Bir çözümle sayıları farklı sayı sistemlerine dönüştürme. Sayı sistemleri. Bir sistemden diğerine geçiş

Sayı sistemlerinin temel kavramları

Sayı sistemi, bir dizi dijital karakter kullanarak sayı yazmak için bir dizi kural ve tekniktir. Sisteme bir sayı kaydetmek için gereken basamak sayısına sayı sisteminin tabanı denir. Sistemin tabanı, indiste doğru sayılarla yazılmıştır:; ; vesaire.

İki tür sayı sistemi vardır:

konumsal, bir sayının her basamağının değeri, sayı kaydındaki konumuna göre belirlendiğinde;

konumsal olmayan, sayıdaki basamağın değeri, sayı kaydındaki yerine bağlı olmadığında.

Konumsal olmayan bir sayı sistemine bir örnek Roma'dır: IX, IV, XV, vb. sayılar. Konumsal sayı sistemine bir örnek, günlük olarak kullanılan ondalık sistemdir.

Konumsal sistemdeki herhangi bir tamsayı polinom şeklinde yazılabilir:

burada S sayı sisteminin tabanıdır;

Verilen sayı sisteminde yazılan sayının rakamları;

n, sayının basamak sayısıdır.

Örnek. Sayı polinom şeklinde aşağıdaki gibi yazılır:

Sayı sistemleri türleri

Romen rakamı sistemi konumsal olmayan bir sistemdir. Rakamları yazmak için Latin alfabesinin harflerini kullanır. Bu durumda, I harfi her zaman bir anlamına gelir, V harfi beş, X on, L elli, C yüz, D beş yüz, M bindir vb. Örneğin 264 sayısı CCLXIV olarak yazılır. Romen rakam sisteminde sayılar yazarken, sayının değeri, içerdiği rakamların cebirsel toplamıdır. Aynı zamanda, sayı kaydındaki sayılar, kural olarak, değerlerine göre azalan sırada takip eder ve üç özdeş sayının yan yana yazılmasına izin verilmez. Daha büyük değerli bir rakamı daha küçük bir rakam takip ettiğinde, sayının bir bütün olarak değerine katkısı negatiftir. Romen rakam sisteminde sayı yazmak için genel kuralları gösteren tipik örnekler tabloda gösterilmiştir.

Tablo 2. Romen rakam sisteminde sayıların yazılması

		III
	vii	VIII
	XIII	Xviii	XIX	XXII
XXXIV	XXXIX			XCIX
200	438	649	999	1207
	CDXXXVIII	DCXLIX	CMXCIX	MCCVII
2045	3555	3678	3900	3999
MMXLV	MMMDLV	MMMDCLXXVIII	MMCM	MMMCMXCIX

Roma sisteminin dezavantajı, sayıları yazmak için resmi kuralların olmaması ve buna bağlı olarak çok basamaklı sayılarla aritmetik işlemlerin olmamasıdır. Rahatsızlık ve büyük karmaşıklık nedeniyle, Romen rakamı sistemi şu anda gerçekten uygun olduğu yerlerde kullanılmaktadır: literatürde (bölüm numaralandırma), evrak işlerinde (bir dizi pasaport, menkul kıymet vb.), bir kadran üzerinde dekoratif amaçlar için. izle ve diğer bazı durumlarda.

Ondalık sayı sistemi şu anda en ünlü ve kullanılan sistemdir. Ondalık sayı sisteminin icadı, insan düşüncesinin ana başarılarına aittir. Onsuz, modern teknoloji, bırakın ortaya çıkmak şöyle dursun, var olamazdı. Ondalık sayı sisteminin yaygınlaşmasının nedeni hiç de matematiksel değildir. İnsanlar ondalık gösterimle saymaya alışkındır çünkü her bir elinde 10 parmak vardır.

Ondalık basamakların eski tasviri (Şekil 1) tesadüfi değildir: her basamak, içindeki köşe sayısına göre bir sayıyı belirtir. Örneğin, 0 - köşe yok, 1 - bir köşe, 2 - iki köşe vb. Ondalık basamakların yazılması önemli değişiklikler geçirdi. Kullandığımız form 16. yüzyılda kuruldu.

Ondalık sistem ilk olarak Hindistan'da MS 6. yüzyılda ortaya çıktı. Hint numaralandırması, boş bir konumu belirtmek için dokuz sayısal karakter ve sıfır kullandı. Bize ulaşan ilk Hint elyazmalarında, sayılar en anlamlı rakam sağda olacak şekilde ters sırada yazılmıştır. Ancak kısa süre sonra böyle bir sayıyı sol tarafa yerleştirmek bir kural haline geldi. Konumsal notasyon sistemi için tanıtılan sıfır karakterine özel önem verildi. Sıfır dahil Hint numaralandırması zamanımıza geldi. Avrupa'da, Hindu ondalık aritmetik yöntemleri 13. yüzyılın başında yaygınlaştı. İtalyan matematikçi Pisa Leonardo'nun (Fibonacci) çalışmaları sayesinde. Avrupalılar Hint rakam sistemini Araplardan ödünç alarak Arap olarak adlandırdılar. Tarihsel olarak yanlış olan bu isim bugüne kadar korunmuştur.

Ondalık sistem on basamak - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 ile bir sayının işaretini ve virgül veya tam ve kesirli parçaları ayırmak için nokta. sayılar.

Bilgisayar makineleri bir ikili sayı sistemi kullanır, tabanı 2'dir. Bu sistemde sayıları yazmak için sadece iki basamak kullanılır - 0 ve 1. Yaygın yanlış anlayışın aksine, ikili sayı sistemi bilgisayar tasarım mühendisleri tarafından icat edilmedi, ama bilgisayarların ortaya çıkmasından çok önce, on yedinci ve on dokuzuncu yüzyıllarda matematikçiler ve filozoflar tarafından. İkili sayı sisteminin ilk yayınlanmış tartışması İspanyol rahip Juan Caramuel Lobkowitz'e (1670) aittir. Bu sisteme genel olarak dikkat, Alman matematikçi Gottfried Wilhelm Leibniz'in 1703'te yayınlanan bir makalesi tarafından çekildi. İkili toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini açıkladı. Leibniz, bu sistemin pratik hesaplamalar için kullanılmasını önermedi, ancak teorik araştırmalar için önemini vurguladı. Zamanla, ikili sayı sistemi iyi tanındı ve geliştirildi.

Bilgisayarda kullanım için ikili sistem seçimi, elektronik elemanların - bir bilgisayar mikro devresini oluşturan tetikleyicilerin - yalnızca iki çalışma durumunda olabileceği gerçeğiyle açıklanmaktadır.

İkili bir kodlama sistemi yardımıyla herhangi bir veriyi ve bilgiyi yakalayabilirsiniz. Mors kodunu kullanarak bilgileri kodlama ve iletme ilkesini hatırlıyorsanız, bunu anlamak kolaydır. Bu alfabenin yalnızca iki sembolünü (noktalar ve tireler) kullanan bir telgraf operatörü hemen hemen her metni iletebilir.

İkili sistem bir bilgisayar için uygundur, ancak bir kişi için elverişsizdir: sayılar uzundur ve yazılması ve hatırlanması zordur. Elbette bir sayıyı ondalık sisteme çevirebilir ve bu formda yazabilirsiniz ve daha sonra geri çevirmeniz gerektiğinde, ancak tüm bu çeviriler zaman alır. Bu nedenle, ikili - sekizli ve onaltılı gibi sayı sistemleri kullanılır. Bu sistemlerde sayı yazmak için sırasıyla 8 ve 16 hane gereklidir. Onaltılık sistemde ilk 10 hane ortaktır ve ardından büyük Latin harfleri kullanılır. Onaltılık basamak A, ondalık 10'a, onaltılık B - ondalık 11'e karşılık gelir. Bu sistemlerin kullanımı, bu sistemlerin herhangi birinde ikili gösteriminden sayı yazmaya geçişin çok basit olmasıyla açıklanmaktadır. Aşağıda, farklı sistemlerde kaydedilen numaralar arasındaki yazışma tablosu bulunmaktadır.

Tablo 3. Farklı sayı sistemlerinde yazılan sayıların karşılıkları

Ondalık	İkili	Sekizli	onaltılık
	001
	010
	011
	100
	101
	110
	111
	1000
	1001
	1010
	1011
	1100
	1101		NS http://viagrasstore.net/generic-viagra-soft/
	1110
	1111
	10000

Sayıları bir sayı sisteminden diğerine çevirme kuralları

Sayıları bir sayı sisteminden diğerine dönüştürmek, makine aritmetiğinin önemli bir parçasıdır. Çevirinin temel kurallarını ele alalım.

1. İkili bir sayıyı ondalık sayıya dönüştürmek için, sayının basamaklarının ürünlerinden ve 2 sayısının karşılık gelen kuvvetinden oluşan bir polinom şeklinde yazmak ve ondalık kurallarına göre hesaplamak gerekir. aritmetik:

Çeviri yaparken, iki kuvvet tablosunu kullanmak uygundur:

Tablo 4. 2'nin Kuvvetleri

n (derece)
											1024

Örnek. Sayıyı ondalık gösterime dönüştürün.

