Çözümlü olarak farklı sayı sistemlerine dönüşüm. Sayıları farklı sayı sistemlerine dönüştürme

Not 1

Bir sayıyı bir sayı sisteminden diğerine dönüştürmek istiyorsanız, önce onu ondalık sayı sistemine dönüştürmek ve ancak daha sonra ondalık sayı sisteminden başka herhangi bir sayı sistemine dönüştürmek daha uygundur.

Sayıları herhangi bir sayı sisteminden ondalık sayıya dönüştürme kuralları

Makine aritmetiğini kullanan bilgi işlem teknolojisinde, sayıların bir sayı sisteminden diğerine dönüştürülmesi önemli bir rol oynar. Aşağıda bu tür dönüşümler (çeviriler) için temel kuralları veriyoruz.

İkili bir sayıyı ondalık sayıya dönüştürürken, ikili sayıyı bir polinom olarak temsil etmeniz gerekir; bunun her bir öğesi, sayının bir basamağı ile temel sayının karşılık gelen kuvvetinin çarpımı olarak temsil edilir, bu durumda $2$, ve sonra ondalık aritmetik kurallarını kullanarak polinomu hesaplamanız gerekir:

$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$

Şekil 1. Tablo 1

örnek 1

$11110101_2$ sayısını ondalık sayı sistemine dönüştürün.

Çözüm.$2$ tabanının $1$ kuvvetlerinin verilen tablosunu kullanarak, sayıyı bir polinom olarak temsil ederiz:

$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$

Bir sayıyı sekizli sayı sisteminden ondalık sayı sistemine dönüştürmek için, onu bir polinom olarak temsil etmeniz gerekir; bu polinomda, her bir öğesi sayının bir rakamının ve taban sayısının karşılık gelen kuvvetinin çarpımı olarak temsil edilir. $8$ durumunda, polinomu ondalık aritmetik kurallarına göre hesaplamanız gerekir:

$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$

Şekil 2. Tablo 2

Örnek 2

$75013_8$ sayısını ondalık sayı sistemine dönüştürün.

Çözüm.$8$ tabanının $2$ kuvvetlerinin verilen tablosunu kullanarak, sayıyı bir polinom olarak temsil ederiz:

$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$

Bir sayıyı onaltılı sayıdan ondalık sayıya dönüştürmek için, onu bir polinom olarak temsil etmeniz gerekir; bu polinomun her bir öğesi, sayının bir rakamının ve taban sayının buna karşılık gelen kuvvetinin çarpımı olarak temsil edilir (bu durumda $16$) ve sonra polinomu ondalık aritmetik kurallarına göre hesaplamanız gerekir:

$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$

Şekil 3. Tablo 3

Örnek 3

$FFA2_(16)$ sayısını ondalık sayı sistemine dönüştürün.

Çözüm.$8$ tabanının $3$ kuvvetlerinin verilen tablosunu kullanarak, sayıyı bir polinom olarak temsil ederiz:

$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$

Sayıları ondalık sayı sisteminden diğerine dönüştürme kuralları

• Bir sayıyı ondalık sayı sisteminden ikili sisteme dönüştürmek için, $1$'dan küçük veya ona eşit bir kalan kalana kadar bu sayının $2$'a sırayla bölünmesi gerekir. İkili sistemdeki bir sayı, bölmenin son sonucu ve bölmeden kalanların ters sırada sıralanmasıyla temsil edilir.

Örnek 4

$22_(10)$ sayısını ikili sayı sistemine dönüştürün.

Çözüm:

Şekil 4.

$22_{10} = 10110_2$

• Bir sayıyı ondalık sayı sisteminden sekizli sayıya dönüştürmek için, $7$'dan küçük veya ona eşit bir kalan kalana kadar sırayla $8$'a bölünmesi gerekir. Sekizli sayı sisteminde bir sayı, son bölme sonucu ve bölmeden kalanların ters sırada yer aldığı basamak dizisi olarak temsil edilir.

Örnek 5

$571_(10)$ sayısını sekizlik sayı sistemine dönüştürün.

Çözüm:

Şekil 5.

$571_{10} = 1073_8$

• Bir sayıyı ondalık sayı sisteminden onaltılık sisteme dönüştürmek için, 15$'dan küçük veya ona eşit bir kalan kalana kadar bu sayının art arda $16$'a bölünmesi gerekir. Onaltılık sistemdeki bir sayı, son bölme sonucunun ve bölmenin geri kalanının ters sırada yer aldığı basamak dizisi olarak temsil edilir.

Örnek 6

$7467_(10)$ sayısını onaltılık sayı sistemine dönüştürün.

Çözüm:

Şekil 6.

