Matrislerde işlemlerin bazı özellikleri.
matris ifadeleri

Ve şimdi, sadece yeni materyalleri değil, aynı zamanda üzerinde çalışacağımız konunun devamı gelecek. matrislerle işlemler.

Matrislerdeki işlemlerin bazı özellikleri

Matrisli eylemlerle ilgili birkaç özellik var, aynı Wikipedia'da ilgili kuralların ince sıralarına hayran kalabilirsiniz. Bununla birlikte, pratikte, gerçek problemlerin çözümünde sadece birkaçı kullanıldığından, birçok özellik belirli bir anlamda "ölüdür". Amacım, özelliklerin uygulamasını belirli örneklerle göstermek ve titiz bir teoriye ihtiyacınız varsa, lütfen başka bir bilgi kaynağı kullanın.

biraz düşünün kuralın istisnaları pratik görevleri yerine getirmek için gerekli olacaktır.

Bir kare matris varsa ters matris, o zaman çarpmaları değişmeli:

Birim matrisi olduğu bir kare matris olarak adlandırılır. ana köşegen birimler bulunur ve öğelerin geri kalanı sıfıra eşittir. Örneğin: vb.

nerede aşağıdaki özellik doğrudur: keyfi bir matris çarpılırsa sol veya sağ uygun boyutlardaki kimlik matrisinde, sonuç orijinal matris olacaktır:

Gördüğünüz gibi, matris çarpımı burada da değişmeli.

Bir tür matris alalım, diyelim ki önceki problemin matrisi: .

İlgilenenler şunları kontrol edebilir ve şunlardan emin olabilir:

Matrisler için kimlik matrisi, özellikle az önce ele alınan örneklerden açıkça görülen, sayılar için sayısal birimin bir analogudur.

Matris çarpımına göre sayısal bir faktörün değiştirilebilirliği

Matrisler ve gerçek sayılar için aşağıdaki özellik doğrudur:

Yani, sayısal faktör, matrislerin çarpımına "karışmaması" için ileriye doğru hareket ettirilebilir (ve edilmelidir).

Not : Genel olarak, özelliğin formülasyonu eksiktir - "lambda" matrisler arasında herhangi bir yere, hatta sonuna yerleştirilebilir. Üç veya daha fazla matris çarpılırsa kural doğru kalır.

Örnek 4

Ürünü hesaplayın

Çözüm:

(1) Mülkiyete göre sayısal faktörü ileri doğru hareket ettirin. Matrislerin kendileri yeniden düzenlenemez!

(2) - (3) Matris çarpımı gerçekleştirin.

(4) Burada her sayıyı 10'a bölebilirsiniz, ancak daha sonra matris öğeleri arasında ondalık kesirler görünecektir, bu iyi değildir. Bununla birlikte, matristeki tüm sayıların 5'e bölünebildiğini fark ettik, bu yüzden her bir elemanı onunla çarpıyoruz.

Cevap:

Kendi kendine çözüm için küçük bir maskaralık:

Örnek 5

Eğer hesapla

Çözüm ve cevap dersin sonunda.

Bu tür örnekleri çözerken hangi teknik önemlidir? numara ile uğraşıyoruz son yerde .

Lokomotife bir araba daha bağlayalım:

Üç matrisi nasıl çarparım?

Her şeyden önce, üç matrisin çarpılmasının sonucu NE olmalıdır? Kedi fare doğurmaz. Matris çarpımı mümkünse, sonuç da bir matris olacaktır. Hmmm, peki cebir öğretmenim cebirsel bir yapının elemanlarına göre kapalılığını nasıl açıkladığımı görmüyor =)

Üç matrisin çarpımı iki şekilde hesaplanabilir:

1) bulun ve ardından "tse" matrisiyle çarpın:;

2) önce bul, sonra çarp.

Sonuçlar kesinlikle örtüşecek ve teoride bu özelliğe matris çarpımının birleştirilebilirliği denir:

Örnek 6

Matrisleri iki şekilde çarpma

algoritma çözümler iki adımlı: iki matrisin çarpımını bulun, sonra tekrar iki matrisin çarpımını bulun.

