İnterpolasyon, oluşturulan fonksiyonun eğrisinin tam olarak mevcut veri noktalarından geçtiği bir tür yaklaşımdır.

Ayrıca, bazı karmaşık fonksiyonların daha basit bir fonksiyonla yaklaştırılmasından oluşan enterpolasyona yakın bir problem vardır. Bazı işlevler performans hesaplamaları için çok karmaşıksa, değerini birkaç noktada hesaplamayı deneyebilir ve onlardan daha basit bir işlev oluşturabilir, yani enterpolasyon yapabilirsiniz. Tabii ki, basitleştirilmiş bir işlev kullanmak, orijinal işlevle aynı kesin sonuçları üretmez. Ancak bazı problem sınıflarında, hesaplamaların basitliği ve hızında elde edilen kazanç, sonuçlarda ortaya çıkan hatadan daha ağır basabilir.

Ayrıca, operatör enterpolasyonu olarak bilinen tamamen farklı bir matematiksel enterpolasyondan bahsetmeye değer. Operatör enterpolasyonuyla ilgili klasik makaleler, diğer birçok makalenin temeli olan Riesz-Thorin teoremini ve Marcinkiewicz teoremini içerir.

Tanımlar

Belirli bir alandan eşleşmeyen noktalar () sistemini düşünün. Fonksiyonun değerlerinin sadece şu noktalarda bilinmesine izin verin:

Enterpolasyon problemi, verilen bir fonksiyon sınıfından bir fonksiyon bulmaktır.

Örnek

1. Birkaç değer için karşılık gelen değerleri belirleyen, aşağıda açıklanana benzer bir tablo işlevimiz olduğunu varsayalım:

İnterpolasyon, böyle bir fonksiyonun belirtilenlerden farklı bir noktada hangi değere sahip olabileceğini bulmamıza yardımcı olur (örneğin, x = 2,5).

Şimdiye kadar, birçok farklı enterpolasyon yöntemi var. En uygun algoritmanın seçimi şu soruların cevaplarına bağlıdır: seçilen yöntemin ne kadar doğru olduğu, onu kullanmanın maliyeti nedir, enterpolasyon fonksiyonunun ne kadar düzgün olduğu, kaç veri noktası gerektirdiği vb.

2. Ara değeri bulun (doğrusal enterpolasyon ile).

enterpolasyon yöntemleri

En Yakın Komşu İnterpolasyonu

En basit enterpolasyon yöntemi, en yakın komşu enterpolasyonudur.

polinomlarla enterpolasyon

Pratikte, en sık olarak polinomlarla enterpolasyon kullanılır. Bunun başlıca nedeni polinomların hesaplanmasının kolay olması, türevlerini analitik olarak bulmanın kolay olması ve polinomlar kümesinin sürekli fonksiyonlar uzayında yoğun olmasıdır (Weierstrass teoremi).

• IMN-1 ve IMN-2
• Lagrange polinomu (interpolasyon polinomu)
• Aitken'in planına göre

Ters enterpolasyon (belirli bir y için x hesaplama)

• Newton formülünü kullanarak ters enterpolasyon

Birkaç değişkenli bir fonksiyonun enterpolasyonu

Diğer enterpolasyon yöntemleri

• trigonometrik enterpolasyon

Ilgili kavramlar

• Ekstrapolasyon - belirli bir aralığın dışındaki noktaları bulma yöntemleri (eğri uzantısı)
• Yaklaşım - yaklaşık eğriler oluşturmak için yöntemler

Ayrıca bakınız

• Deneme Verilerini Düzeltme

Wikimedia Vakfı. 2010.

Diğer sözlüklerde "İnterpolasyon" un ne olduğunu görün:

1) herhangi bir matematiksel ifadenin belirli değerleri ile ara değerlerini belirlemenin bir yolu; bu nedenle, örneğin, 1 °, 2 °, 3 °, 4 ° vb. Top kanalının ekseninin bir yükselme açısında çekirdeğin uçuş aralığına göre ... ... kullanılarak belirlenebilir. Rus dilinin yabancı kelimeler sözlüğü