2. Sekizli bir sayıyı ondalık sayıya dönüştürmek için, sayının basamaklarının ürünlerinden ve 8 sayısının karşılık gelen kuvvetinden oluşan bir polinom şeklinde yazmak ve ondalık kurallarına göre hesaplamak gerekir. aritmetik:

Çeviri yaparken, sekizin güçler tablosunu kullanmak uygundur:

Tablo 5. 8'in Kuvvetleri

n (derece)

Kodlamaları incelerken sayı sistemlerini yeterince anlamadığımı fark ettim. Bununla birlikte, sık sık 2-, 8-, 10-, 16. sistemleri kullandı, birbirine tercüme etti, ancak her şey “otomatik olarak” yapıldı. Pek çok yayını okuduktan sonra, bu kadar temel malzeme üzerine basit bir dille yazılmış tek bir makalenin olmaması beni şaşırttı. Bu yüzden sayı sistemlerinin temellerini erişilebilir ve düzenli bir şekilde açıklamaya çalıştığım kendiminkini yazmaya karar verdim.

Tanıtım

gösterim sayıları yazmanın (temsil etmenin) bir yoludur.

Ne anlama geliyor? Örneğin, önünüzde birkaç ağaç görüyorsunuz. Senin görevin onları saymak. Bunu yapmak için - parmaklarınızı bükebilir, taş üzerinde çentikler yapabilir (bir ağaç - bir parmak / çentik) veya 10 ağacı bir nesneyle, örneğin bir taşla ve tek bir kopyayla eşleştirebilir ve üzerine yerleştirebilirsiniz. saydıkça toprak. İlk durumda, sayı, ikincisinde bir dizi bükülmüş parmak veya çentik olarak temsil edilir - taşların solda olduğu ve sağda çubukların olduğu bir taş ve çubuk bileşimi.

Sayı sistemleri, konumsal ve konumsal olmayan ve konumsal olarak da homojen ve karışık olanlara bölünmüştür.

Konumsal olmayan- en eski, içinde bir sayının her basamağı, konumuna (rütbesine) bağlı olmayan bir değere sahiptir. Yani, 5 çizginiz varsa, o zaman sayı da 5'tir, çünkü satırdaki yerine bakılmaksızın her çizgi yalnızca 1 nesneye karşılık gelir.

konumsal sistem- her basamağın anlamı, sayı içindeki konumuna (rakamına) bağlıdır. Örneğin, bize tanıdık gelen 10. sayı sistemi konumsaldır. 453 sayısını düşünün. 4 sayısı yüz sayısını belirtir ve 400 sayısına karşılık gelir, 5 - onlarca sayısı ve 50 değerine ve 3 - birim ve 3 değerine benzer. Gördüğünüz gibi, daha büyük rakam, değer ne kadar yüksekse. Son sayı 400 + 50 + 3 = 453 toplamı olarak gösterilebilir.

homojen sistem- numaranın tüm basamakları (konumları) için izin verilen semboller (sayılar) kümesi aynıdır. Örnek olarak, daha önce bahsedilen 10. sistemi ele alalım. Homojen bir 10. sistemde bir sayı yazarken, her basamakta 0'dan 9'a kadar yalnızca bir basamak kullanabilirsiniz, bu nedenle 450 sayısına izin verilir (1. basamak - 0, 2. - 5, 3. - 4) ve 4F5'e izin verilmez, çünkü F karakteri 0'dan 9'a kadar olan sayının bir parçası değildir.

Karma sistem- numaranın her basamağında (pozisyonunda), geçerli karakterler (rakamlar) kümesi diğer basamak gruplarından farklı olabilir. Çarpıcı bir örnek, zaman ölçüm sistemidir. Saniye ve dakika kategorisinde 60 farklı karakter ("00" ile "59" arasında), saat kategorisinde - 24 farklı karakter ("00" ile "23" arasında), gün kategorisinde - 365, vb.

Konumsal olmayan sistemler

İnsanlar saymayı öğrenir öğrenmez sayıları yazmaya ihtiyaç vardı. Başlangıçta, her şey basitti - bazı yüzeylerdeki bir çentik veya çizgi, örneğin bir meyve gibi bir nesneye karşılık geldi. İlk sayı sistemi böyle ortaya çıktı - birim bir.

Birim numarası sistemi

Bu sayı sistemindeki bir sayı, sayısı verilen sayının değerine eşit olan bir tire (çubuk) dizisidir. Böylece, 100 hurma hasadı, 100 tireden oluşan bir sayıya eşit olacaktır.
Ancak bu sistemin bariz dezavantajları vardır - sayı ne kadar büyük olursa, çubuk dizisi o kadar uzun olur. Ayrıca, yanlışlıkla fazladan bir çubuk ekleyerek veya tam tersine eklemeyerek sayı yazarken kolayca hata yapabilirsiniz.

Kolaylık sağlamak için insanlar çubukları 3, 5, 10 parça halinde gruplandırmaya başladı. Aynı zamanda, her gruba belirli bir işaret veya nesne karşılık geldi. Başlangıçta, saymak için parmaklar kullanıldı, bu nedenle ilk işaretler 5 ve 10 adetlik (birim) gruplar için ortaya çıktı. Bütün bunlar, sayıları kaydetmek için daha uygun sistemler oluşturmayı mümkün kıldı.

Eski Mısır ondalık sistemi

Eski Mısır'da 1, 10, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5, 10 6, 10 7 sayılarını belirtmek için özel semboller (sayılar) kullanılmıştır. İşte onlardan bazıları:

Neden ondalık denir? Yukarıda belirtildiği gibi, insanlar karakterleri gruplandırmaya başladılar. Mısır'da, "1" sayısını değiştirmeden 10'lu gruplamayı seçtiler. Bu durumda, 10 sayısı ondalık sayı sisteminin tabanı olarak adlandırılır ve her karakter bir dereceye kadar 10 sayısının bir temsilidir.

Eski Mısır sayı sistemindeki sayılar, bunların bir kombinasyonu olarak yazılmıştır.
her biri en fazla dokuz kez tekrarlanan karakterler. Toplam değer, sayının öğelerinin toplamına eşitti. Bu değer elde etme yönteminin, konumsal olmayan her sayı sisteminin doğasında bulunduğuna dikkat edilmelidir. Bir örnek 345 sayısıdır:

Babil altmışlık sistemi

Mısır'dan farklı olarak, Babil sisteminde sadece 2 sembol kullanıldı: “düz” kama - birimleri belirtmek için ve “yaslanmış” - onlarca için. Bir sayının değerini belirlemek için sayının görüntüsünü sağdan sola rakamlara bölmek gerekir. Yaslanmış olandan sonra düz bir kama görünümü ile yeni bir deşarj başlar. Örnek olarak 32 sayısını alalım:

60 sayısı ve tüm dereceleri de düz bir kama ile “1” olarak gösterilir. Bu nedenle, Babil sayı sistemine altıyaşlık sayı adı verildi.
Babilliler 1'den 59'a kadar olan tüm sayıları ondalık konumsal olmayan sistemde, büyük değerleri ise 60 tabanlı konumsal sistemde yazmışlardır. 92 Sayısı:

Sıfırı gösteren bir rakam olmadığı için numaranın kaydı belirsizdi. 92 sayısının temsili yalnızca 92 = 60 + 32 anlamına gelmeyebilir, aynı zamanda örneğin 3632 = 3600 + 32 anlamına da gelebilir. Sayının mutlak değerini belirlemek için, ondalık gösterimde 0 basamağının görünümüne karşılık gelen eksik altıyaşilik basamağı belirtmek için özel bir karakter tanıtıldı:

Şimdi 3632 sayısı şu şekilde yazılmalıdır:

Babil altmışlık sistemi, kısmen konum ilkesine dayanan ilk sayı sistemidir. Bu numaralandırma sistemi günümüzde hala kullanılmaktadır, örneğin zamanı belirlerken - bir saat 60 dakikadan ve bir dakika 60 saniyeden oluşur.

Roma sistemi

Roma sistemi Mısır sisteminden çok farklı değil. Sırasıyla 1, 5, 10, 50, 100, 500 ve 1000 sayılarını temsil etmek için I, V, X, L, C, D ve M büyük Latin harflerini kullanır. Romen rakam sistemindeki bir sayı, ardışık sayılar kümesidir.

Bir sayının değerini belirleme yöntemleri:

1. Bir sayının değeri, rakamlarının değerlerinin toplamına eşittir. Örneğin, Roma rakam sisteminde 32 sayısı XXXII = (X + X + X) + (I + I) = 30 + 2 = 32'dir.
2. Daha büyük basamağın solunda daha küçükse, değer daha büyük ve daha küçük basamaklar arasındaki farka eşittir. Aynı zamanda, soldaki rakam sağdakinden en fazla bir büyüklük sırasına göre daha az olabilir: bu nedenle, "alt" olanların L (50) ve C (100) öncesinde, sadece X (10) durabilir, D (500) ve M (1000) öncesi - sadece C (100), V (5) öncesi - sadece I (1); dikkate alınan sayı sisteminde 444 sayısı CDXLIV = (D-C) + (L-X) + (V-I) = 400 + 40 + 4 = 444 şeklinde yazılacaktır.
3. Değer, 1 ve 2 puanın altına sığmayan grup ve sayıların değerlerinin toplamına eşittir.