1) Formülü kullanıyoruz

İlk işlem:

İkinci işlem:

2) formülü kullanıyoruz

İlk işlem:

İkinci işlem:

Cevap:

Tabii ki daha tanıdık ve standart olan ilk çözüm, “her şey yolunda”. Bu arada, sipariş hakkında. Ele alınan problemde, genellikle bir tür matris permütasyonlarından bahsettiğimiz yanılsaması ortaya çıkar. Burada değiller. tekrar hatırlatırım Genel olarak MATRİS DEĞİŞTİRİLEMEZ... Yani ikinci adımda, ikinci adımda çarpma işlemi yapıyoruz ama hiçbir durumda. Sıradan sayılarla böyle bir sayı geçer, ancak matrislerle - hayır.

Çarpmanın birleştirilebilirlik özelliği yalnızca kare için değil, aynı zamanda keyfi matrisler için de geçerlidir - çarpıldıkları sürece:

Örnek 7

Üç matrisin ürününü bulun

Bu, kendin yap çözümüne bir örnektir. Örnek çözümde hesaplamalar iki şekilde yapılır, hangi yolun daha karlı ve daha kısa olduğunu analiz edin.

Matris çarpımının birleştirilebilirlik özelliği, çok sayıda faktör için gerçekleşir.

Şimdi matrislerin güçlerine geri dönme zamanı. Matrisin karesi en başta düşünülür ve gündemdeki soru şudur:

Bir matris ve daha yüksek güçler nasıl küplenir?

Bu işlemler de sadece kare matrisler için tanımlanmıştır. Bir küpün kare matrisini oluşturmak için ürünü hesaplamanız gerekir:

Aslında bu, matris çarpımının çağrışım özelliği ile üç matrisin çarpımının özel bir durumudur:. Ve matrisin kendisiyle çarpımı matrisin karesidir:

Böylece, çalışan bir formül elde ederiz:

Yani görev iki adımda gerçekleştirilir: önce matrisin karesi alınmalı ve ardından ortaya çıkan matris matrisle çarpılmalıdır.

Örnek 8

Matrisi bir kübe dönüştürün.

Bu, bağımsız bir çözüm için küçük bir görevdir.

Matrisin dördüncü güce yükseltilmesi doğal bir şekilde gerçekleştirilir:

Matris çarpımının ilişkilendirilebilirliğini kullanarak, iki çalışma formülü elde ederiz. Birincisi: üç matrisin ürünüdür.

1) . Başka bir deyişle, önce buluruz, sonra onu "bh" ile çarparız - bir küp alırız ve sonunda tekrar çarpma yaparız - dördüncü derece olacaktır.

2) Ama bir adım daha kısa bir çözüm var: Yani, ilk adımda kareyi buluyoruz ve küpü atlayarak çarpma işlemini gerçekleştiriyoruz.

Örnek 8 için ek aktivite:

Matrisi dördüncü güce yükseltin.

Az önce belirtildiği gibi, bunu yapmanın iki yolu vardır:

1) Küp biliniyorsa çarpma işlemini yaparız.

2) Ancak, sorunun durumuna göre matrisin oluşturulması gerekiyorsa sadece dördüncü derecede, o zaman yolu kısaltmak avantajlıdır - matrisin karesini bulun ve formülü kullanın.

Hem çözümler hem de cevap dersin sonunda.

Benzer şekilde, matris beşinci ve daha yüksek güçlere yükseltilir. Pratik deneyimlerimden bazen 4. dereceye yükseltme örneklerine rastladığımı söyleyebilirim, ancak beşinci dereceyi hatırlayamıyorum. Ama her ihtimale karşı en uygun algoritmayı vereceğim:

1) bul;
2) bulmak;
3) matrisi beşinci güce yükseltiriz:

Bunlar, belki de, pratik problemlerde faydalı olabilecek matris işlemlerinin tüm ana özellikleridir.

Dersin ikinci bölümünde ise eşit derecede renkli bir parti bekleniyor.

matris ifadeleri

Her zamanki okul ifadelerini sayılarla tekrarlayalım. Sayısal bir ifade sayılardan, matematiksel sembollerden ve parantezlerden oluşur, örneğin: ... Hesaplarken, bilinen cebirsel öncelik geçerlidir: parantez, sonra çalışır üs alma / kök çıkarma, sonrasında çarpma / bölme ve son ama en az değil - toplama çıkarma.

Sayısal bir ifade anlamlıysa, değerlendirmesinin sonucu bir sayıdır., Örneğin:

matris ifadeleri hemen hemen aynı şekilde düzenlenmiştir! Ana karakterlerin matris olması farkıyla. Ayrıca devrik ve ters matris bulma gibi bazı matrise özgü işlemler.

