nerede , - temel harmoniğin frekansı, ;

() – daha yüksek harmonikler; (dahil) ve Fourier katsayılarıdır.

,

Aşağıdaki durumlardan elde edilen ayrı bir ifade kullanarak fonksiyonun sabit bileşenini (ortalama değeri) hesaplamak uygundur:

, sonra ,

Açıktır ki, sinyal zamanın bir çift fonksiyonu ise, o zaman katsayılar kaybolduğu için Fourier serisinin (1.14) trigonometrik gösteriminde sadece kosinüs bileşenleri kalır. Zamanın tek fonksiyonu tarafından belirlenen bir sinyal için, tam tersine, katsayılar sıfıra döner ve seri sinüzoidal bileşenler içerir.

(1.15) ifadesini Fourier serisinin başka bir eşdeğer biçiminde temsil etmek genellikle uygundur:

,

nerede , - genlik, - ilk aşama - inci harmonik.

Şek. 1.10, Fourier serisinin sonlu sayıda terimiyle () bir periyodik dikdörtgen darbe dizisinin temsilini gösteren grafikleri gösterir.

Bir fonksiyon için (Şekil 1.10), genişleme şu şekildedir:

Periyodik bir dikdörtgen darbe dizisi, bir DC bileşeninin ve sinüzoidal sinyallerin frekanslarla eklenmesinin bir sonucu olarak temsil edilir ve sinüzoidin frekans ile periyodu, darbe dizisinin periyodu ile çakışır. Kolaylık sağlamak için, olarak temsil edilebilir.

Bir fonksiyonun Fourier serisine açılımının tüm harmonik bileşenlerinin kümesine fonksiyonun spektrumu denir.

Spektrumun bireysel harmonik bileşenlerinin varlığı ve genliklerin büyüklüğü, yatay eksenin frekans ekseni ve dikey eksenin genlik ekseni olarak hizmet ettiği spektral diyagram (Şekil 1.11) kullanılarak açıkça gösterilebilir.

Frekans ekseninin noktalarında, fonksiyonun genişlemesinin karşılık gelen harmonik bileşenlerinin genlikleri görüntülenir.

Genişlemedeki (1.16) ilk iki terimin toplamının grafiğinin, sadece ana özelliklerinde, fonksiyonun grafiğinin şeklini çok kabaca yeniden ürettiğini görmek kolaydır. Üçüncü terimi hesaba katmak, toplamın fonksiyonla çakışmasını önemli ölçüde iyileştirir. Böylece dikkate alınan harmonik sayısı arttıkça gösterim doğruluğu da artmaktadır.

Uygulamada, spektral diyagramlara daha kısaca denir - genlik spektrumu, faz spektrumu. Çoğu zaman genlik spektrumuyla ilgilenirler (Şekil 1.11). Harmoniklerin yüzdesini, spektrumun bireysel harmonik bileşenlerinin varlığını ve seviyelerini tahmin etmek için kullanılabilir.

Örnek 1.1. Şu noktaya göre bile, bilinen parametrelere (, , ) (Şekil 1.12) sahip periyodik bir dikdörtgen video darbeleri dizisini Fourier serisinde genişletelim:

.

Bu sinyali temsil etmek için Fourier serisini (1.12) formunda kullanalım. Bir dikdörtgen darbe dizisinin spektral gösterimi için, darbenin ortasındaki orijinin alınması tavsiye edilir. Aslında, bu durumda, periyot boyunca tek fonksiyonların integralleri sıfır bk=0'a eşit olduğundan, genişlemede yalnızca kosinüs bileşenleri kalacaktır.

Formüller (1.14) ile katsayıları buluyoruz:

, ,

Fourier serisini yazmaya izin verir:

,

darbe dizisinin görev döngüsü nerede.

Spesifik sayısal veriler için spektral diyagramlar oluşturmak için harmonik katsayıları varsayıyoruz ve hesaplıyoruz. , ve 8 için spektrumun ilk sekiz bileşenini hesaplamanın sonuçları Tabloda özetlenmiştir. 1.1 ve Şekil 1.13'te oluşturulmuş spektral diyagramlar.

Tablo 1.1. Periyodik bir dikdörtgen darbe dizisi için spektral bileşenlerin genlikleri

Yukarıdaki örnekten, görev döngüsündeki bir artışla, spektral bileşenlerin sayısının arttığı ve genliklerinin azaldığı sonucu çıkmaktadır.