Ekleme, enterpolasyon, dahil etme, Rusça eş anlamlılar Sözlüğünü bulma. enterpolasyon için bkz. ek Rusça Eşanlamlılar Sözlüğü. Pratik rehber. M.: Rus dili. Z.E. Aleksandrova. 2 ... eşanlamlı sözlük

interpolasyon- Bilinen iki nokta arasındaki ara değerlerin hesaplanması. Örneğin: doğrusal doğrusal enterpolasyon üstel üstel enterpolasyon Pikseller iki renk arasındaki alana atıfta bulunduğunda renkli bir görüntü görüntüleme işlemi ... ... Teknik çevirmen kılavuzu

- (enterpolasyon) Bilinen bir dizi niceliğin iki noktası arasında bulunan bilinmeyen bir niceliğin değerinin tahmini. Örneğin, 10 yıl arayla yapılan nüfus sayımında elde edilen ülke nüfusuna ilişkin göstergeleri bilerek, ... ... İş sözlüğü

Aslında Latince'den "sahte". Bu, yazıcılar veya okuyucular tarafından yapılan el yazmalarındaki hatalı düzeltmelerin veya sonradan yapılan eklemelerin adıdır. Bu terim özellikle eski yazarların el yazmalarının eleştirisinde kullanılır. Bu el yazmalarında ... ... edebi ansiklopedi

Bilinen bir dizi değer için bazı düzenliliğin (fonksiyonun) ara değerlerini bulma. İngilizce: İnterpolasyon Ayrıca bakınız: Veri Dönüşümleri Mali Sözlük Finam ... finansal kelime hazinesi

interpolasyon- ve, w. enterpolasyon f. en. enterpolasyon değişikliği; değişiklik, bozulma. 1. Hangi sayfanın daha sonraki menşeli olduğunu ekleyin. orijinaline ait olmayan metin. ALS 1. Eski elyazmalarında birçok karalama enterpolasyonu vardır. Uş. 1934.2 ... Rus Galliliklerinin Tarihsel Sözlüğü

İNTERPOLASYON- (interpolatio), ampirik yenileme eksik ara değerleri ile herhangi bir miktarın bir dizi değeri. Enterpolasyon üç şekilde yapılabilir: matematiksel, grafik. ve mantıklı. Ortak bir hipoteze dayanıyorlar ... Büyük tıp ansiklopedisi

- (Latince interpolatio değişikliğinden, değişiklikten), bilinen bazı değerlere göre bir miktarın ara değerlerini bulma. Örneğin, x0 ve xn noktaları arasında yer alan x noktalarında y = f (x) fonksiyonunun değerlerini bulmak, x0 ... Modern ansiklopedi

- (Lat. interpolatio değişikliğinden, değişiklikten), matematik ve istatistikte, bir miktarın bilinen değerlerinden bazılarıyla ara değerleri bulma. Örneğin, xo x1 ... xn noktaları arasında yer alan x noktalarında f (x) fonksiyonunun değerlerini bulmak, ... ... Büyük Ansiklopedik Sözlük

İnterpolasyon. Tanıtım. Genel sorun bildirimi

Çeşitli pratik problemleri çözerken, araştırma sonuçları, bir veya daha fazla ölçülen niceliğin bir belirleyici parametreye (argüman) bağımlılığını gösteren tablolar şeklinde resmileştirilir. Bu tür tablolar genellikle iki veya daha fazla satır (sütun) şeklinde sunulur ve matematiksel modeller oluşturmak için kullanılır.

Matematiksel modellerde belirtilen işlevler genellikle aşağıdaki biçimdeki tablolara yazılır:

Bu tür tablolar tarafından sunulan sınırlı bilgiler, bazı durumlarda, düğümle çakışmayan X noktalarında Y j (X) (j = 1,2, ..., m) fonksiyonlarının değerlerinin elde edilmesini gerektirir. tablonun noktaları X i (i = 0,1,2, ... , n). Bu gibi durumlarda, araştırılan Y j (X) fonksiyonunun keyfi olarak belirtilen X noktalarında yaklaşık değerlerini hesaplamak için bazı analitik ifade φ j (X) belirlemek gerekir. Y j (X) fonksiyonunun yaklaşık değerlerini belirlemek için kullanılan φ j (X) fonksiyonuna yaklaşıklık fonksiyonu (Latince yaklaşık - yaklaşık) denir. Yaklaşım fonksiyonu φ j (X)'in yaklaşık fonksiyon Y j (X)'e yakınlığı, uygun yaklaşım algoritması seçilerek sağlanır.

Araştırılan bir fonksiyonun ilk verilerini içeren tablolar için tüm diğer değerlendirmeleri ve sonuçları yapacağız (yani, m = 1 olan tablolar için).