Sayısallara ek olarak, alfabetik (alfabetik) sayı sistemleri de vardır, işte bunlardan bazıları:
1) Slav
2) Yunanca (İyonca)

Konumsal sayı sistemleri

Yukarıda bahsedildiği gibi, konumsal bir sistemin ortaya çıkması için ilk ön koşullar eski Babil'de ortaya çıktı. Hindistan'da sistem, sıfır kullanılarak konumsal ondalık numaralandırma biçimini aldı ve Hintlilerden bu sayı sistemi, Avrupalılar tarafından benimsendiği Araplar tarafından ödünç alındı. Nedense Avrupa'da "Arap" adı bu sisteme takıldı.

Ondalık sayı sistemi

Bu en yaygın sayı sistemlerinden biridir. Bir ürünün fiyatını adlandırırken ve otobüs numarasını telaffuz ederken kullandığımız şey budur. Her basamakta (konumda) 0 ile 9 aralığında sadece bir basamak kullanılabilir.Sistemin temeli 10 sayısıdır.

Örneğin, 503 sayısını alın. Bu sayı konumsal olmayan bir sistemde yazılmış olsaydı, değeri 5 + 0 + 3 = 8 olurdu. Ama konumsal bir sistemimiz var ve bu nedenle sayının her basamağı ile çarpılmalıdır. sistemin tabanı, bu durumda “ 10 ” sayısı, basamak sayısına eşit kuvvete yükseltilmiştir. Değerin 5 * 10 2 + 0 * 10 1 + 3 * 10 0 = 500 + 0 + 3 = 503 olduğu ortaya çıkıyor. Aynı anda birden fazla sayı sistemi ile çalışırken karışıklığı önlemek için taban olarak belirtilir. alt simge. Yani 503 = 503 10.

Ondalık sisteme ek olarak, 2-, 8-, 16. sistemler özel ilgiyi hak ediyor.

İkili sayı sistemi

Bu sistem esas olarak bilgi işlemde kullanılır. Neden bizim alıştığımız 10'uncuyu kullanmadılar? İlk bilgisayar makinesi, ondalık sistemi kullanan ve modern elektronik makinelerde sakıncalı olduğu ortaya çıkan Blaise Pascal tarafından yaratıldı, çünkü 10 eyalette çalışabilen cihazların üretilmesini gerektiriyordu, bu da fiyatlarını artırdı ve nihai makinenin boyutu. 2. sistemde çalışan elemanlar bu eksikliklerden yoksundur. Bununla birlikte, söz konusu sistem, bilgisayarların icadından çok önce yaratılmıştır ve kökleri, kipu - karmaşık ip örgüleri ve düğümleri kullandıkları İnka uygarlığına dayanmaktadır.

İkili konumsal sayı sisteminin 2 tabanı vardır ve sayıyı yazmak için 2 karakter (rakam) kullanır: 0 ve 1. Her basamakta yalnızca bir basamak kullanılabilir - 0 veya 1.

Bir örnek 101 sayısıdır. Ondalık gösterim sistemindeki 5 sayısına benzer. 2'den 10'a çevirmek için, ikili sayının her basamağını, basamağa eşit olan kuvvete yükseltilmiş “2” tabanı ile çarpmak gerekir. Böylece 101 sayısı 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5 10 olur.

Eh, makineler için 2. sayı sistemi daha uygundur, ancak genellikle 10. sistemdeki bilgisayar numaralarında kullanıldığını görüyoruz. O halde makine, kullanıcının hangi sayıyı gireceğini nasıl belirler? Elinde sadece 2 karakter olduğu için bir sayıyı bir sistemden diğerine nasıl çevirir - 0 ve 1?

Bir bilgisayarın ikili sayılarla (kodlarla) çalışabilmesi için bir yerde saklanmaları gerekir. Her bir basamağı saklamak için elektronik bir devre olan bir tetikleyici kullanılır. Biri sıfıra, diğeri bire karşılık gelen 2 durumda olabilir. Ayrı bir numarayı ezberlemek için bir kayıt kullanılır - sayısı ikili bir sayıdaki basamak sayısına karşılık gelen bir grup tetikleyici. Ve kayıt kümesi rastgele erişim belleğidir. Kayıtta yer alan sayı bir makine kelimesidir. Kelimelerle aritmetik ve mantıksal işlemler, bir aritmetik mantık birimi (ALU) tarafından gerçekleştirilir. Kayıtlara erişimi kolaylaştırmak için, bunlar numaralandırılmıştır. Numaraya kayıt adresi denir. Örneğin, 2 sayı eklemeniz gerekiyorsa, sayıların kendilerini değil, bulundukları hücrelerin (kayıtların) sayılarını belirtmeniz yeterlidir. Adresler 8- ve 16-ary sistemlerde yazılır (aşağıda tartışılacaktır), çünkü onlardan ikili sisteme geçiş ve tam tersi oldukça basittir. 2. numaradan 8. numaraya transfer için, sağdan sola 3 basamaklı gruplara bölmek ve 16. - 4'e gitmek gerekir. En soldaki rakam grubunda rakam yoksa, o zaman onlar soldaki sıfırlarla doldurulur ve bunlara satır başı denir. Örnek olarak 101100 2 sayısını alalım. Sekizli olarak 101 100 = 54 8 ve onaltılık olarak 0010 1100 = 2C 16'dır. Harika, ama neden ekranda ondalık sayılar ve harfler görüyoruz? Bir tuşa bastığınızda, her bir sembol kendi elektriksel darbe dizisine (sıfırlar ve birler) karşılık gelen belirli bir elektrik darbeleri dizisi bilgisayara iletilir. Klavye ve ekran sürücüsü programı, karakter kodu tablosuna (örneğin, 65536 karakter kodlayabilen Unicode) erişir, ortaya çıkan kodun hangi karaktere karşılık geldiğini belirler ve ekranda görüntüler. Böylece metinler ve sayılar bilgisayar belleğinde ikili kodda saklanır ve programlı olarak ekrandaki görüntülere dönüştürülür.

Sekizli sayı sistemi

Sekizinci sayı sistemi, ikili sistem gibi, genellikle dijital teknolojide kullanılır. Taban 8'dir ve sayıyı temsil etmek için 0'dan 7'ye kadar olan rakamları kullanır.

Sekizli sayı örneği: 254. 10. sisteme dönüştürmek için, orijinal sayının her basamağı 8 n ile çarpılmalıdır, burada n basamak sayısıdır. 254 8 = 2 * 8 2 + 5 * 8 1 + 4 * 8 0 = 128 + 40 + 4 = 172 10 olduğu ortaya çıktı.

Onaltılık sayı sistemi

Onaltılık sistem modern bilgisayarlarda yaygın olarak kullanılır, örneğin rengi gösterir: #FFFFFF - beyaz. Söz konusu sistem 16 tabanına sahiptir ve sayıları yazmak için kullanır: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, burada harfler Sırasıyla 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Örnek olarak 4F5 16 sayısını alalım. Sekizli sisteme dönüştürmek için - önce onaltılık sayıyı ikili sayıya, ardından 3 basamaklı gruplara bölerek sekizli sayıya dönüştürürüz. Bir sayıyı 2'ye dönüştürmek için her rakam 4 bitlik ikili sayı olarak temsil edilmelidir. 4F5 16 = (100 1111 101) 2. Ancak 1. ve 3. gruplarda yer yok, bu yüzden her birini baştaki sıfırlarla dolduruyoruz: 0100 1111 0101. Şimdi ortaya çıkan sayıyı sağdan sola 3 basamaklı gruplara ayırmanız gerekiyor: 0100 1111 0101 = 010 011 110 101. Her bir ikili grubu, her biti 2 n ile çarparak sekizli sisteme çevirelim, burada n, bit sayısıdır: (0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0) (0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0) (1 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0) (1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0) = 2365 8.

Dikkate alınan konumsal sayı sistemlerine ek olarak, diğerleri de vardır, örneğin:
1) Üçlü Birlik
2) Kuvaterner
3) On İkili

Konumsal sistemler homojen ve karışık olarak ikiye ayrılır.

Homojen konumsal sayı sistemleri

Makalenin başında verilen tanım, homojen sistemleri oldukça tam olarak tanımlamaktadır, bu nedenle açıklama gereksizdir.