Spektral bileşenlerin sayısının seçimi, sinyalin şekline ve Fourier serisi tarafından temsilinin doğruluğuna bağlıdır. Dalga biçimindeki yumuşak bir değişiklik, aynı gösterim doğruluğu için bir atlama sinyalinden daha az harmonik gerektirecektir. Dikdörtgen darbelerin yaklaşık bir temsili için, pratikte genellikle üç ila beş harmoniğin yeterli olduğuna inanılır.

Fourier serisi formları. sinyal denir periyodik,şekli zaman içinde döngüsel olarak tekrarlanıyorsa Periyodik sinyal u(t) genel olarak şöyle yazılır:

u(t)=u(t+mT), m=0, ±1,±2,…

Burada T, sinyalin periyodudur. Periyodik sinyaller hem basit hem de karmaşık olabilir.

Periyotlu periyodik sinyallerin matematiksel gösterimi için T genellikle, çoklu frekansların harmonik (sinüzoidal ve kosinüs) salınımlarının temel işlevler olarak seçildiği seri (2.2) kullanır.

y0(t)=1; y 1 (t)=sinw 1 t; y2(t)=cosw 1 t;

y3(t)=sin2w 1 t; y4(t)=cos2w 1 t; …, (2.3)

w 1 \u003d 2p / T dizinin ana açısal frekansıdır

fonksiyonlar. (2.2) serisinden harmonik temel fonksiyonlarla Fourier serisini elde ederiz (Jean Fourier - 19. yüzyılın Fransız matematikçisi ve fizikçisi).

Fourier serisindeki (2.3) formunun harmonik fonksiyonları aşağıdaki avantajlara sahiptir: 1) basit bir matematiksel açıklama; 2) doğrusal dönüşümlere değişmezlik, yani. doğrusal bir devrenin girişinde bir harmonik salınım hareket ederse, o zaman çıkışında, girişten yalnızca genlik ve ilk fazda farklı olan bir harmonik salınım da olacaktır; 3) bir sinyal gibi, harmonik fonksiyonlar periyodiktir ve sonsuz bir süreye sahiptir; 4) Harmonik fonksiyonlar üretme tekniği oldukça basittir.

Periyodik bir sinyali harmonik fonksiyonlar (2.3) cinsinden bir seriye genişletmek için, Dirichlet koşullarının sağlanması gerektiği matematik dersinden bilinmektedir. Ancak tüm gerçek periyodik sinyaller bu koşulları sağlar ve aşağıdaki biçimlerden biriyle yazılabilen bir Fourier serisi olarak temsil edilebilirler:

u(t)=A 0 /2+ (A’ mn cosnw 1 t+A” mn nw 1 t), (2.4)

nerede katsayılar

0 =

Am"= (2.5)

u(t)=A 0 /2+ (2.6)

bir dakika = (2.7)

veya karmaşık biçimde

u(t)= (2.8)

Cn = (2.9)

(2.4) - (2.9)'dan, genel durumda, periyodik sinyal u(t)'nin sabit bir bileşen A 0/2 ve temel frekans w 1 =2pf 1 ve harmoniklerinin bir dizi harmonik salınımları içerdiğini takip eder. wn =nw 1 , n=2 ,3,4,… frekanslarında harmoniklerin her biri

Fourier serisinin salınımları, genlik ve ilk faz y n .nn ile karakterize edilir

Periyodik bir sinyalin spektral diyagramı ve spektrumu. Herhangi bir sinyal, farklı frekanslara sahip harmonik salınımların toplamı olarak sunulursa, o zaman şöyle derler: spektral ayrışma sinyal.

spektral diyagram sinyale, bu sinyalin Fourier serisinin katsayılarının grafiksel gösterimi denir. Genlik ve faz diyagramları vardır. Şek. 2.6'da belirli bir ölçekte, harmonik frekanslar yatay eksen boyunca çizilir ve bunların genlikleri A mn ve fazları y n dikey eksen boyunca çizilir. Ayrıca, harmoniklerin genlikleri sadece pozitif değerler alabilir, fazlar -p£y n £p aralığında hem pozitif hem de negatif değerler

sinyal spektrumu- bu, toplamda bir sinyal oluşturan belirli frekans, genlik ve ilk faz değerlerine sahip bir dizi harmonik bileşendir. Pratikteki teknik uygulamalarda, spektral diyagramlar daha kısaca denir - genlik spektrumu, faz spektrumu.Çoğu zaman genlik spektral diyagramıyla ilgilenirler. Spektrumdaki harmoniklerin yüzdesini tahmin etmek için kullanılabilir.