$7467_(10) = 1D2B_(16)$

Uygun bir kesri ondalık sayı sisteminden ondalık olmayan sayı sistemine dönüştürmek için, dönüştürülen sayının kesirli kısmını dönüştürülmesi gereken sistemin tabanıyla sıralı olarak çarpmak gerekir. Yeni sistemdeki kesirler, ilkinden başlayarak ürünlerin bütün parçaları olarak temsil edilecek.

Örneğin: sekizlik sayı sisteminde $0.3125_((10))$ $0.24_((8))$ gibi görünecektir.

Bu durumda ondalık olmayan sayı sisteminde sonlu bir ondalık kesirin sonsuz (periyodik) bir kesire karşılık gelebilmesi sorunuyla karşılaşabilirsiniz. Bu durumda yeni sistemde temsil edilen kesirdeki basamak sayısı gerekli doğruluğa bağlı olacaktır. Ayrıca herhangi bir sayı sisteminde tam sayıların tam sayı olarak kaldığı ve uygun kesirlerin de kesir olarak kaldığı unutulmamalıdır.

Sayıları ikili sayı sisteminden diğerine dönüştürme kuralları

• Bir sayıyı ikili sayı sisteminden sekizli sayıya dönüştürmek için, en az anlamlı basamaktan başlayarak, gerekirse baştaki üçlüye sıfırlar eklenerek üçlülere (basamak üçlüleri) bölünmeli ve ardından her üçlü, karşılık gelen sekizli basamakla değiştirilmelidir. Tablo 4'e göre.

Şekil 7. Tablo 4

Örnek 7

$1001011_2$ sayısını sekizlik sayı sistemine dönüştürün.

Çözüm. Tablo 4'ü kullanarak sayıyı ikili sayı sisteminden sekizliye dönüştürüyoruz:

$001 001 011_2 = 113_8$

• Bir sayıyı ikili sayı sisteminden onaltılı sayı sistemine dönüştürmek için, dörtlü sayılara (dört basamaklı) bölünmeli, en az anlamlı basamaktan başlayarak gerekirse en anlamlı dörtlüye sıfırlar eklenmeli ve ardından her dörtlü, karşılık gelen sekizli basamakla değiştirilmelidir. Tablo 4'e göre.

Hizmetin amacı. Hizmet, sayıları bir sayı sisteminden diğerine çevrimiçi olarak dönüştürmek için tasarlanmıştır. Bunu yapmak için numarayı dönüştürmek istediğiniz sistemin tabanını seçin. Hem tamsayıları hem de sayıları virgülle girebilirsiniz.

Sayı

10 2 8 16 sayı sisteminden dönüşüm. 2 10 8 16 sayı sistemine dönüştürme.
Kesirli sayılar için 2 3 4 5 6 7 8 ondalık basamakları kullanın.

Hem tam sayıları (örneğin 34) hem de kesirli sayıları (örneğin 637.333) girebilirsiniz. Kesirli sayılar için, ondalık noktadan sonraki çeviri doğruluğu gösterilir.

Bu hesap makinesinde aşağıdakiler de kullanılır:

Sayıları temsil etmenin yolları

İkili (ikili) sayılar - her rakam bir bitin (0 veya 1) değeri anlamına gelir, en anlamlı bit her zaman solda yazılır, sayıdan sonra "b" harfi yerleştirilir. Algılama kolaylığı için defterler boşluklarla ayrılabilir. Örneğin, 1010 0101b.
Onaltılık (onaltılı) sayılar - her tetrad bir sembolle temsil edilir 0...9, A, B, ..., F. Bu gösterim farklı şekillerde gösterilebilir; burada yalnızca son onaltılı sayıdan sonra “h” sembolü kullanılır. hane. Örneğin A5h. Program metinlerinde aynı sayı, programlama dilinin sözdizimine bağlı olarak 0xA5 veya 0A5h olarak belirtilebilir. Sayılar ve sembolik adlar arasında ayrım yapmak için, harfle temsil edilen en anlamlı onaltılık rakamın soluna, baştaki sıfır (0) eklenir.
Ondalık (ondalık) sayılar - her bayt (kelime, çift kelime) normal bir sayıyla temsil edilir ve ondalık gösterim işareti ("d" harfi) genellikle atlanır. Önceki örneklerdeki baytın ondalık değeri 165'tir. İkili ve onaltılı gösterimden farklı olarak, ondalık sayının her bir bitin değerini zihinsel olarak belirlemek zordur ve bu bazen gerekli olur.
Sekizli (sekizli) sayılar - bitlerin her üçlüsü (bölme en az anlamlı olandan başlar), sonunda "o" ile 0-7 arasında bir sayı olarak yazılır. Aynı sayı 245o olarak yazılır. Bayt eşit olarak bölünemediğinden sekizli sistem sakıncalıdır.

