden, ikincisinin süresi sonsuz olma eğilimindeyken elde edildiğini varsayacağız. Elde edilen ifadelerin sapmasını önlemek için, yeni ACF'yi sinyalin skaler ürününün ortalama değeri ve kopyası olarak tanımlarız:

Bu yaklaşımla, otokorelasyon fonksiyonu, bu iki sinyalin ortalama karşılıklı gücüne eşit olur.

Örneğin, sonsuz bir kosinüs dalgası için ACF'yi bulmak isteyen kişi, bir radyo darbesi için elde edilen formülü (3.21) bir süre ile kullanabilir ve ardından verilen tanım (3.22) limitine gidebilir. Sonuç olarak, alıyoruz

Bu ACF'nin kendisi periyodik bir fonksiyondur; değeri eşittir

Bir sinyalin enerji spektrumu ile otokorelasyon fonksiyonu arasındaki ilişki.

Okuyucu, bu bölümün materyalini incelerken, korelasyon analizi yöntemlerinin, spektral ayrıştırma ilkeleriyle hiçbir bağlantısı olmayan bazı özel teknikler olarak hareket ettiğini düşünebilir. Ancak öyle değil. ACF ve sinyal enerji spektrumu arasında yakın bir ilişki olduğunu göstermek kolaydır.

Gerçekten de, formül (3.15) uyarınca, ACF bir nokta çarpımdır: Burada sembol, sinyalin zaman kaydırmalı bir kopyasını gösterir ve,

Genelleştirilmiş Rayleigh formülüne (2.42) dönersek, eşitliği yazabiliriz.

Zaman kaydırmalı spektral yoğunluk

Böylece şu sonuca varıyoruz:

Spektral yoğunluk modülünün karesinin, sinyalin enerji spektrumunu temsil ettiği bilinmektedir. Böylece, enerji spektrumu ve otokorelasyon fonksiyonu Fourier dönüşümü ile ilişkilidir:

Ters bir ilişki olduğu da açıktır:

Bu sonuçlar temelde iki nedenden dolayı önemlidir. İlk olarak, enerjilerinin spektrum üzerindeki dağılımına dayalı olarak sinyallerin korelasyon özelliklerini tahmin etmenin mümkün olduğu ortaya çıktı. Sinyal bant genişliği ne kadar geniş olursa, otokorelasyon fonksiyonunun ana lobu o kadar dar olur ve başlangıç ​​anını doğru bir şekilde ölçme olasılığı açısından sinyal o kadar mükemmel olur.

İkinci olarak, formüller (3.24) ve (3.26) enerji spektrumunu deneysel olarak belirlemenin yolunu gösterir. İlk önce otokorelasyon fonksiyonunu elde etmek ve ardından Fourier dönüşümünü kullanarak sinyalin enerji spektrumunu bulmak genellikle daha uygundur. Bu teknik, gerçek zamanlı olarak yüksek hızlı bilgisayarlar kullanan sinyallerin özelliklerinin incelenmesinde yaygınlaşmıştır.

Dolayısıyla, korelasyon aralığı şu şekildedir:

ne kadar az olursa, sinyal spektrumunun üst kesim frekansı o kadar yüksek olur.

Sinyal otokorelasyon fonksiyonunun tipine getirilen kısıtlamalar.

Otokorelasyon fonksiyonu ve enerji spektrumu arasında bulunan bağlantı, verilen korelasyon özelliklerine sahip bir sinyalin varlığı için ilginç ve ilk bakışta açık olmayan bir kriter oluşturmayı mümkün kılar. Gerçek şu ki, herhangi bir sinyalin enerji spektrumu tanım gereği pozitif olmalıdır [bkz. formül (3.25)]. Bu koşul, ACF'nin herhangi bir seçimi için yerine getirilmeyecektir. Örneğin, alırsanız

ve karşılık gelen Fourier dönüşümünü hesaplayın, ardından

Bu alternatif fonksiyon, herhangi bir sinyalin enerji spektrumunu temsil edemez.