Örnek vermek 2.3. Fourier serisinde periyodik bir dikdörtgen video darbeleri dizisini genişletin itibaren bilinen parametreler (U m , T, t z), hatta "t=0 noktasına göre. U m =2B, T=20ms, S=T/t ve =2 ve 8'de genliklerin ve fazların spektral bir diyagramını oluşturun.

Bir periyot aralığında verilen bir periyodik sinyal şu ​​şekilde yazılabilir:

u(t) =

Bu sinyali temsil etmek için Fourier serisi formunu kullanacağız. içinde formu (2.4). Sinyal eşit olduğundan, genişlemede sadece kosinüs bileşenleri kalacaktır.

Pirinç. 2.6. Periyodik bir sinyalin spektral diyagramları:

a - genlik; B- faz

Tek bir fonksiyonun sıfıra eşit bir periyotta integrali. Formülleri (2.5) kullanarak katsayıları buluruz

Fourier serisini yazmaya izin verir:

Spesifik sayısal veriler için spektral diyagramlar oluşturmak için n=0, 1, 2, 3, ... ayarlıyoruz ve harmonik katsayıları hesaplıyoruz. Spektrumun ilk sekiz bileşeninin hesaplanmasının sonuçları Tablo'da özetlenmiştir. 2.1. Seri halinde (2.4) Bir "mn \u003d 0 ve (2.7)'ye göre A mn =|A' mn |, temel frekans f 1 =1/T= 1/20-10 -3 =50 Hz, w 1 =2pf 1 =2p*50=314rad/s. Şekil l'deki genlik spektrumu.

2.7 bunlar için inşa edilmiştir n, hangi altında bir dakika maksimum değerin %5'inden fazla.

Yukarıdaki örnek 2.3'ten, görev döngüsündeki bir artışla, spektral bileşenlerin sayısının arttığını ve genliklerinin azaldığını takip eder. Böyle bir sinyalin zengin bir spektruma sahip olduğu söylenir. Pratik olarak kullanılan birçok sinyal için, daha önce verilen formülleri kullanarak harmoniklerin genliklerini ve fazlarını hesaplamaya gerek olmadığına dikkat edilmelidir.

Tablo 2.1. Periyodik bir dikdörtgen darbe dizisinin Fourier serisinin bileşenlerinin genlikleri

Pirinç. 2.7. Periyodik bir darbe dizisinin spektral diyagramları: fakat- görev döngüsü S-2 ile; - b-görev döngüsü S=8 ile

Matematiksel referans kitaplarında, bir Fourier serisindeki sinyallerin açılım tabloları vardır. Bu tablolardan biri Ek'te verilmiştir (Tablo A.2).

Sıklıkla şu soru ortaya çıkar: Bir Fourier serisinde gerçek bir sinyali temsil etmek için kaç spektral bileşen (harmonik) alınmalıdır? Ne de olsa dizi, kesinlikle konuşursak, sonsuzdur. Burada net bir cevap verilemez. Her şey sinyalin şekline ve Fourier serisi tarafından temsilinin doğruluğuna bağlıdır. Daha yumuşak sinyal değişimi - daha az harmonik gerekli. Sinyalde atlamalar (süreksizlikler) varsa, aynı hatayı elde etmek için daha fazla harmonik toplanmalıdır. Bununla birlikte, birçok durumda, örneğin telgrafta, dik cepheli dikdörtgen darbelerin iletimi için üç harmoniğin yeterli olduğuna inanılmaktadır.

fakat) Dikdörtgen darbe treni .

Şekil 2. Dikdörtgen darbelerin sırası.

Bu sinyal eşit bir fonksiyondur ve temsili için kullanımı uygundur. sinüs-kosinüs dalga biçimi Fourier serisi:

. (17)

Darbelerin süresi ve tekrarlanma süresi, elde edilen formüle bir oran şeklinde dahil edilir. darbe treninin görev döngüsü :.

. (18)

Serinin sabit teriminin değeri dikkate alındığında karşılık gelir:

.

Fourier serisi biçiminde bir dikdörtgen darbe dizisinin temsili şu şekildedir:

. (19)

Fonksiyonun grafiği petal karaktere sahiptir. Yatay eksen harmonik sayılarda ve frekanslarda derecelendirilir.