Sayıları bir sayı sisteminden diğerine dönüştürmek için algoritma

Tam ondalık sayıların başka herhangi bir sayı sistemine dönüştürülmesi, sayının yeni sayı sisteminin tabanına bölünmesiyle, kalanın yeni sayı sisteminin tabanından bir sayı daha az kalmasıyla gerçekleştirilir. Yeni sayı sondan başlayarak bölme kalanları olarak yazılır.
Düzenli bir ondalık kesirin başka bir PSS'ye dönüştürülmesi, tüm sıfırlar kesirli kısımda kalana veya belirtilen çeviri doğruluğu elde edilene kadar sayının yalnızca kesirli kısmının yeni sayı sisteminin tabanıyla çarpılmasıyla gerçekleştirilir. Her çarpma işlemi sonucunda en büyük olandan başlanarak yeni bir sayının bir rakamı oluşturulur.
Uygunsuz kesir çevirisi kural 1 ve 2'ye göre gerçekleştirilir. Tamsayı ve kesirli kısımlar virgülle ayrılarak birlikte yazılır.

Örnek No.1.



2'den 8'e, 16'ya kadar sayı sistemine dönüştürme.
Bu sistemler ikinin katıdır, bu nedenle çeviri bir yazışma tablosu kullanılarak gerçekleştirilir (aşağıya bakın).

Bir sayıyı ikili sayı sisteminden sekizlik (onaltılık) sayı sistemine dönüştürmek için, ikili sayıyı ondalık noktadan sağa ve sola doğru üç (onaltılı sistem için dört) basamaklı gruplara bölmek ve dış grupları tamamlamak gerekir. gerekirse sıfırlarla. Her grup karşılık gelen sekizlik veya onaltılık basamakla değiştirilir.

Örnek No.2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272,51 8
burada 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1

Onaltılı sisteme dönüştürürken aynı kuralları izleyerek sayıyı dört haneli parçalara bölmelisiniz.
Örnek No. 3. 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 HEX
burada 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13

2, 8 ve 16'dan sayıların ondalık sisteme dönüştürülmesi, sayının bireysel parçalara bölünmesi ve sistemin (sayının çevrildiği) tabanı ile seri numarasına karşılık gelen kuvvete yükseltilmesiyle gerçekleştirilir. dönüştürülen sayı. Bu durumda sayılar virgülün solunda (ilk sayı 0 olarak numaralandırılır) artan, sağa doğru azalan (yani negatif işaretli) olarak numaralandırılır. Elde edilen sonuçlar toplanır.

Örnek No. 4.
İkili sayı sisteminden ondalık sayı sistemine dönüşüm örneği.

1010010.101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2 + 1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Sekizli sayı sisteminden ondalık sayı sistemine dönüşüm örneği. 108,5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Onaltılı sayı sisteminden onlu sayı sistemine dönüştürme örneği. 108,5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10

Sayıları bir sayı sisteminden diğerine dönüştürmek için algoritmayı bir kez daha tekrarlıyoruz.

1. Ondalık sayı sisteminden:
   • sayıyı çevrilen sayı sisteminin tabanına bölün;
   • bir sayının tam sayı kısmını bölerken kalanı bulun;
   • Bölmeden kalan tüm kalanları ters sırayla yazın;
2. İkili sayı sisteminden
   • Ondalık sayı sistemine dönüştürmek için, 2 tabanının çarpımlarının toplamını karşılık gelen rakam derecesine göre bulmak gerekir;
   • Bir sayıyı sekizli sayıya dönüştürmek için sayıyı üçlü parçalara ayırmanız gerekir.
     Örneğin, 1000110 = 1.000 110 = 106 8
   • Bir sayıyı ikiliden onaltılıya dönüştürmek için sayıyı 4 basamaklı gruplara bölmeniz gerekir.
     Örneğin, 1000110 = 100 0110 = 46 16

Sisteme konumsal denir, bir rakamın önemi veya ağırlığı sayı içindeki konumuna bağlıdır. Sistemler arasındaki ilişki bir tabloda ifade edilir.
Sayı sistemi yazışma tablosu:

İkili SS	Onaltılı SS
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	e
1111	F

Sekizli sayı sistemine dönüştürme tablosu

Hesap makinesi, tam ve kesirli sayıları bir sayı sisteminden diğerine dönüştürmenize olanak tanır. Sayı sisteminin tabanı 2'den az, 36'dan fazla (sonuçta 10 rakam ve 26 Latin harfi) olamaz. Sayıların uzunluğu 30 karakteri geçmemelidir. Kesirli sayıları girmek için simgesini kullanın. veya, . Bir sayıyı bir sistemden diğerine dönüştürmek için ilk alana orijinal sayıyı, ikinci alana orijinal sayı sisteminin tabanını, üçüncü alana ise sayıyı dönüştürmek istediğiniz sayı sisteminin tabanını girin, ardından "Kayıt Al" butonuna tıklayın.