1. Enterpolasyon yöntemleri

1.1 Enterpolasyon probleminin ifadesi

Çoğu zaman, φ (X) işlevini belirlemek için, enterpolasyon probleminin ifadesi olarak adlandırılan bir ifade kullanılır.

Enterpolasyon probleminin bu klasik formülasyonunda, değerleri X i düğüm noktalarında olan yaklaşık bir analitik fonksiyon φ (X) belirlemek gerekir. değerleri eşleştir Orijinal tablonun Y (X i), yani koşullar

Bu şekilde oluşturulan yaklaşım işlevi φ (X), bağımsız değişkenin [X 0; X n], tablo tarafından belirlenir. X argümanının değerlerini belirtirken, sahiplenilmemiş bu aralıkta, enterpolasyon problemi bir ekstrapolasyon problemine dönüştürülür. Bu durumlarda doğruluk

φ (X) fonksiyonunun değerlerini hesaplarken elde edilen değerler, eğer X ise, X argümanının değerinin X 0'dan mesafesine bağlıdır.<Х 0 , или отХ n , еслиХ >X n.

Matematiksel modellemede, ara değerleme fonksiyonu, araştırılan fonksiyonun yaklaşık değerlerini alt aralıkların [X i; X ben + 1]. Bu prosedür denir sıkıştırma masası.

Enterpolasyon algoritması, φ (X) fonksiyonunun değerlerini hesaplama yöntemiyle belirlenir. Ara değerleme fonksiyonunun en basit ve en belirgin uygulaması, araştırılan Y(X) fonksiyonunu [X i; X i + 1], Y i, Y i + 1 noktalarını birleştiren düz bir doğru parçası ile. Bu yönteme doğrusal enterpolasyon yöntemi denir.

1.2 Doğrusal enterpolasyon

Doğrusal enterpolasyon ile, X i ve X ben + 1 düğümleri arasında bulunan X noktasındaki fonksiyonun değeri, tablonun iki bitişik noktasını birbirine bağlayan düz bir çizgi formülü ile belirlenir.

İncirde. 1, belirli bir Y (X) miktarının ölçümleri sonucunda elde edilen bir tablo örneğini göstermektedir. Kaynak tablonun satırları dolgu ile vurgulanır. Tablonun sağında bu tabloya karşılık gelen bir dağılım grafiği bulunmaktadır. Tablonun sıkıştırılması, formüle göre hesaplama sayesinde yapılır.

(3) Alt aralıkların (i = 0, 1, 2, ..., n) orta noktalarına karşılık gelen X noktalarında yaklaşık işlevin değerleri.

1. Yoğunlaştırılmış Y (X) fonksiyon tablosu ve ilgili diyagram

Şekil 2'deki grafik göz önüne alındığında. Şekil 1, tablonun doğrusal enterpolasyon yöntemiyle sıkıştırılması sonucunda elde edilen noktaların, orijinal tablonun noktalarını birleştiren doğru parçaları üzerinde bulunduğunu göstermektedir. Doğrusal doğruluk

enterpolasyon, esasen enterpolasyonlu fonksiyonun doğasına ve X i,, X i + 1 tablosunun düğümleri arasındaki mesafeye bağlıdır.

Açıkça, eğer fonksiyon düzgün ise, o zaman düğümler arasında nispeten büyük bir mesafe olsa bile, noktaların doğru parçalarıyla birleştirilmesiyle oluşturulan grafik, Y(X) fonksiyonunun doğasını oldukça doğru bir şekilde tahmin etmeyi mümkün kılar. İşlev yeterince hızlı değişiyorsa ve düğümler arasındaki mesafeler büyükse, doğrusal enterpolasyon işlevi, gerçek işleve yeterince doğru bir yaklaşım elde etmeye izin vermez.

Doğrusal enterpolasyon işlevi, daha sonra diğer daha doğru yöntemlerle elde edilen enterpolasyon sonuçlarının doğruluğunun genel ön analizi ve değerlendirilmesi için kullanılabilir. Böyle bir değerlendirme, özellikle hesaplamaların manuel olarak yapıldığı durumlarda uygun hale gelir.

1.3 Kanonik polinom ile enterpolasyon

Bir fonksiyonu kanonik bir polinomla enterpolasyon yöntemi, bir interpolasyon fonksiyonunun polinom şeklinde bir polinom olarak oluşturulmasına dayanır [1].