Karışık sayı sistemleri

Daha önce verilen tanıma, aşağıdaki teoremi ekleyebiliriz: “P = Q n (P, Q, n pozitif tamsayılar ve P ve Q bazlarsa), o zaman karışıktaki herhangi bir sayının temsili (PQ) - th sayı sistemi, aynı sayının Q tabanına yazılmasıyla aynı şekilde çakışıyor. "

Teoremi temel alarak, P-th sistemlerinden Q-th sistemlerine geçiş kurallarını formüle edebiliriz ve bunun tersi de geçerlidir:

1. Q-th sisteminden P-th'e geçiş yapmak için, Q-th sistemindeki sayıyı sağ basamaktan başlayarak n basamaklı gruplara bölmek ve P-th sisteminde her grubu bir basamakla değiştirmek gerekir.
2. P-th'den Q-th'e geçiş yapmak için, P-th sistemindeki bir sayının her basamağını Q-th'e çevirmek ve eksik basamakları, soldaki hariç, baştaki sıfırlarla doldurmak gerekir, böylece her biri Q tabanlı sistemdeki sayı n basamaktan oluşur ...

Çarpıcı bir örnek, ikili sayı sisteminden sekizliye çeviridir. 10011110 2 ikili sayısını sekizliğe çevirmek için sağdan sola 3 basamaklı gruplara ayıralım: 010 011 110, şimdi her basamağı 2 n ile çarpıyoruz, burada n, basamağın sayısıdır, 010 011 110 = (0 * 2 2 +1 * 2 1 + 0 * 2 0) (0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0) (1 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0 ) = 236 8. 10011110 2 = 236 8 olduğu ortaya çıktı. İkili sekizli bir sayının görüntüsünün belirsizliği için üçlülere bölünür: 236 8 = (10 011 110) 2-8.

Karışık sayı sistemleri de örneğin:
1) faktöriyel
2) Fibonacci'nin

Bir sayı sisteminden diğerine çeviri

Bazen bir sayıyı bir sayı sisteminden diğerine dönüştürmek gerekebilir, bu nedenle farklı sistemler arasında çeviri yapmanın yollarını ele alacağız.

Decimal'e Dönüştürme

b tabanında a 1 a 2 a 3 sayısı vardır. 10. sisteme geçmek için, sayının her basamağı b n ile çarpılmalıdır, burada n basamak sayısıdır. Yani (a 1 a 2 a 3) b = (a 1 * b 2 + a 2 * b 1 + a 3 * b 0) 10.

Örnek: 101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5 10

Ondalık sayıdan diğerlerine dönüştürme

Tüm parça:

1. Ondalık sayının tamamını, çevirdiğimiz sistemin tabanına ondalık sayı sıfır olana kadar sırayla böleriz.
2. Bölme ile elde edilen kalanlar, istenen sayının rakamlarıdır. Yeni sistemdeki sayı, son kalandan başlayarak kaydedilir.

Kesirli kısım:

1. Ondalık sayının kesirli kısmı, çevirmek istediğiniz sistemin tabanı ile çarpılır. Bütün parçayı ayırıyoruz. Kesirli kısmı yeni sistemin tabanı ile 0'a eşit olana kadar çarpmaya devam ediyoruz.
2. Yeni sistemdeki sayılar, aldıkları sıraya göre çarpma sonuçlarının bütün kısımlarını oluşturur.

Örnek: 15 10'u sekizliğe dönüştürün:
15 \ 8 = 1, kalan 7
1 \ 8 = 0, kalan 1

Tüm kalanları aşağıdan yukarıya yazarsak, son 17 sayısını elde ederiz. Bu nedenle, 15 10 = 17 8.

İkiliden sekizli ve onaltılıya dönüştürme

Sekizliğe dönüştürmek için, ikili sayıyı sağdan sola 3 basamaklı gruplara ayırdık ve eksik uç basamakları baştaki sıfırlarla doldurduk. Ardından, basamakları sırayla 2 n ile çarparak her grubu dönüştürüyoruz, burada n bit sayısıdır.

Örnek olarak, 1001 2: 1001 2 = 001 001 = (0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0) (0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0) = ( 0+ 0 + 1) (0 + 0 + 1) = 11 8

Onaltılıya dönüştürmek için, ikili sayıyı sağdan sola 4 basamaklı gruplara böleriz, ardından - 2'den 8'e dönüştürmeye benzer şekilde.

Sekizli ve onaltılı sistemlerden ikili sisteme dönüştürme

Sekizlikten ikiliye dönüştürme - bir sekizli sayının her basamağını 2'ye bölerek ikili 3 bitlik bir sayıya dönüştürün (bölme hakkında daha fazla ayrıntı için, yukarıdaki "Ondalıktan diğerlerine dönüştürme" paragrafına bakın), eksik olan uç basamakları doldurun baştaki sıfırlarla.

Örneğin, 45 sayısını ele alalım 8: 45 = (100) (101) = 100101 2

16'dan 2'ye dönüştürme - onaltılık bir sayının her basamağını 2'ye bölerek ikili 4 bitlik bir sayıya dönüştürürüz, eksik aşırı basamakları baştaki sıfırlarla doldururuz.

Herhangi bir sayı sisteminin kesirli kısmını ondalık sayıya dönüştürün

Dönüşüm, sayının basamaklarının tabanla çarpılması dışında, n'nin 1'den başladığı “-n” kuvvetine çarpılması dışında, tam parçalarla aynı şekilde gerçekleştirilir.

Örnek: 101,011 2 = (1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0), (0 * 2 -1 + 1 * 2 -2 + 1 * 2 -3) = (5), (0 + 0 , 25 + 0.125) = 5.375 10

İkili bir sistemin kesirli kısmını 8. ve 16.'ya dönüştürün

Kesirli kısmın çevirisi, 3 ve 4 basamaklı gruplara bölmenin ondalık noktanın sağına gitmesi dışında, bir sayının tüm bölümleriyle aynı şekilde gerçekleştirilir, eksik basamaklar tamamlanır. sağda sıfırlar.

Örnek: 1001.01 2 = 001 001, 010 = (0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0) (0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0), (0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0) = (0 + 0 + 1) (0 + 0 + 1), (0 + 2 + 0) = 11.2 8

Ondalık sistemin kesirli kısmını başka herhangi birine dönüştürün

Bir sayının kesirli kısmını diğer sayı sistemlerine çevirmek için tamsayı kısmını sıfıra çevirmeniz ve elde edilen sayıyı çevirmek istediğiniz sistemin tabanı ile çarpmaya başlamanız gerekir. Çarpmanın bir sonucu olarak, tamsayı kısımları tekrar ortaya çıkarsa, elde edilen tamsayı kısmının değeri önceden ezberlenmiş (yazılmış) olarak yeniden sıfırlanmaları gerekir. Kesirli kısım tamamen kaybolduğunda işlem sona erer.

Örneğin, 10.625 10'u ikiliye çevirelim:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
Tüm kalanları yukarıdan aşağıya yazarsak 10.625 10 = (1010), (101) = 1010.101 2 elde ederiz.

Derse metodik yorum

Öğretmenin hedefleri: Öğrencilere çeşitli kaynaklardan gelen bilgileri birleştirme yöntemlerini göstermek, gruplar halinde verimli çalışma koşulları yaratmak.

Öğrencilerin amaçları: Sayı sistemlerinin ortaya çıkış tarihini tanımak, çeşitli sayı sistemleri oluşturma ilkelerini ve kullanım alanlarını öğrenmek, çeşitli bilgi kaynakları ile gerekli ekip çalışması becerilerini kazanmak.

5. sınıf matematik dersinde çok basamaklı sayıların ayrıştırılması ile ilgili bir ödevi tamamlarken öğrencilerin soruları vardı: “Neden onluk sayarız? Neden farklı saymıyorsun? Saymanın başka yolları var mı? ”. Öğretmenden hafta boyunca sınıf öğrencilerinden oluşan küçük gruplar halinde çalışarak bu konudaki bilgileri araştırarak, analiz ederek ve özetleyerek bu sorulara yanıt bulması istenmiştir. Bu çalışmanın sonuçları resmileştirilmeli ve bir hafta içinde matematik dersinde sunulmalıdır. Dersin sonunda sınıf aşağıdaki yaratıcı gruplara ayrıldı:

• Sayı sistemleri (genel kavramlar) - 5 kişi
• İkili sistem - 7 kişi (en çok ilgiyi bu soru uyandırdı)
• Altıgen sistem - 5 kişi
• Ondalık sistem - 5 kişi
• Diğer sayı sistemleri - 3 kişi
• Onları bir sistemden diğerine aktarma - 5 kişi.

Öğrencilerin araştırma faaliyeti sonucunda şu ders çıkarılmıştır:

“Sayılar dünyayı yönetmez, dünyanın nasıl yönetildiğini gösterir”

(Ve-Goethe'de)

Öğrenci grupları, arama ve analitik çalışmanın sonuçlarını sundu.

I - Genel kavramlar

Sayı sistemi, sayıları belirtmek için bir dizi tekniktir - alfabesi semboller (sayılar) olan bir dil ve sözdizimi, bir sayıyı açık bir şekilde formüle etmenizi sağlayan bir kuraldır.