Matris ifadesini düşünün , bazı matrisler nerede. Bu matris ifadesinde en son üç terim ve toplama/çıkarma işlemleri yapılır.

İlk terimde, önce "bie": matrisini transpoze etmeniz, ardından çarpma işlemini gerçekleştirmeniz ve elde edilen matrise "iki"yi eklemeniz gerekir. Bunu not et devrik işlemi çarpma işlemine göre önceliklidir... Parantezler, sayısal ifadelerde olduğu gibi, eylemlerin sırasını değiştirir: - burada, önce çarpma yapılır, ardından elde edilen matris aktarılır ve 2 ile çarpılır.

İkinci dönemde öncelikle matris çarpımı yapılır ve ters matris zaten üründen alınır. Parantezler kaldırılırsa:, önce ters matrisi bulmanız ve ardından matrisleri çarpmanız gerekir:. Bir matrisin tersini bulmak da çarpmaya göre önceliklidir.

Üçüncü terim ile her şey açıktır: matrisi bir küp haline getiriyoruz ve elde edilen matrise "beş" ekliyoruz.

Matris ifadesi mantıklıysa, hesaplamasının sonucu matristir..

Tüm görevler gerçek testlerden olacak ve en basitinden başlayacağız:

Örnek 9

Verilen matrisler ... Bulmak:

Çözüm: Sıralama belli, önce çarpma, sonra toplama yapılıyor.

Matrisler farklı boyutlarda olduğu için toplama mümkün değildir.

Şaşırmayın, bu tür görevlerde genellikle kasten imkansız eylemler önerilir.

İkinci ifadeyi değerlendirmeye çalışmak:

Her şey yolunda.

Cevap: eylem gerçekleştirilemez, .

n kuvvetine yükseltme işlemi formel olarak kare matrislere uygulanabilir. Bunun için n bir tam sayı olmalıdır. Bu işlemin sonucu tabloda gösterilmiştir. 9.1. Bir m matrisini n kuvvetine yükseltmek için operatöre, bir skaler ile aynı şekilde girebilirsiniz: Hesap Makinesi panelindeki Güç için Yükselt düğmesini tıklatarak veya düğmesine basarak<А>... Yer tutucu göründüğünde, bir güç n değeri girmelisiniz.

Tablo 9.1. Matris üstelleştirme sonuçları

0, M matrisinin boyutunun kimlik matrisidir

1 matris M'nin kendisi

1 M -1 - M'nin matris tersi

2,3, ... MM, (MM) M, ...

2, -3, ... M -1 M -1, (M -1 M -1) M -1, ...

Matrislerin bazı üstel alma örnekleri Liste 9-15'te gösterilmektedir.

Liste 9.15. Bir kare matrisi bir tamsayı gücüne yükseltme örnekleri

dizi vektörleştirme

Mathcad'in vektör cebiri, vectorize operatörü adı verilen biraz sıra dışı bir operatör içerir. Bu operatör genellikle dizilerle çalışmak için tasarlanmıştır. Bir dizinin tüm öğelerinde (yani bir matris veya bir vektör) aynı türde işlemi gerçekleştirmenize izin verir, böylece döngülerin programlanmasını basitleştirir. Örneğin, bazen bir vektörün her bir öğesini başka bir vektörün karşılık gelen öğesiyle çarpmak istersiniz. Doğrudan Mathcad'de böyle bir işlem yoktur, ancak vektörleştirme kullanılarak kolayca gerçekleştirilebilir (Liste 9.16). Bunun için:

· Vektör ifadesini listenin ikinci satırında gösterildiği gibi girin (bu formda çarpma sembolünün vektör nokta çarpım operatörünü gösterdiğine dikkat edin).

· İmleci, giriş satırları vektörleştirilmesi gereken tüm ifadeyi vurgulayacak şekilde hareket ettirin (Şekil 9.3).

Matrix panelindeki Vectorize düğmesine tıklayarak (Şekil 9.3) veya klavye kısayolunu kullanarak vektörleştirme operatörünü girin. +<->.

· Girmek<=>sonucu almak için.