Polinomun (4) i ile katsayıları, Lagrange koşullarından belirlenen serbest enterpolasyon parametreleridir:

Pn (xi) = Yi, (i = 0, 1, ..., n)

(4) ve (5)'i kullanarak denklem sistemini yazıyoruz

Lineer cebirsel denklemler sisteminin (6) i (i = 0, 1, 2,…, n) ile çözüm vektörü mevcuttur ve i düğümleri arasında çakışan düğüm yoksa bulunabilir. (6) sisteminin determinantı Vandermonde determinantı1 olarak adlandırılır ve analitik bir ifadeye sahiptir [2].

1 Vandermonde'nin elemeleri determinant denir

Bazıları için ancak ve ancak xi = xj ise sıfıra eşittir. (Vikipedi, özgür ansiklopedi)

i ile katsayıların değerlerini belirlemek için (i = 0, 1, 2, ..., n)

denklemler (5) vektör-matris formunda yazılabilir

A * C = Y,

nerede A, X = (xi 0, xi, xi 2, ..., xin) T (i = 0, 1, 2, ..., n) argümanlarının vektörünün güçler tablosu tarafından belirlenen katsayıların matrisi )

C, i (i = 0, 1, 2, ..., n) ile katsayıların bir sütun vektörüdür ve Y, Y değerlerinin bir sütun vektörüdür i (i = 0, 1, 2, ..., n) enterpolasyon düğümlerindeki enterpolasyonlu fonksiyonun.

Bu lineer cebirsel denklem sisteminin çözümü, [3]'te açıklanan yöntemlerden biri ile elde edilebilir. Örneğin, formüle göre

burada A -1 - matris A matrisinin tersi. A -1 ters matrisini elde etmek için, Microsoft Excel'in standart işlevler setinde bulunan MOVR () işlevini kullanabilirsiniz.

i ile katsayıların değerleri belirlendikten sonra, fonksiyon (4) kullanılarak, bağımsız değişkenlerin herhangi bir değeri için enterpolasyonlu fonksiyonun değerleri hesaplanabilir.

Tabloyu sıkıştıran satırları hesaba katmadan Şekil 1'deki tablo için A matrisini yazalım.

Şekil 2 Kanonik polinomun katsayılarını hesaplamak için denklem sisteminin matrisi

MOBR () fonksiyonunu kullanarak, A matrisinin tersi A -1 matrisini elde ederiz (Şekil 3). Bundan sonra, formül (9)'a göre, Şekil 2'de gösterilen C = (c 0, c 1, c 2,…, c n) T katsayılarının vektörünü elde ederiz. 4.

X 0 değerlerine karşılık gelen Y kanonik sütununun hücresindeki kanonik polinomun değerlerini hesaplamak için, sistemin sıfır satırına karşılık gelen aşağıdaki forma dönüştürülmüş formülü tanıtıyoruz (6)

C0 + x * (c1 + x * (c2 + x * (c3 + x * (c4 + x * c5))))

Excel elektronik tablosunun hücresine girilen formülde "ci" yazmak yerine, bu katsayıyı içeren ilgili hücreye mutlak bir referans olmalıdır (bkz. Şekil 4). "x 0" yerine - X sütununun hücresine göreli bir referans (bkz. Şekil 5).

Y, Y lin (0) hücresindeki değerle eşleşen kurallı (0) değerdir. Y kanonik (0) hücresine yazılan formülü uzatırken, orijinalin düğüm noktalarına karşılık gelen Y kanonik (i) değerleri

tablolar (bkz. Şekil 5).

Pirinç. 5. Doğrusal ve kanonik enterpolasyon tablolarına dayalı diyagramlar

Doğrusal ve kanonik enterpolasyon formülleriyle hesaplanan tablolardan oluşturulan fonksiyonların grafiklerinin karşılaştırılması, bir dizi ara düğümde doğrusal ve kanonik enterpolasyon formülleriyle elde edilen değerlerin önemli bir sapmasını görüyoruz. Modellenen sürecin doğası hakkında ek bilgi elde etmek temelinde, enterpolasyonun doğruluğu hakkında daha makul bir yargıya varmak mümkündür.