Sayı, miktarı tanımlayan soyut bir varlıktır.

Rakam, sayıları yazmak için kullanılan bir işarettir. Rakamlar farklıdır, en yaygın olanı Arap rakamlarıdır; daha az yaygın olan Romen rakamları (bir saatin kadranında veya yüzyıl atamasında görülebilir)

Taban, sayı sisteminde kullanılan basamak sayısıdır.

Farklı sayı sistemlerindeki sayı örnekleri:

11001 2 - ikili gösterimde bir sayı

221 3 - üçlü sayı sisteminde bir sayı

31 8 - sekizli gösterimde sayı

25 10 - ondalık gösterimdeki sayı

Aritmetik üzerine eski kitaplarda, 4 aritmetik işleme ek olarak, beşincisinden de bahsedilmiştir - numaralandırma. Numaralandırma (ölü hesap), aritmetiğin yapımında karşılaşılan ilk sorunlardan biriydi.

Sayıları kullanarak sayı yazmanın birçok yolu vardır. Bu yöntemler üç gruba ayrılabilir:

• konumsal sayı sistemleri
• karışık sayı sistemleri
• konumsal olmayan sayı sistemleri

Banknotlar, karışık sayı sistemine bir örnektir. Şimdi Rusya'da, aşağıdaki mezheplerin madeni paraları ve banknotları kullanılmaktadır: 1kop., 5kop., 10kop., 50kop., 1RUB., 2RUB., 5RUB., 10RUB., 50RUB., 100RUB., 500RUB., 1000RUB., 5000RUB. Ruble olarak belirli bir miktar elde etmek için, çeşitli mezheplerden belirli miktarda banknot kullanmanız gerekir. 6379 rubleye mal olan bir elektrikli süpürge aldığımızı varsayalım. Satın alma için ödeme yapmak için 6 fatura 1000 ruble, 3 fatura 100 ruble, 1 elli ruble fatura, iki on, bir beş ruble ve iki madeni para 2 rubleye ihtiyacınız olacak. 100 ruble ile başlayan ve bir kopek ile biten banknot ve madeni para sayısını yazarsak, eksik değerleri sıfırlarla değiştirirsek, karışık sayı sisteminde temsil edilen bir sayı alırız: bizim durumumuzda - 603121200000.

Konumsal olmayan sayı sistemlerinde, bir sayının değeri, sayı kaydındaki rakamların konumuna bağlı değildir. 603121200000 sayısındaki sayıları karıştırsaydık, o zaman bir elektrikli süpürgenin maliyetini anlayamazdık; konumsal olmayan bir sistemde sayılar, miktar değiştirilmeden yeniden düzenlenebilir. Konumsal olmayan bir sisteme bir örnek, Roma sistemidir. Bu tür sistemler toplamsallık ilkesi üzerine kuruludur (İng. Add. - sum). Bir sayının nicel eşdeğeri, rakamların toplamı olarak tanımlanır. Örneğin:

Konumsal sayı sistemlerinde, sayı kaydındaki rakamların sırası her zaman önemlidir. (25 ve 52 farklı sayılardır)

Pratik kullanıma yönelik herhangi bir sayı sistemi şunları sağlamalıdır:

• belirli bir sayı aralığında bir sayıyı temsil etme yeteneği
• açık temsil
• kaydın kısalığı ve basitliği
• sisteme hakim olma kolaylığının yanı sıra onu çalıştırmanın basitliği ve rahatlığı

II - İkili sayı sistemi

İkili sayı sistemi 2 tabanlı bir konumsal sayı sistemidir. Bu sayı sisteminde doğal sayılar iki karakter kullanılarak yazılır: 1 ve 0. İkili sistemdeki sayı bir bittir. Sekiz basamak bir bayttır.

İkili sayı sistemi, 17.-19. yüzyıllarda matematikçiler ve filozoflar tarafından icat edildi. Ünlü matematikçi Leibniz şöyle dedi: "İkilerin yardımıyla hesaplama ... bilim için temeldir ve yeni keşiflere yol açar ... Sayılar en basit başlangıçlara, yani 0 ve 1'e indirgendiğinde, her yerde harika bir düzen ortaya çıkar. " Daha sonra ikili sistem unutuldu ve sadece 1936-1938'de Amerikalı mühendis ve matematikçi Claude Shannon elektronik devrelerin tasarımında ikili sistemin harika bir uygulamasını buldu.

İkili sistem en basiti olduğu için dijital cihazlarda kullanılmaktadır.

İkili sistemin faydaları:

• Sistemde ne kadar az değer bulunursa, bu değerlerle çalışan ayrı elemanların üretilmesi o kadar kolay olur. İki sayı, fiziksel fenomenlerle kolayca temsil edilir: bir akım var - akım yok; manyetik alan indüksiyonu eşik değerinden büyük veya değil, vb.
• Bir elemanın sahip olduğu durum sayısı ne kadar azsa, gürültü bağışıklığı o kadar yüksek ve o kadar hızlı çalışabilir.
• İkili aritmetik oldukça basittir.
• Bitsel işlemleri gerçekleştirmek için mantık aparatını kullanmak mümkündür.

İkiliden ondalık sayıya dönüştürmek için 2'nin güç tablosunu kullanın.

III - Onaltılı sayı sistemi

Modern zamanlarda, zamanı ve açıları ölçmek için altmışlık sayı sistemi kullanılır.

Zamanın temsilinde üç konum kullanılır: saat, dakika, saniye, çünkü her konum için 60 basamak kullanmanız gerekir ve yalnızca 10'umuz vardır, o zaman her altmışlık konum için iki ondalık basamak (00, 01, ... ) kullanıldığında, konumlar iki nokta üst üste ile ayrılır. h: m: s.

Altmışlık sayı sistemindeki eylemleri iki problem üzerinde düşünün:

1. Pastanın 45 dakika fırında pişirilmesi gerekiyor. Kaç saniye sürecek?
2. 10 turta pişirmeniz gerekiyor. Ne kadar sürer?

Altmışlı sayı sisteminde hesaplamalar yapabilmek için altmışlık sayıların toplama ve çarpma tablolarını bilmeniz gerekir. Her tablo çok büyük, 60*60 boyutunda, alışılmış çarpım tablosunu zar zor hatırladık ve altmışlar tablosunu öğrenmek bizim için daha da zor olacak. Nasıl olunur? Bu sorunları ondalık gösterimde çözebilir ve ardından sonucu altıyaşlı sayıya çevirebilirsiniz.

45 dakika = 0 * 3600 + 45 * 60 + 0 = 2700 saniye

2700 * 10 = 27000 saniye 10 turta pişirmek için gerekli olacaktır.

27000/60 = 450 (kalan 0)

450/60 = 7 (kalan 30)

7/60 = 0 (7 kalan) 07:30:00 çıktı

IV - Ondalık sayı sistemi

Arap rakamları kullanılarak sayıların temsili en yaygın konumsal sayı sistemidir, buna “ondalık sayı sistemi” denir. On basamak kullandığı için ondalık olarak adlandırılır: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Ondalık sayı sistemi, Hint matematiğinin en ünlü başarısıdır (595). Taban 10 sistemi, Hindistan'dan Orta Doğu'nun birçok bölgesine giden kervan yollarına nüfuz etti. Yavaş yavaş, bu sistem Arap dünyasında giderek daha yaygın bir şekilde kullanılmaya başlandı, ancak diğer sistemler aynı zamanda kullanımda kaldı. Pisa'lı Leonardo'nun (1202) "Abaküs Kitabı" Hint-Arap numaralandırma sisteminin Batı Avrupa'ya nüfuz etmesinin kaynaklarından biriydi. Bu kitap o zamanlar görkemli bir eserdi, basılı haliyle 460 sayfadan oluşuyordu. Yazarı Fibonacci adıyla da bilinir. Kitabı, zamanının matematik ansiklopedisini temsil ediyordu. Ondalık sistem yaygınlaştı ve Avrupa'da ancak Rönesans döneminde tanındı.

V - Diğer sayı sistemleri

Onaltılık sayı sistemi - sayıları yazmak için aşağıdaki işaretler kullanılır: 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F.

İkili ondalık sayı sistemi. Böyle bir sistemde, her ondalık basamak, ikili sistemdeki belirli bir basamak kombinasyonu ile kodlanır. Her ondalık basamağın tanımına not defteri denir. Örnek:

125 10 = 000100100101 2-10 (3 tetrad)

0000=1 0100=4 1000=8

0001=1 0101=5 1001=9

Beş katlı sayı sistemi - İlk matematikçiler yalnızca bir elin parmaklarını sayabildiler ve daha fazla nesne varsa, "beş + bir" vb. Bazen 20 sayısı temel alındı ​​- parmak ve ayak parmaklarının sayısı. İlkel Amerikan halklarının 307 sayı sisteminden 146'sı ondalık, 106'sı beşli ve ondalıktı. Daha karakteristik bir biçimde, temel 20 sistemi, Meksika'daki Mayalar ve Avrupa'daki Keltler arasında mevcuttu.