Pirinç. 9.3. vektörleştirme operatörü

Liste 9.16. Bir vektörün öğelerini çarpmak için vektörleştirmeyi kullanma

Vektörleştirme operatörü yalnızca aynı boyuttaki vektörler ve matrislerle kullanılabilir.

Spesifik olmayan Mathcad işlevlerinin çoğu, bir vektörün tüm öğelerinde aynı işlemi gerçekleştirmek için vektörleştirme gerektirmez. Örneğin, trigonometrik fonksiyonların argümanı tanım gereği bir skalerdir. Bir vektör miktarının sinüsünü hesaplamaya çalışırsanız, Mathcad varsayılan olarak her elemanın sinüsünü hesaplayarak ve sonuç olarak karşılık gelen vektörü döndürerek vektörleşecektir. Liste 9.17'de bir örnek gösterilmektedir.

Liste 9.17. Çoğu Mathcad işlevi için vektörleştirme isteğe bağlıdır

Sembolik Matris İşlemleri

Yukarıda bahsedilen tüm matris ve vektör operatörleri sembolik hesaplamalarda kullanılabilir. Sembolik işlemlerin gücü, bunları yalnızca belirli sayılar üzerinde değil, aynı zamanda değişkenler üzerinde de gerçekleştirme yeteneğinde yatmaktadır. Bazı örnekler Liste 9.18'de gösterilmektedir.

Liste 9.18. Vektörler ve matrisler üzerinde sembolik işlem örnekleri

Güçlü bir matematiksel referans olarak sembol işlemciyi kullanmaktan çekinmeyin. Örneğin, lineer cebir alanından bir tanımı geri çağırmak istediğinizde (örneğin, matrisleri çarpma ve ters çevirme kuralları Liste 9.18'in ilk satırlarında gösterilmiştir).

matris fonksiyonları

Vektörler ve matrislerle çalışmayı kolaylaştırmak için tasarlanmış ana yerleşik işlevleri listeleyelim. Matris oluşturmak, matrislerin parçalarını birleştirmek ve ayırmak, matrislerin temel özelliklerini elde etmek vb. için gereklidirler.

Matris oluşturma işlevleri

Bir matris veya vektör oluşturmanın en sezgisel yolu, Matrix araç çubuğundaki ilk düğmeyi kullanmaktır. Ancak çoğu durumda, özellikle karmaşık projeleri programlarken, yerleşik işlevleri kullanarak diziler oluşturmak daha uygundur.

Bir fonksiyon aracılığıyla matris elemanlarının belirlenmesi

Matris (M, N, f) - Her i, j elemanı f (i, j) olan M * N boyutunda bir matris oluşturur (Liste 9.19).

o M - satır sayısı;

o N - sütun sayısı;

o f (i, j) bir fonksiyondur.

Liste 9.19. matris oluşturma

Matris oluşturmak için, temel olarak herhangi bir bağımlılığı üç boyutlu grafikler (yüzey veya uzaysal eğri gibi) biçiminde hızlı ve etkili bir şekilde temsil etmek için kullanılan iki özel işlev daha vardır. İlk (işlev) dışındaki tüm argümanları isteğe bağlıdır. Fonksiyonlardan ilkini ele alalım.

СgeateSrace (F (veya f1, f2, f3), t0, t1, tgrid, fmap) - p işlevi tarafından verilen parametrik uzaysal eğrinin x-, y- ve z-koordinatlarını temsil eden iç içe bir dizinin oluşturulması;

• F (t), tek bir t argümanına göre parametrik olarak tanımlanan üç elemanlı bir vektör fonksiyonudur;
• f1 (t), f2 (t), f3 (t) - skaler fonksiyonlar;
• t0 - t'nin alt sınırı (varsayılan olarak -5);
• t1 - üst limit t (varsayılan 5);
• tgrid - t değişkenine göre ızgara noktalarının sayısı (varsayılan olarak 2o);
• fmap, bir koordinat dönüşümünü belirten üç bağımsız değişkenli bir vektör işlevidir.

Pirinç. 9.4. CreateSpace işlevini farklı bir parametre kümesiyle kullanma

CreateSpace işlevinin kullanımına ilişkin bir örnek Şekil 2'de gösterilmektedir. 9.4. Vektör fonksiyonu F'deki parametrik bağımlılığı tanımlamanın dışında spirali çizmek için ek bir kod gerekmediğine dikkat edin.