Birçoğumuz çeşitli bilimlerde anlaşılmaz terimlerle karşılaştık. Ancak, anlaşılmaz sözlerden korkmayan, aksine, çalışılan konuyu daha derine dalmaya teşvik edilen ve zorlanan çok az insan var. Bugün enterpolasyon gibi bir şeyden bahsedeceğiz. Bu, bir fonksiyon hakkında minimum miktarda bilgi ile eğrinin belirli kısımlarındaki davranışını tahmin etmeye izin veren, bilinen noktalardan grafik çizme yöntemidir.

Tanımın özüne geçmeden ve onun hakkında daha ayrıntılı konuşmadan önce, hikayeyi biraz inceleyelim.

Tarih

İnterpolasyon eski zamanlardan beri bilinmektedir. Bununla birlikte, bu fenomen gelişimini geçmişin en önde gelen matematikçilerinden birkaçına borçludur: Newton, Leibniz ve Gregory. O zamanlar mevcut olan daha gelişmiş matematiksel yöntemleri kullanarak bu kavramı geliştiren onlardı. Ondan önce, enterpolasyon elbette hesaplamalarda uygulandı ve kullanıldı, ancak bunu tamamen yanlış yollarla yaptılar, gerçeğe az çok yakın bir model oluşturmak için büyük miktarda veri gerektiriyorlardı.

Bugün enterpolasyon yöntemlerinden hangisinin daha uygun olduğunu bile seçebiliriz. Her şey, belirli bir alanda, bilinen noktalarla sınırlı, bir işlevin davranışını büyük bir doğrulukla tahmin edebilen bir bilgisayar diline çevrildi.

Enterpolasyon oldukça dar bir kavramdır, bu nedenle tarihi gerçekler açısından o kadar zengin değildir. Bir sonraki bölümde, enterpolasyonun gerçekte ne olduğunu ve karşıtı olan ekstrapolasyondan nasıl farklı olduğunu anlayacağız.

enterpolasyon nedir?

Daha önce de söylediğimiz gibi, bu, bir grafiği noktalara göre çizmenize izin veren yöntemlerin genel adıdır. Okulda bu, esas olarak bir tablo çizerek, bir grafik üzerindeki noktaları belirleyerek ve bunları kabaca birbirine bağlayan çizgiler çizerek yapılır. Son eylem, araştırılan fonksiyonun, grafik türünü bildiğimiz diğerlerine benzerliği dikkate alınarak yapılır.

Bununla birlikte, bir grafiği noktalara göre çizme görevini yerine getirmenin başka, daha karmaşık ve doğru yolları vardır. Dolayısıyla, enterpolasyon aslında bir fonksiyonun belirli bir alandaki davranışının bilinen noktalarla sınırlı bir "tahminidir".

Aynı alanla ilişkili benzer bir kavram var - ekstrapolasyon. Aynı zamanda bir fonksiyonun grafiğinin tahminidir, ancak grafiğin bilinen noktalarının dışındadır. Bu yöntem ile bir fonksiyonun bilinen bir aralıktaki davranışına göre tahmin yapılır ve daha sonra bilinmeyen bir aralık için bu fonksiyon uygulanır. Bu yöntem pratik uygulama için çok uygundur ve örneğin ekonomide piyasadaki iniş ve çıkışları tahmin etmek ve ülkedeki demografik durumu tahmin etmek için aktif olarak kullanılır.

Ama asıl konudan uzaklaştık. Bir sonraki bölümde, ne tür bir enterpolasyon olduğunu ve bu işlemi gerçekleştirmek için hangi formüllerin kullanılabileceğini anlayacağız.

enterpolasyon türleri

En basit şekli en yakın komşu enterpolasyonudur. Bu yöntemle çok kaba bir dikdörtgen grafiği elde ederiz. Bir grafikte en az bir kez bir integralin geometrik anlamının açıklamasını gördüyseniz, ne tür bir grafik biçiminden bahsettiğimizi anlayacaksınız.

Ek olarak, başka enterpolasyon yöntemleri de vardır. En ünlü ve popüler olanı polinomlarla ilgilidir. Daha doğrudurlar ve bir fonksiyonun davranışını oldukça yetersiz değerlerle tahmin etmeye izin verirler. Bakacağımız ilk enterpolasyon yöntemi, polinomlarla doğrusal enterpolasyon olacaktır. Bu, bu kategorideki en kolay yöntemdir ve kesinlikle her biriniz okulda kullandınız. Özü, bilinen noktalar arasındaki çizgilerin inşasında yatar. Bildiğiniz gibi, düzlemin iki noktasından tek bir doğru geçer, denklemi bu noktaların koordinatlarına göre bulunabilir. Bu çizgileri oluşturarak, en azından fonksiyonların yaklaşık değerlerini yansıtan ve genel anlamda gerçeklikle örtüşen kırık bir grafik elde ederiz. Doğrusal enterpolasyon bu şekilde gerçekleştirilir.