VI - Bir sistemden diğerine transfer

Sayı sistemleri bağlantılı mı? Numarayı bir sistemden diğerine aktarmak mümkün müdür? Bir sistemden diğerine aktarım için iki temel kural vardır:

Başka bir sistemden ondalık sisteme dönüşüm aşağıdaki formüllere göre yapılır:

11001 2 – 1*2 4 +1*2 3 +0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 =1*16+1*8+0*4+0*2+ 1*1=25 10

221 3 -2*3 2 +2*3 1 +1*3 0 =2*9+2*3+1*1=25 10

31 8 – 3*8 1 +1*8 0 =3*8+1*1=25 10

25 10 – 2*10 1 +5*10 0 =2*10+5*1=25 10

Bir sayının ondalık sistemden herhangi bir tabana sahip bir sisteme dönüştürülmesi algoritmaya göre gerçekleştirilir:

25 10'u İkili Dosyaya Dönüştür

25/2 = 12 (kalan 1)

12/2 = 6 (kalan 0)

6/2 = 3 (kalan 0)

3/2 = 1 (kalan 1)

1/2 = 0 (kalan 1) 11001 2 numarasını aldı

25 10 üçlü sayıya dönüştür

25/3 = 8 (kalan 1)

8/3 = 2 (kalan 2)

2/3 = 0 (kalan 2) Alınan 221 3

25 10'u sekizlik sayıya çevir

25/8 = 3 (kalan 1)

3/8 = 0 (kalan 3) Alınan 31 8

Yaratıcı grupların çalışmalarının sonuçlarını sunduktan sonra, tüm sayı sistemleri başlangıçta belirtilen kriterlere göre değerlendirildi ve herkes, matematiğin tarihsel gelişimi sonucunda en uygun sistemin (ondalık) olduğu sonucuna vardı. en yaygın hale gelir. Aynı zamanda, elektronik için çok önemli olduğuna inanan ikili sistemin ateşli destekçileri vardı.

Biten ders syncwine'dı.

Sayı sistemi - kullanışlı, hızlı, yardımcı olur, sayar, yazar

"Sayma ve hesaplama kafadaki düzenin temelidir" (I. Pestalozzi)

Bilgi kaynakları

1. D.Ya. Stroyk "Matematik tarihinin kısa bir taslağı" ("Bilim", Moskova, 1990).
2. N.Ya. Vilenkin, L.P. Shibasov, Z.F. Shibasov “Bir Matematik Ders Kitabının Sayfalarının Arkası” (“Aydınlanma”, Moskova, 2008).
3. AV Dorofeeva “Matematik Derslerinde Tarih Sayfaları” (“Aydınlanma”, Moskova, 2007).
4. İnternet kaynakları "Vikipedi".

Sayı sistemi sayıları adlandırmak ve yazmak için bir dizi teknik denir. Herhangi bir sayı sisteminde, sayıları temsil etmek için bazı semboller seçilir (bunlara rakamlar) ve geri kalan sayılar, verilen sayı sisteminin rakamları üzerinde yapılan herhangi bir işlem sonucunda elde edilir.

sistem denir konumsal, her basamağın değeri (ağırlığı), sayıyı temsil eden basamak dizisindeki konumuna (konumuna) bağlı olarak değişirse.

Herhangi bir kategorideki birimlerin sayısı, en kıdemli kategorinin bir biriminde birleştirilir. baz konumsal sayı sistemi... Bu rakamların sayısı ise P, sonra sayı sistemi çağrılır P-ichi. Sayı sisteminin tabanı, bu sayı sisteminde sayıları yazmak için kullanılan basamak sayısıyla aynıdır.

İsteğe bağlı bir sayı yazın x v P-ary konumsal sayı sistemi, bu sayının bir polinom şeklinde temsiline dayanır.

x = bir n P n + bir n -1 P n -1 + ... + bir 1 P 1 + bir 0 P 0 + bir -1 P -1 + ... + bir -m P -m

Herhangi bir konumsal sayı sistemindeki sayılar üzerindeki aritmetik işlemler, hepsi karşılık gelen polinomlar üzerinde eylem gerçekleştirme kurallarına dayandığından, ondalık sistemdekiyle aynı kurallara göre gerçekleştirilir. Bu durumda, yalnızca bu tabana karşılık gelen toplama ve çarpım tablolarını kullanmanız gerekir. P sayı sistemi.

Sayıları ondalık sayıdan sayı tabanına dönüştürürken P> 1 genellikle aşağıdaki algoritmayı kullanır:

1) sayının tamsayı kısmı çevrilirse, o zaman bölünür P, bundan sonra bölümün geri kalanı hatırlanır. Ortaya çıkan bölüm tekrar bölünür P, kalan hatırlanır. İşlem, bölüm sıfır olana kadar devam eder. Bölme ile kalır P makbuzun tersi sırayla taburcu edildi;

2) sayının kesirli kısmı çevrilirse, o zaman ile çarpılır P, bundan sonra bütün parça hatırlanır ve atılır. Yeni elde edilen kesirli kısım ile çarpılır P vesaire. İşlem, kesirli kısım sıfıra eşit olana kadar devam eder. Bütün parçalar alındıkları sıraya göre ondalık noktadan sonra yazılır. Sonuç ya sonlu ya da bir tabanı olan periyodik bir kesir olabilir. P... Bu nedenle, kesir periyodik olduğunda, çarpma işlemini bir adımda kesmek ve taban ile sistemdeki orijinal sayının yaklaşık bir kaydıyla yetinmek gerekir. P .

Sayı kodlaması

Rakamları kullanmak için bir şekilde isimlendirmeniz ve yazmanız gerekiyor, bir numaralandırma sistemine ihtiyacınız var. Sayıları saymak ve yazmak için çeşitli sistemler bin yıl boyunca bir arada var oldu ve birbirleriyle rekabet etti, ancak "bilgisayar öncesi çağın" sonunda "on" sayısı saymada özel bir rol oynamaya başladı ve en popüler kodlama sistemi ortaya çıktı. olmak konumsal ondalık sistem. Bu sistemde, bir sayıdaki bir rakamın anlamı, sayı içindeki yerine (konumuna) bağlıdır. Ondalık sayı sistemi Hindistan'dan geldi (MS 6. yüzyıldan daha geç değil). Bu sistemin alfabesi: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) - sadece 10 hane, dolayısıyla sayı sisteminin tabanı 10'dur. birimler, onlarca, yüzlerce, binlerce vb. Örnek: 1998 = 8 * 10 0 + 9 * 10 1 + 9 * 10 2 + 1 * 10 3.

Bu sistemde 10 rakam vardır: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ancak bilgi sadece rakam tarafından değil, aynı zamanda rakamın bulunduğu yer tarafından da taşınır (yani konumudur). Sayının en sağdaki basamağı, birlerin sayısını, sağdan ikinci - onlarca sayısını, sonraki - yüzlerce sayısını vb.

333 10 = 3*100 + 3*10+3*1 = 300 + 30 + 3

Sayı sisteminin temeli olarak 10 sayısının seçiminin, 10 sayısının bazı dikkate değer özellikleriyle değil gelenekle açıklandığına dikkat edin. Genel olarak, p-ary sayı sisteminde N sayısının temsili, bu:

N = bir n * p n + bir n-l * p n-l + ... + bir l * p l + bir o, nerede a ¹ 0, a ben Î {0, 1, 2, ..., a ben }.

Örneğin Babil'de 60-ary sayı sistemi kullanıldı, alfabe 1'den 59'a kadar sayıları içeriyordu, 0 sayısı yoktu, çarpım tabloları çok hantaldı, bu yüzden çok yakında unutuldu, ancak eski yaygınlığının yankıları şimdi bile gözlemlenebilir - saatin 60 dakikaya bölünmesi, daireyi 360 dereceye böler.

İkili sayı sistemi

İkili sayı sistemi, bilgisayarların ortaya çıkmasından önce bile (XVII - XIX yüzyıllar) matematikçiler ve filozoflar tarafından icat edildi. Ünlü matematikçi Leibniz şöyle dedi: "İkilerin yardımıyla hesaplama ... bilim için temeldir ve yeni keşiflere yol açar ... Sayılar en basit ilkelere, yani 0 ve 1'e indirgendiğinde, her yerde harika bir düzen ortaya çıkar. " Daha sonra ikili sistem unutuldu ve sadece 1936 - 1938'de Amerikalı mühendis ve matematikçi Claude Shannon elektronik devrelerin tasarımında ikili sistemin dikkate değer uygulamalarını buldu. İkili sayı sisteminde bir sayıyı temsil etmenin bir örneğini düşünün:

Örnek 2.1.1. 2000 sayısını ikili sisteme çevirelim.