Şekil 3. Dikdörtgen darbe dizisinin temsili

Fourier serisi şeklinde.

taç yaprağı genişliği, harmonik sayısıyla ölçülen görev döngüsüne eşittir ( at , bizde , if ). Bu, bir dizi dikdörtgen darbenin spektrumunun önemli bir özelliğini ifade eder - içinde görev döngüsünün katları olan sayılarla harmonik yoktur . Bitişik harmonikler arasındaki frekans mesafesi, darbe tekrarlama hızına eşittir. Frekans birimleriyle ölçülen lobların genişliği, yani. sinyalin süresi ile ters orantılıdır. Şu sonuca varabiliriz: nabız ne kadar kısa olursa, spektrum o kadar geniş olur .

b) Testere dişi sinyali .

Şekil 4. Testere dişi sinyali.

Bir periyot içindeki testere dişi sinyali, doğrusal bir fonksiyonla tanımlanır.

, . (20)

Bu sinyal tek bir fonksiyondur, dolayısıyla sinüs-kosinüs formundaki Fourier serisi sadece sinüs bileşenlerini içerir:

Testere dişi sinyalinin Fourier serisi şu şekildedir:

Dikdörtgen ve testere dişi sinyallerinin spektrumları için, sayıları artan harmoniklerin genlikleri tipiktir. orantılı olarak azaltmak .

içinde) Üçgen Darbe Dizisi .

Fourier serisi şu şekildedir:

Şekil 5. Bir dizi üçgen darbe.

Gördüğünüz gibi, dikdörtgen ve testere dişi darbe dizisinden farklı olarak, üçgen periyodik bir sinyal için, harmoniklerin genlikleri, harmonik sayıların ikinci kuvvetiyle orantılı olarak azalır. Bunun nedeni, spektrumun bozunma hızının aşağıdakilere bağlı olmasıdır. sinyalin düzgünlük derecesi.

Ders numarası 3. Fourier dönüşümü.

Fourier dönüşüm özellikleri.

LABORATUVAR #1

FOURIER SERİSİNDE SİNYALLERİN GENİŞLETİLMESİ

Görevin amacı

Fourier serisindeki sinyallerin ayrıştırılması örneklerine aşina olun ve MatLab sisteminde çeşitli sinyal türlerinin ayrıştırılmasını pratik olarak uygulayın.

Sorunun formülasyonu

Bir Fourier serisinde çeşitli tiplerdeki sinyallerin açılımlarını gerçekleştirin. Aşağıdaki sinyaller ayrışmaya tabidir: bir dikdörtgen darbe dizisi, bir kare dalga, bir testere dişi sinyali ve bir üçgen darbe dizisi.

Her seçenek ve her sinyal türü için aşağıdaki parametreler ayarlanır:

bir dizi dikdörtgen darbe için - genlik, tekrarlama süresi ve darbe süresi;

bir menderes için, bir testere dişi sinyali ve bir dizi üçgen darbe - darbelerin genliği ve tekrarlama süresi.

Tüm sinyal türleri için sıfır olmayan harmoniklerin sayısı belirtilir.

MatLab sistemine programlar yazın ve grafikleri çizin.

Sorunun formülasyonu.

Dikdörtgen darbeler, kare dalga, testere dişi sinyali ve üçgen darbeler dizisini ayrıştırmak için program kodu.

Program yürütmenin sonuçları, toplamanın ara aşamalarının grafikleridir.

yönergeler

Fourier serisi

Fourier genişlemesi periyodik sinyallere uygulanabilir. Ayrıca, aritmetik bir ilerleme oluşturan frekanslara sahip harmonik fonksiyonların veya karmaşık üstellerin bir toplamı olarak temsil edilirler.

Fourier serisi, yalnızca periyodik sinyalleri değil, aynı zamanda sonlu süreli sinyalleri de temsil etmek için uygulanabilir. Bu durumda, Fourier serisinin oluşturulduğu zaman aralığı belirtilir ve diğer zamanlarda sinyalin sıfıra eşit olduğu kabul edilir. Serinin katsayılarını hesaplamak için, bu yaklaşım aslında sinyalin dikkate alınan aralığın sınırlarının ötesinde periyodik olarak devam etmesi anlamına gelir.

sinüs-kosinüs dalga formu

Bu versiyonda, Fourier serisi aşağıdaki forma sahiptir:

Burada
eşit sinyal tekrarlama periyoduna karşılık gelen dairesel frekanstır . Formülde yer alan frekanslar bunun katlarıdır.
harmonikler denir, harmonikler indekse göre numaralandırılır ; Sıklık
isminde sinyalin harmoniği. seri katsayıları Ve formüllere göre hesaplanır:

,

.