Bir 3B yüzey grafiği için matris oluşturma işlevi, bir yüzeyi tanımlamanın bir değil iki değişken alması dışında tamamen aynı şekilde çalışır. Kullanımının bir örneği Şekil 1'de gösterilmektedir. 9.5.

Pirinç. 9.5. CreateMesh işlevini farklı bir parametre kümesiyle kullanma

CreateMesh (F (veya g veya f1, f2, f3), s0, s1, t0, t1, sgrid, tgrid, fmap) - belirtilen parametrik yüzeyin x-, y- ve z-koordinatlarını temsil eden iç içe bir dizi oluşturma F fonksiyonu ile;

• F (s, t), iki argüman s ve t'ye göre parametrik olarak tanımlanan üç elemanlı bir vektör fonksiyonudur;
• g (s, t) - skaler fonksiyon;
• f1 (s, t), f2 (s, t), f3 (s, t) - skaler fonksiyonlar;
• s0, t0 - s, t argümanlarının alt limitleri (varsayılan olarak -5);
• s1, t1 - s, t argümanlarının üst sınırları (varsayılan 5);
• sgrid, tgrid - s ve t değişkenlerine göre ızgara noktalarının sayısı (varsayılan olarak 20);
• fmap, bir koordinat dönüşümünü belirten üç elemanlı, üç bağımsız değişkenli bir vektör işlevidir.

CreateMesh ve CreateSpace işlevleri tarafından oluşturulan iç içe dizilerin örnekleri Liste 9.20'de gösterilmektedir. Diziyi oluşturan üç iç içe matrisin her biri, yüzey veya eğri üzerindeki noktaların sırasıyla x-, y- ve z-koordinatlarını tanımlar.

Liste 9.20. CreateMesh ve CreateSpace işlevlerinin eyleminin sonucu (Şekil 9.4 - 9.5)

Özel matrisler oluşturma

Mathcad'de yerleşik işlevlerden birini kullanarak belirli türden matrisler oluşturmak kolaydır. Bu işlevlerin kullanımına ilişkin örnekler Liste 9.21'de gösterilmektedir.

Kimlik (N) - N * N boyutunda bir kimlik matrisi;

· Diyag (v) - köşegeninde v vektörünün elemanlarının bulunduğu bir köşegen matris;

Geninv (A) - matris A'nın tersi (sol) bir matris oluşturma;

· Rref (A) - bir matrisin veya vektör A'nın kademeli bir forma dönüştürülmesi;

• N bir tamsayıdır;
• v bir vektördür;
• A, reel sayıların bir matrisidir.

geninv işlevi için A matrisinin N * M boyutu, N> M olacak şekilde olmalıdır.

Liste 9.21. Özel matrisler oluşturma

Unutulmamalıdır ki sadece kare matrisler bu işleme uygundur. Eşit sayıda satır ve sütun, bir matrisi bir güce yükseltmek için bir ön koşuldur. Hesaplama sırasında, matris kendisi ile gerekli sayıda çarpılacaktır.

Bu çevrimiçi hesap makinesi, bir matrisi bir güce yükseltme işlemini gerçekleştirmek için tasarlanmıştır. Kullanımı sayesinde, yalnızca bu görevle hızlı bir şekilde başa çıkmakla kalmayacak, aynı zamanda hesaplama sürecinin kendisi hakkında net ve ayrıntılı bir fikir edineceksiniz. Bu, teoride elde edilen materyalin daha iyi pekiştirilmesine yardımcı olacaktır. Önünüzde ayrıntılı bir hesaplama algoritması görünce, tüm inceliklerini daha iyi anlayacaksınız ve ardından manuel hesaplamalarda hatalardan kaçınabileceksiniz. Ayrıca, hesaplamalarınızı iki kez kontrol etmekten asla zarar gelmez ve bu da en iyi burada yapılır.

Bir matrisi çevrimiçi olarak yükseltmek için birkaç basit adım atılacaktır. Her şeyden önce, solundaki "+" veya "-" simgelerine tıklayarak matrisin boyutunu belirtin. Ardından sayıları matris alanına girin. Ayrıca matrisin yükseltilme derecesini de belirtmeniz gerekir. Ardından, alanın altındaki "Hesapla" düğmesine tıklamanız yeterlidir. Tüm değerleri dikkatli ve doğru bir şekilde girerseniz sonuç güvenilir ve doğru olacaktır. Bununla birlikte, size çözümün ayrıntılı bir dökümü verilecektir.