1. 2000'i yeni sayı sistemine göre bölün - 2:

2000: 2 = 1000 (0 kalandır),

2. Bölmenin son bölümünü (her zaman 1'e eşittir) ve bölmeden kalanları toplayın ve alttan başlayarak sırayla yazın:

2000 10 ==11111010000 2

Kontrol etmek için, elde edilen sayıyı bunun için ondalık sayı sistemine çeviriyoruz:

1. Sayının ikili basamaklarını, yani 0'dan başlayarak 2 sayısının güçlerini seçelim:

2. 0 ve 1 çarpımlarının toplamını 2 sayısının karşılık gelen kuvvetiyle yazalım (bakınız sayının p-ary sayı sistemindeki gösterimi):

0 * 2 0 + 0 * 2 1 + 0 * 2 2 + 0 * 2 3 + l * 2 4 + 0 * 2 5 + l * 2 6 + l * 2 7 + l * 2 8 + l * 2 9 + l* 210 = 16 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 = 2000

İkili sisteme benzeyen sayı sistemleri vardır. Bilgisayarlarla çalışırken bazen ikili sayılarla uğraşmak zorunda kalırsınız, çünkü ikili sayılar bilgisayarın tasarımına gömülüdür. İkili sistem bir bilgisayar için uygundur, ancak bir kişi için elverişsizdir - çok uzun sayıların yazılması ve ezberlenmesi elverişsizdir. Sayı sistemleri, ikili - sekizli ve onaltılı gibi kurtarmaya gelir.

Örneğin, onaltılık sistemde, 10 Arap rakamı ve Latin alfabesinin harfleri (A, B, C, D, E, F) sayı yazmak için tasarlanmıştır. Bu sayı sisteminde bir sayı yazmak için sayının ikili gösterimini kullanmak uygundur. Örneğin aynı sayıyı alalım - ikili olarak 2000 veya 11111010000. Sağdan sola hareket ederek dört basamağa ayıralım, soldan son dördünde önemsiz bir 0 ekliyoruz, böylece üçlülerdeki basamak sayısı dört olur: 0111 1101 0000. Çeviriyi başlatalım - 0111 sayısı ikili sistemde ondalık olarak 7 sayısına karşılık gelir (7 10 = 1 * 2 0 + 1 * 2 1 + 1 * 2 2), onaltılık sayı sisteminde 7 sayısı; ikili sistemde 1101 sayısı ondalık olarak 13 sayısına karşılık gelir (13 = 1 * 2 0 + 0 * 2 1 + 1 * 2 2 + 1 * 2 3), onaltılı sistemde bu sayı D basamağına karşılık gelir, ve son olarak, 0000 sayısı - herhangi bir sayı sisteminde 0. Şimdi sonucu yazıyoruz:

11111010000 2 = 7D0 16.

İKİ VE SEKİZ SAYI SİSTEMLERİ

Ondalık sayı sistemi en yaygın kullanılan sistem olsa da, bu onun en iyisi olduğu anlamına gelmez. Yaygın dağılımı büyük ölçüde el ve ayaklarımızda on parmağımızın olması anatomik durumdan kaynaklanmaktadır. Konum ilkesi ve sayısal gösterimlere gelince, 2, 10 veya birden başka bir pozitif tam sayıya eşit olup olmadığına bakılmaksızın, herhangi bir tabana sahip sayı sistemine eşit derecede uyarlanabilirler. Örneğin, 7 yerine x 2 + 6x 1 + 5x 0 + 4x –1 + 3x–2 yerine x 10 değeri, normal ondalık sistemimizde 765,43 elde ederiz. Ancak, yerine tamsayıları ve kesirleri belirleme konumsal ilkesine en ufak bir zarar vermeden x başka herhangi bir pozitif tamsayı ikame edilebilir. Sayı sisteminin temeli olarak 10 sayısı yerine 8 ve 12 sayılarının diğerlerinden daha sık kullanılması önerilmiştir.Bu tür yer değiştirmelerden kaynaklanan sistemler sekizli ve onikilik olarak bilinir. Değişken yerine sekizlik x polinom gösteriminde 8 ikame edilmelidir ve daha sonra ondalık sistemde 765,43'e eşit olan sayı, sekizli sistemde (8 2) + 6 (8 1) + 5 (8 0) + 4 (8 -1) olacaktır. + 3 ( 8 –2), yani sayı. On iki basamaklı sistemde, aynı polinom gösterimi x= 12 verir (12 2) + 6 (12 1) + 5 (12 0) + 4 (12 –1) + 3 (12 –2) veya her zamanki gösterimimizde. Hesaplamalara gelince, ondalık, sekizlik ve on iki basamaklı üç sayı sisteminde de hemen hemen aynı şekilde ve aynı kolaylıkla yapılırlar. Fark esas olarak toplama ve çarpım tablolarındadır, çünkü bunlar bir sayı sisteminden diğerine değişir. Örneğin, yedi artı yedi eşittir sekiz artı altı sekizli, on artı dört ondalık ve on iki artı iki on iki. Sembolik olarak, bu toplamlar ve eserler aşağıdaki gibi yazılabilir:

Ondalık sayıdan sekizlik veya on iki ondalık sayıya geçişin gerçekten de toplama ve çarpım tablolarının tamamen elden geçirilmesini gerektirdiğini görüyoruz; bu, bu sayı sistemlerine geçme tekliflerinin neden yaygın kabul görmediğini açıklıyor. Bu geçişin faydaları, beraberinde gelen zorluklarla dengeleniyor. Sekizli ve on iki sayı sistemlerinin temel avantajları, tabanlarının bölünebilirliği ile ilgilidir. Sadece tabanın yarısından küçük tamsayılar göz önüne alındığında (çünkü bu sayı tabanın yarısından büyük, ancak ondan küçükse hiçbir sayı tabanın böleni olamaz), 10 sayısının iki böleni olmadığını anlamak kolaydır. - 3 ve 4 sayıları, sekizlide ise Sistemde, tabanın yarısından küçük olan tek bölen olmayan 3 sayısıdır ve on iki basamaklı sistemde tabanın tek böleni olmayan 5'tir. , sayı sisteminin tabanı olarak 12 sayısının avantajı, 2, 3, 4 ve 6 sayılarının bölenlerine sahip olması, 10'un ise 2 ve 5'in tam bölenlerine sahip olmasıdır. 8'in bölenleri sadece 2 ve 4'tür, ancak diğerlerine göre ana avantajı, sürekli yarıya ayırmanın her zaman polinom biçiminde "tek yer" kesirli temsiliyle sonuçlanmasıdır. Örneğin, 8, 2 10'a bölünürse sonuç tam olarak (0,004) 8 olur, 12'nin 2 10'a bölünürse (yaklaşık olarak) (0.0183) 12 elde edersiniz ve 2 10'a bölerseniz sonuç tam olarak (0,004) 8 olur. 10 sayısı, sonuç (ayrıca yaklaşık) (0.0097656) 10 olacaktır.

Bilgisayarda sayıların ve komutların gösterimi(INFlesson5.doc).

Sayıları on işarette ifade etme fikri, onlara formdaki anlamın yanı sıra yerinde anlam da vermek o kadar basittir ki, tam olarak bu basitlik nedeniyle ne kadar şaşırtıcı olduğunu anlamak zordur. Bu yönteme ulaşmanın ne kadar zor olduğunu, bu fikrin gizli kaldığı Yunan biliminin en büyük dehaları Arşimet ve Apolonius örneğinde görüyoruz.

Pierre Simon Laplace

Sayısal bilgileri temsil etme yollarını inceleyerek, bir sayının bir temsilini diğerine çevirmek için kuralları tanımak, farklı durumlarda aynı sayının neden farklı temsil edilmesi gerektiğini anlamaya çalışmak gerekir. Sayılar teorisinin özel bir bölümü "Sayı sistemleri" sayıları temsil etme yöntemleriyle ilgilenir.

Bir başka önemli kavram daha tanıtıldı - sayı sistemi. Neden gerekli? Bu da nedir? Sayı sistemleri insan yapımı sistemlerdir. Bu tür sistemler denir yapay farklı doğal Doğanın yarattığı sistemler. Doğal (doğal) sistemler galaksileri, güneş sistemimizi, bir bütün olarak insanı vb. içerir. Yapay sistemler şehirleri, fabrikaları, eğitim sistemini, ulusal dilleri, yani insanlar tarafından yapılan her şeyi içerir.

Yapay sistemler ikiye ayrılabilir:

malzeme: arabalar, uçaklar, evler, şehirler, barajlar vb.;

halka açık , yani, farklı insan dernekleri: parlamento, halk eğitim sistemi, satranç kulübü vb.;

bilgilendirici: ulusal diller, bilgisayar ağı İnternet, sayı sistemleri vb.

Her yapay sistem belirli bir amaç için oluşturulur. En iyisinin, yaratılış amacına ulaşmasını en iyi sağlayan yapay sistem olduğu iddia edilebilir.

Bir sayı sistemi oluşturmanın amacı, sayıları yazmanın en uygun yolunu geliştirmektir. Sayı sistemi, kompakt bir biçimde görüntülemenizi sağlar nesneler hakkında nicel bilgi ve oldukça basit kurallar kullanarak onları manipüle edin.