Gelişmiş enterpolasyon türleri

Daha ilginç ama aynı zamanda daha karmaşık bir enterpolasyon yolu var. Fransız matematikçi Joseph Louis Lagrange tarafından icat edildi. Bu nedenle bu yöntemle enterpolasyonun hesaplanmasına onun adı verilmiştir: Lagrange yöntemiyle enterpolasyon. Buradaki püf noktası şudur: Bir önceki paragrafta özetlenen yöntem hesaplama için yalnızca doğrusal bir işlev kullanıyorsa, o zaman Lagrange açılımı da daha yüksek dereceli polinomların kullanıldığını varsayar. Ancak farklı işlevler için enterpolasyon formüllerini bulmak o kadar kolay değildir. Ve ne kadar çok nokta bilinirse, enterpolasyon formülü o kadar doğru olur. Ama başka birçok yöntem var.

Daha mükemmel ve gerçeğe yakın bir hesaplama yöntemi de var. İçinde kullanılan enterpolasyon formülü, her birinin uygulaması işlevin bölümüne bağlı olan bir polinomlar topluluğudur. Bu yönteme spline işlevi denir. Ek olarak, iki değişkenli fonksiyonların enterpolasyonu gibi bir şeyi yapmanın yolları da vardır. Sadece iki yöntem var. Bunlar arasında bilinear veya çift enterpolasyon vardır. Bu yöntem, üç boyutlu uzaydaki noktalardan kolayca bir grafik çizmenizi sağlar. Diğer yöntemlere değinmeyeceğiz. Genel olarak, enterpolasyon, tüm bu grafik çizme yöntemleri için evrensel bir isimdir, ancak bu eylemin gerçekleştirilebileceği yolların çeşitliliği, bu eyleme tabi olan işlevin türüne bağlı olarak onları gruplara ayrılmaya zorlar. Yani, örneğini yukarıda ele aldığımız enterpolasyon, doğrudan yöntemlere atıfta bulunur. Doğrudan değil, ters bir işlev (yani, y'den x) hesaplamanıza izin vermesiyle farklılık gösteren ters enterpolasyon da vardır. Oldukça zor olduğu ve iyi bir matematiksel bilgi tabanı gerektirdiği için ikinci seçenekleri dikkate almayacağız.

Gelelim belki de en önemli bölümlerden birine. Ondan tartıştığımız yöntemlerin yaşamda nasıl ve nerede uygulandığını öğreniriz.

Başvuru

Bildiğiniz gibi matematik bilimlerin kraliçesidir. Bu nedenle, bazı işlemlerde ilk başta noktayı görmeseniz bile, bu onların işe yaramaz oldukları anlamına gelmez. Örneğin, enterpolasyonun, şimdi çok az insanın ihtiyaç duyduğu, yalnızca grafiklerin oluşturulabileceği yardımı ile işe yaramaz bir şey olduğu görülüyor. Bununla birlikte, mühendislik, fizik ve diğer birçok bilimdeki (örneğin, biyoloji) herhangi bir hesaplama için, belirli bir dizi değere sahipken, olgunun oldukça eksiksiz bir resmini sunmak son derece önemlidir. Grafik boyunca dağılmış değerlerin kendileri, bir fonksiyonun belirli bir alandaki davranışı, türevlerinin değerleri ve eksenlerle kesişme noktaları hakkında her zaman net bir fikir vermez. Ve bu seninle hayatımızın birçok alanı için çok önemli.

Ve hayatta nasıl faydalıdır?

Bu soruyu cevaplamak çok zor olabilir. Ama cevap basit: Olmaz. Sizin için hiçbir şekilde yararlı olmayacak olan bu bilgidir. Ancak bu materyali ve bu eylemlerin gerçekleştirilme yöntemlerini anlarsanız, hayatta çok faydalı olacak mantığınızı uygularsınız. Ana şey, bilginin kendisi değil, bir kişinin öğrenme sürecinde edindiği becerilerdir. Ne de olsa, "Yaşa ve öğren" demesi boşuna değil.