Devamlı genel formülü ile hesaplanan . Bu terimin kendisi, dönem boyunca sinyalin ortalama değeridir:

.

Eğer
eşit bir fonksiyondur, o zaman hepsi sıfıra eşit olacak ve Fourier serisinin formülünde sadece kosinüs terimleri bulunacaktır. Eğer
tek bir fonksiyondur, kosinüs katsayıları ve formülde sadece sinüs terimleri kalacaktır.

DİKDÖRTGEN BAKLİYAT SIRASI

Genlikli bir dizi dikdörtgen darbe , süre ve tekrar süresi .

Pirinç. 1 Periyodik dikdörtgen darbe dizisi

Bu sinyal eşit bir fonksiyondur, bu nedenle temsili için Fourier serisinin sinüs-kosinüs formunu kullanmak daha uygundur - sadece kosinüs terimlerini içerecektir , eşittir

.

Periyodun darbelerin süresine oranına denir. darbe treninin görev döngüsü ve harfle gösterilir :
.

Fourier serisi biçiminde bir dikdörtgen darbe dizisinin temsili:

.

Serinin harmonik terimlerinin genlikleri harmonik sayısına bağlıdır.

MEANDER

Önceki sinyalin özel bir durumu menderes- darbelerin süreleri ve aralarındaki aralıklar eşit olduğunda, görev döngüsü ikiye eşit olan bir dikdörtgen darbe dizisi (Şekil 2).

Pirinç. 2 Menderes

saat
, alırız

Burada m keyfi bir tamsayıdır.

Fourier serisinde genişletildiğinde, bileşenler bile yok olacaktır.

SAWTOCK SİNYAL

Periyot içinde doğrusal bir fonksiyonla tanımlanır:

Pirinç. 3. Testere dişi sinyali

Bu sinyal tek bir fonksiyondur, dolayısıyla sinüs-kosinüs formundaki Fourier serisi sadece sinüs terimlerini içerecektir:

.

Testere dişi sinyalinin Fourier serisinin kendisi şöyle görünür:

ÜÇGEN BAKLİYAT SIRASI

Şekil 4. Üçgen Darbe Dizisi

Sinyal eşit bir fonksiyondur, dolayısıyla kosinüs bileşenleri mevcut olacaktır.

Fourier serisinin katsayılarını hesaplayalım:

Fourier serisinin kendisi aşağıdaki forma sahiptir:

Gördüğünüz gibi, dikdörtgen ve testere dişi darbe dizilerinin aksine, üçgen periyodik bir sinyal için harmoniklerin genlikleri, harmonik sayıların ikinci kuvvetiyle orantılı olarak azalır. .

Menderes için program kodu

N=8; sıfır olmayan harmoniklerin % sayısı

t= -1:0.01:1; % zaman vektörü

A=1; % genlik

T= 1; % dönem

nh=(1:N)*2-1; sıfır olmayan harmoniklerin % sayısı

harmonikler = cos(2*pi*nh"*t/T);

Am=2/pi./nh; harmoniklerin % genliği

Am(2:2:bitiş) = -Am(2:2:bitiş); % karakter değişimi

s1 = harmonikler .* repmat(Am", 1, uzunluk(t));

% line - harmoniklerin kısmi toplamları

k=1:N için, subplot(4, 2, k), plot(t, s2(k,:)), end

r
programın sonucu

Yorumlar :repmat– aynı bloklardan bir blok matrisi veya çok boyutlu bir blok dizisinin oluşturulması.

Cum toplamı- elemanların kısmi toplamlarının hesaplanması.

alt nokta (satırlar, Col'lar, n) – Birden çok grafiği görüntüleme komutu. Grafik penceresi, bir matris şeklinde hücrelere bölünmüştür. satırlar– çizgiler, Col'lar- sütunlar ve n– hücre akım olur.

Seçenekler

№ seçenek	Sinyal Parametreleri
	–sinyal genliği	–sinyal tekrarlama süresi	–sinyal süresi	–sıfır olmayan harmonik sayısı