İlk dokuz doğal sayıyı özel karakterlerle gösteriyoruz:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Pratikte karşılaşılan tüm sayılar için de aynısını yapın, yani. özel işaretlerle karşılaşılan tüm sayıları belirtmek uygun olmaz. İhtiyaçlarımız bin içinde saymakla sınırlı kalsa bile, bin özel karakteri ezberlememiz gerekecekti. Doğal olarak, uzun bir süre insanlar bir veya daha fazla "anahtar" sırasını, temel sayıları seçmeye ve bunları yalnızca özel işaretlerle göstermeye başladılar.

Sayı sistemleri, insanlığın dahiyane bir buluşudur. Bugünün doğal dilde iki bin yedi olduğunu bildirmek için 16 karakter (boşluklar hariç) kullanmam gerekiyor. Sayıların dilini kullanarak aynı şeyi dört karakterle gösterebilirsiniz. Rakamların karşılık gelen kelimelerin kodlarını temsil ettiği ortaya çıkıyor, bu da kelimelerle ve sayılarla yazılan yıl sayısının aynı şekilde tarafımızdan okunduğu gerçeğiyle de doğrulanıyor. Farklı doğal dillerdeki sayılar farklı telaffuz edilir ve yazıları ve üzerlerinde aritmetik işlem yapma kuralları aynıdır.

Sayı kavramı hem matematik hem de bilgisayar bilimi için temeldir. Ancak matematikte sayıları işleme yöntemlerine en fazla dikkat edilirse, bilgisayar bilimi için gerekli bellek kaynaklarını, hesaplamaların hızını ve hatasını belirledikleri için sayıları temsil etme yöntemlerini göz ardı etmek imkansızdır.

1. gösterim- bu, sayıları ve sayılar üzerindeki eylemler için ilgili kuralları temsil etmenin bir yoludur.

Daha önce var olan ve günümüzde kullanılan çeşitli sayı sistemleri konumsal olmayan ve konumsal olarak ikiye ayrılabilir.

1.1 Konumsal olmayan sayı sistemleri.

Eski Mısırlılar konumsal olmayan sayı sistemlerini kullandılar,

Yunanlılar, Romalılar ve diğer bazı antik halklar. Konumsal olmayan sayı sistemlerinde, (işaret) gösterdiği değer, işaretin sayı gösterimindeki konumuna bağlı değildir.

Roma rakam sistemi (Roma rakamları), bazı durumlarda hala numaralandırmada (yüzyıl, cilt, kitap bölümü) kullanılan bize kadar geldi. Roma sisteminde, Latin harfleri sayı olarak kullanılır:

1 5 10 50 100 500 1000

Örneğin, CCXXXII sayısı iki yüz, üç onluk ve iki birimin toplamıdır ve iki yüz otuz ikiye eşittir.

Romen rakamlarında sayılar azalan sırada soldan sağa doğru yazılır. Bu durumda, değerleri toplanır. Solda daha küçük bir rakam ve sağda daha büyük bir rakam yazılırsa, değerleri çıkarılır.

VI = 5 + 1 = 6 ve IV = 5 - 1 = 4.

MCMXCVII = 1000 + (- 100 + 1000) + (- 10 + 100) + 5 + 1 + 1 = 1997.

Konumsal olmayan sayı sistemleri toplama ve çıkarma yapmak için aşağı yukarı uygundu, ancak çarpma ve bölme için hiç uygun değildi.

1.2 Konumsal sayı sistemleri (PSS).

Konumsal sayı sistemleri, az sayıda basamak kullanarak keyfi olarak büyük sayılar yazmanıza izin vermeleri açısından uygundur. Sayılar üzerinde aritmetik işlemler yapmak için oldukça basit algoritmalar, konumsal sayı sistemlerinin önemli bir avantajıdır.

Konumsal numaralandırma sistemlerinde, bir sayı gösteriminde bir basamakla gösterilen değer, konumuna bağlıdır.

Kullanılan rakam sayısına denir. temel PSS.

Modern matematikte kullanılan sayı sistemi, konumsal ondalık sistemdir. Herhangi bir sayı on basamak kullanılarak yazıldığından tabanı on'dur:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Birçoğumuz çocukluktan beri bilinen bu simgeleri "sayı" kavramıyla ilişkilendiririz. Ancak, herhangi bir simgeyi sayı olarak kullanabiliriz. Ve sayıların on olması gerekmiyor.

Ondalık sistem genellikle Arapça olarak adlandırılsa da, 5. yüzyılda Hindistan'da ortaya çıkmıştır. Avrupa'da, XII. Yüzyılda bu sistemi Latince'ye çevrilen Arapça bilimsel incelemelerden öğrendiler. Bu, "Arap rakamları" adını açıklar.

Ondalık sistemin konumsal türünü, herhangi bir çok basamaklı sayı örneğini kullanarak anlamak kolaydır. Örneğin, 333 sayısında, ilk basamak üç yüz, ikinci - üç onluk, üçüncü - üç birim anlamına gelir. Aynı sayı, sayı gösterimindeki konuma bağlı olarak farklı değerleri ifade eder.

333 = 3 100 + 3 10 + 3.

Herhangi bir ondalık sayı, onu oluşturan basamakların çarpımlarının toplamı olarak, onlukların karşılık gelen kuvvetleriyle temsil edilebilir. Aynısı ondalık kesirler için de geçerlidir.

26, 387 = 2 10 1 + 6 10 0 + 3 10 -1 + 8 10 -2 + 7 10 -3 .

Bu, tabanı 10'a eşit olmayan sayıları ondalık gösterime dönüştürmenize olanak tanır.

Böyle bir çeviri yapmak için, orijinal sayıyı, sayının basamaklarının çarpımlarının tabanının karşılık gelen derecelerine göre toplamı olarak yazmak ve elde edilen sayısal ifadenin değerini ondalık kurallarına göre hesaplamak gerekir. aritmetik.

1.432.32 5 → A 10.

432,32 5 = 4*5 2 + 3*5 1 + 2*5 0 + 3*5 -1 + 2*5 -2 = 100 + 15 + 2 + + =

2.DF, 4A 16 → A 10

DF, 4A 16 = 13 * 16 1 + 15 * 16 0 + 4 * 16 -1 + A * 16 -2 = 208 + 15 +

"On" sayısı, konumsal bir sistem için olası tek temel değildir. Ünlü Rus matematikçi NN Luzin bunu şöyle ifade etmiştir: "Ondalık sistemin avantajları matematiksel değil, zoolojiktir. On değil de sekiz parmağımız olsaydı, insanlık sekizli sistemini kullanırdı."

Radix ile konumsal bir sistemde sayıları yazmak için n (n- MSS'nin temelinin belirlenmesi) sahip olmalıdır alfabe itibaren n rakamlar. Genellikle bunun için, n ≤ 10 kullanmak n ilk Arap rakamları ve n> 10 On Arap rakamına Latin harfleri eklenir.

İşte çeşitli sistemlerin alfabe örnekleri:

Bir sayının ait olduğu sistemin tabanı, o sayıya bir alt simge ile gösterilir.

1011001 2, 3671 8, 3B8F 16.

1.3 Tabanı 10'a eşit olmayan ondalık sayıları MSS'ye dönüştürme.

1.3.1 Tam sayıların çevirisi.

Yeni sayı sisteminin tabanı ondalık sistemde ifade edilir

sayılar ve sonraki tüm eylemler ondalık sayı sisteminde gerçekleştirilmelidir;

Bölene göre eksik bir bölüm elde edene kadar, verilen sayının ve elde edilen eksik bölümlerin yeni sayı sistemine göre bölünmesini sırayla gerçekleştirin;

Yeni sayı sistemindeki bir sayının rakamları olan sonuçtan kalanlar, yeni sayı sisteminin alfabesine uygun hale getirilmelidir;

Son bölümden başlayarak yeni sayı sisteminde bir sayı oluşturun.

1.3.2 Kesirli sayıların çevirisi.

Yeni sayı sisteminin tabanını ondalık sistemde ifade edin ve sonraki tüm işlemleri ondalık sayı sisteminde gerçekleştirin;

Çarpımın kesirli kısmı sıfıra eşit olana veya yeni sayı sisteminde sayı gösteriminin gerekli doğruluğu sağlanana kadar, verilen sayıyı ve ürünlerin elde edilen kesirli kısımlarını yeni sayı sistemine göre sırayla çarpın;

Yeni sayı sisteminde bir sayının rakamları olan ürünlerin ortaya çıkan bütün parçaları, yeni sayı sisteminin alfabesine uygun hale getirilir;

İlk ürünün tamamından başlayarak, yeni sayı sisteminde sayının kesirli kısmını oluşturun.

Belirli ondalık sayıların çevrilmesine ilişkin örnekler Ek 1'de sunulmuştur.

Ek 1.

© 2015-2019 sitesi
Tüm hakları yazarlarına aittir. Bu site yazarlık iddiasında bulunmaz, ancak ücretsiz kullanım sağlar.
Sayfanın oluşturulduğu tarih: 2016-02-16