Ilgili kavramlar

Bununla ilişkili diğer kavramların çeşitliliğine bakarak, bu matematik alanının ne kadar önemli olduğunu (ve hala önemini kaybetmediğini) kendiniz görebilirsiniz. Ekstrapolasyon hakkında zaten konuştuk, ancak bir yaklaşım da var. Bu kelimeyi zaten duymuş olabilirsiniz. Her durumda, bu makalede ne anlama geldiğini de tartıştık. Yaklaşım, enterpolasyon gibi, çizim işlevleriyle ilgili kavramlardır. Ancak birinci ve ikinci arasındaki fark, bunun bilinen benzer grafiklere dayanan yaklaşık bir çizim olmasıdır. Bu iki kavram birbirine çok benzer ve her birini incelemek daha ilginçtir.

Çözüm

Matematik ilk bakışta göründüğü kadar zor bir bilim değildir. Aksine, ilginç. Ve bu yazımızda size kanıtlamaya çalıştık. Çizim ile ilgili kavramlara baktık, ikili enterpolasyonun ne olduğunu öğrendik ve uygulandığı örneklerle tartıştık.

Yerel enterpolasyonun en basit ve en yaygın kullanılan şekli, doğrusal enterpolasyon... Verilen noktaların ( x ben , y ben) NS ( ben = 0.1, ..., n) düz çizgi parçaları ile bağlanır ve fonksiyon F(x) bu noktalarda köşeleri olan bir çoklu çizgi ile yaklaşılır.

Genel durumda, her bir doğru parçasının denklemleri farklıdır. n aralık olduğundan ( x ben - 1, x ben), daha sonra her biri için iki noktadan geçen düz bir çizginin denklemi, interpolasyon polinomunun denklemi olarak kullanılır. Özellikle, i-inci aralık için, noktalardan geçen doğrunun denklemi yazılabilir ( x ben -1, y ben -1 ) ve ( x ben , y ben), olarak

ben =

Bu nedenle, doğrusal enterpolasyon kullanırken, önce x argümanının değerinin düştüğü aralığı belirlemeli ve ardından onu formül (*) ile değiştirip bu noktada fonksiyonun yaklaşık değerini bulmalısınız.

Şekil 3-3 - Doğrusal enterpolasyon bağımlılığı grafiği.

1. Profesyonel bir sorunu çözme

Deneysel verileri saklıyoruz

ORIGIN: = 0 Veri dizisinin başlangıcı - sıfırdan say

ben: = 1..6 Dizideki eleman sayısı

Deneysel veriler iki vektörde düzenlenmiştir

Yerleşik MathCad işlevleriyle enterpolasyon yapın

Doğrusal enterpolasyon

Lf (x i): = linterp (x, y, x)

Kübik omurga enterpolasyonu

CS: = cspline (x, y)

Deneysel verilerden kübik bir spline oluşturma

Lf (x ben): = linterp (x, y, x ben)

B-spline enterpolasyonu

Enterpolasyon sırasını ayarlayın. u vektörü, vektörden (n-1) daha az elemana sahip olmalıdır x, burada ilk öğe, ilk öğeden küçük veya ona eşit olmalıdır x ve sonuncusu, son x'ten büyük veya ona eşittir.

BS: = bspline (x, y, u, n)

Deneysel verilere göre bir B-spline oluşturun

BSf (x ben): = (BS, x, y, x ben)

Bir koordinat düzleminde tüm yaklaşım fonksiyonlarının bir grafiğini oluşturuyoruz.

Şekil 4.1-Tek bir koordinat düzleminde tüm yaklaşım fonksiyonlarının grafiği.

Çözüm

Fonksiyonların enterpolasyonu, hesaplamalı matematikte önemli bir rol oynar, yani. değerleri belirli bir sayıda noktada belirli bir işlevin değerleriyle çakışan belirli bir işleve göre başka bir (genellikle daha basit) işlevin oluşturulması. Ayrıca, enterpolasyonun hem pratik hem de teorik önemi vardır. Pratikte, problem genellikle, örneğin bazı deneyler sırasında elde edilen tablo değerlerinden sürekli bir fonksiyonu geri yüklemekten doğar. Pek çok fonksiyonu hesaplamak için, onları polinomlar veya kesirli rasyonel fonksiyonlarla yaklaşmanın etkili olduğu ortaya çıktı. İnterpolasyon teorisi, diferansiyel ve integral denklemleri çözmek için yöntemler elde etmek için sayısal entegrasyon için karesel formüllerin yapımında ve çalışmasında kullanılır. Polinom interpolasyonunun ana dezavantajı, en uygun ve sık kullanılan ızgaralardan biri olan eşit uzaklıkta düğümleri olan bir ızgarada kararsız olmasıdır. Sorun izin veriyorsa, Chebyshev düğümleri ile bir ağ seçilerek bu sorun çözülebilir. Eğer enterpolasyon düğümlerini özgürce seçemiyorsak veya düğüm seçiminde fazla talepkar olmayan bir algoritmaya ihtiyacımız varsa, o zaman rasyonel enterpolasyon polinom interpolasyonuna uygun bir alternatif olarak ortaya çıkabilir.