Bir web sitesine matematiksel formüller nasıl eklenir?

Bir web sayfasına bir veya iki matematiksel formül eklemeniz gerekirse, bunu yapmanın en kolay yolu makalede anlatıldığı gibidir: matematiksel formüller Wolfram Alpha'nın otomatik olarak oluşturduğu resimler biçiminde siteye kolayca eklenir. Basitliğe ek olarak, bu çok yönlü yöntem, sitenizin arama motorlarında görünürlüğünü artırmaya yardımcı olacaktır. Uzun zamandır çalışıyor (ve sanırım sonsuza kadar çalışacak), ancak ahlaki olarak modası geçmiş.

Sitenizde düzenli olarak matematik formülleri kullanıyorsanız, MathML, LaTeX veya ASCIIMathML işaretlemesini kullanarak web tarayıcılarında matematik gösterimini görüntüleyen özel bir JavaScript kitaplığı olan MathJax'ı kullanmanızı öneririm.

MathJax'i kullanmaya başlamanın iki yolu vardır: (1) basit bir kod kullanarak, sitenize hızlı bir şekilde bir MathJax betiği bağlayabilirsiniz, bu komut dosyası doğru zamanda uzak bir sunucudan otomatik olarak yüklenecektir (sunucu listesi); (2) MathJax komut dosyasını uzak bir sunucudan sunucunuza yükleyin ve sitenizin tüm sayfalarına bağlayın. Daha karmaşık ve zaman alıcı olan ikinci yöntem, sitenizin sayfalarının yüklenmesini hızlandıracak ve ana MathJax sunucusunun herhangi bir nedenle geçici olarak kullanılamaması durumunda, bu durum kendi sitenizi hiçbir şekilde etkilemeyecektir. Bu avantajlara rağmen, daha basit, daha hızlı ve teknik beceri gerektirmediği için ilk yöntemi seçtim. Örneğimi takip edin ve 5 dakika içinde MathJax'in tüm özelliklerini sitenizde kullanabileceksiniz.

MathJax kitaplığının komut dosyasını, ana MathJax sitesinden veya belgeler sayfasından alınan kodun iki sürümünü kullanarak uzak bir sunucudan bağlayabilirsiniz:

Bu kod türevlerinden biri kopyalanıp web sayfanızın koduna, tercihen etiketler arasına yapıştırılmalıdır. ve veya etiketten hemen sonra ... İlk seçeneğe göre MathJax daha hızlı yüklenir ve sayfayı daha az yavaşlatır. Ancak ikinci seçenek, MathJax'in en son sürümlerini otomatik olarak izler ve yükler. İlk kodu eklerseniz, periyodik olarak güncellenmesi gerekecektir. İkinci kodu eklerseniz sayfalar daha yavaş yüklenir, ancak MathJax güncellemelerini sürekli olarak izlemeniz gerekmez.

MathJax'e bağlanmanın en kolay yolu Blogger veya WordPress'te: sitenizin kontrol paneline, üçüncü taraf JavaScript kodunu eklemek için tasarlanmış bir pencere öğesi ekleyin, yukarıda sunulan yükleme kodunun birinci veya ikinci sürümünü ona kopyalayın ve pencere öğesini yakına yerleştirin. şablonun başlangıcı (bu arada, MathJax betiği eşzamansız olarak yüklendiğinden bu hiç gerekli değildir). Bu kadar. Şimdi MathML, LaTeX ve ASCIIMathML biçimlendirme sözdizimini öğrenin ve web sitenizin web sayfalarına matematik formülleri yerleştirmeye hazırsınız.

Herhangi bir fraktal, sürekli olarak sınırsız sayıda uygulanan belirli bir kurala göre oluşturulur. Böyle her bir zamana yineleme denir.

Menger süngerini oluşturmak için yinelemeli algoritma oldukça basittir: 1 kenarı olan orijinal küp, yüzlerine paralel düzlemlerle 27 eşit küp halinde bölünür. Bir merkezi küp ve 6 bitişik küp ondan çıkarılır. Sonuç, kalan 20 küçük küpten oluşan bir settir. Bu küplerin her biri ile aynı şeyi yaparak, zaten 400 küçük küpten oluşan bir set elde ederiz. Bu işlemi durmadan devam ettirerek Menger süngeri elde ederiz.