Spline interpolasyonunun avantajları, spline parçalı bir polinom fonksiyonu olduğundan ve interpolasyon sırasında veriler, o anda düşünülmekte olan parçaya ait az sayıda ölçüm noktasında eşzamanlı olarak işlendiğinden, hesaplama algoritmasının yüksek işlem hızını içerir. Enterpolasyonlu yüzey, çeşitli ölçeklerin uzamsal değişkenliğini tanımlar ve aynı zamanda pürüzsüzdür. İkinci durum, analitik prosedürleri kullanarak yüzeyin geometrisini ve topolojisini doğrudan analiz etmeyi mümkün kılar.

Talimatlar

Çoğu zaman, ampirik araştırma yaparken, rastgele örnekleme yöntemiyle elde edilen bir dizi değerle uğraşmak gerekir. Bu değer dizisinden, elde edilen diğer değerlerin de maksimum doğrulukla sığacağı bir fonksiyonun grafiğini oluşturmak gerekir. Bu yöntem veya daha doğrusu bu sorunun çözümü, bir eğri yaklaşımıdır, yani. bazı nesnelerin veya fenomenlerin, başlangıç ​​parametresi açısından yakın olan diğerleriyle değiştirilmesi. İnterpolasyon, sırayla, bir tür yaklaşımdır. Eğri enterpolasyonu, yerleşik bir fonksiyonun eğrisinin mevcut veri noktalarından geçtiği süreci ifade eder.

Özü orijinal karmaşık fonksiyona çok daha basit başka bir fonksiyonla yaklaşmak olacak olan enterpolasyona çok yakın bir problem var. Ayrı bir işlev çok hesaplamalıysa, değerini birkaç noktada hesaplamayı deneyebilir ve elde edilenlerden daha basit bir işlev oluşturun (enterpolasyon yapın). Ancak, basitleştirilmiş bir işlev, orijinal işlevle aynı doğru ve güvenilir verileri sağlamayacaktır.

Cebirsel iki terimli veya doğrusal enterpolasyon yoluyla enterpolasyon
Genel olarak, verilen bazı f (x) fonksiyonları, cebirsel binom P1 (x) = ax + b ile segmentin x0 ve x1 noktalarında bir değer alarak enterpolasyonludur. Fonksiyonun ikiden fazla değeri belirtilirse, istenen doğrusal fonksiyon doğrusal parçalı bir fonksiyonla değiştirilir, fonksiyonun her bir kısmı, enterpolasyonlu segment üzerindeki bu noktalarda fonksiyonun belirtilen iki değeri arasında bulunur. .

Sonlu Fark İnterpolasyonu
Bu yöntem, en basit ve en yaygın olarak kullanılan enterpolasyon yöntemlerinden biridir. Özü, denklemin diferansiyel katsayılarını fark katsayılarıyla değiştirmektir. Bu eylem, diferansiyel denklemin fark analogu ile çözümüne gitmenize, başka bir deyişle sonlu farklar şemasını oluşturmanıza izin verecektir.

Bir spline işlevi oluşturma
Matematiksel modellemede bir spline, tanım alanlarının bölümünün her bir elemanı üzerinde daha basit olan fonksiyonlara sahip olan parçalı verilen bir fonksiyon olarak adlandırılır. Bir değişkenin eğrisi, tanım alanının sonlu sayıda parçaya bölünmesiyle oluşturulur ve bunların her biri üzerinde eğri bazı cebirsel polinomlarla çakışır. Kullanılan maksimum derece spline'dır.
Çeşitli bilgisayar modelleme sistemlerinde yüzeyleri tanımlamak ve tanımlamak için spline işlevleri.