Orijinal numara yazılı 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -inci sayı sistemi.

Bir sayının yazılmasını istiyorum 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -inci sayı sistemi.

Giriş alın

Tamamlanan çeviriler: 1363703

Sayı sistemleri

Sayı sistemleri iki türe ayrılır: konumsal Ve konumsal değil. Arap sistemini kullanıyoruz, konumsaldır, ama aynı zamanda Roma sistemi de vardır, konumsal değildir. Konumsal sistemlerde, bir sayıdaki bir rakamın konumu, o sayının değerini benzersiz bir şekilde belirler. Örnek olarak bazı sayılara bakarak bunu anlamak kolaydır.

örnek 1. Ondalık sayı sisteminde 5921 sayısını ele alalım. Sayıyı sıfırdan başlayarak sağdan sola doğru numaralandıralım:

5921 sayısı şu şekilde yazılabilir: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . 10 sayısı sayı sistemini tanımlayan bir özelliktir. Belirli bir sayının konumunun değerleri üs olarak alınır.

Örnek 2. 1234.567 gerçek ondalık sayısını düşünün. Sayının sıfır noktasından başlayarak virgülden başlayarak sola ve sağa doğru numaralandıralım:

1234.567 sayısı şu şekilde yazılabilir: 1234.567 = 1000+200+30+4+0,5+0,06+0,007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3 .

Sayıları bir sayı sisteminden diğerine dönüştürme

Bir sayıyı bir sayı sisteminden diğerine dönüştürmenin en basit yolu, önce sayıyı ondalık sayı sistemine, ardından elde edilen sonucu gerekli sayı sistemine dönüştürmektir.

Sayıları herhangi bir sayı sisteminden ondalık sayı sistemine dönüştürme

Herhangi bir sayı sisteminden bir sayıyı ondalık sayıya dönüştürmek için, örnek 1 veya 2'ye benzer şekilde sıfırdan (ondalık noktanın solundaki rakam) başlayarak rakamlarını numaralandırmak yeterlidir. Rakamların çarpımlarının toplamını bulalım. sayı sisteminin tabanına göre sayının bu rakamın konumunun kuvvetine oranı:

1. 1001101.1101 2 sayısını ondalık sayı sistemine dönüştürün.
Çözüm: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16+2+1+0,5+0,25+0,0625 = 19,8125 10
Cevap: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. E8F.2D 16 sayısını ondalık sayı sistemine dönüştürün.
Çözüm: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
Cevap: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

Sayıları ondalık sayı sisteminden başka bir sayı sistemine dönüştürme

Sayıları ondalık sayı sisteminden başka bir sayı sistemine dönüştürmek için sayının tam ve kesirli kısımlarının ayrı ayrı dönüştürülmesi gerekir.

Bir sayının tam sayı kısmını ondalık sayı sisteminden başka bir sayı sistemine dönüştürme

Bir tamsayı kısmı, bir sayının tamsayı kısmının sayı sisteminin tabanından daha küçük bir tam kalan elde edilinceye kadar sıralı olarak bölünmesiyle ondalık sayı sisteminden başka bir sayı sistemine dönüştürülür. Çevirinin sonucu, sonuncusundan başlayarak geri kalanın kaydı olacaktır.

3. 273 10 sayısını sekizli sayı sistemine dönüştürün.
Çözüm: 273/8 = 34 ve kalan 1. 34/8 = 4 ve kalan 2.4 8'den küçük olduğundan hesaplama tamamlanmıştır. Bakiyelerdeki kayıt şöyle görünecek: 421
Sınav: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273, sonuç aynı. Bu çevirinin doğru yapıldığı anlamına gelir.
Cevap: 273 10 = 421 8

Düzenli ondalık kesirlerin çeşitli sayı sistemlerine çevrilmesini düşünelim.

Bir sayının kesirli kısmını ondalık sayı sisteminden başka bir sayı sistemine dönüştürme

Uygun bir ondalık kesrin çağrıldığını hatırlayın sıfır tamsayı kısmı olan gerçek sayı. Böyle bir sayıyı N tabanlı bir sayı sistemine dönüştürmek için, kesirli kısım sıfıra gelinceye veya gerekli rakam sayısı elde edilene kadar sayıyı N ile sırayla çarpmanız gerekir. Çarpma sırasında sıfırdan farklı bir tamsayı kısmı olan bir sayı elde edilirse, sonuca sırayla girildiği için tamsayı kısmı daha fazla dikkate alınmaz.

4. 0,125 10 sayısını ikili sayı sistemine dönüştürün.
Çözüm: 0,125·2 = 0,25 (0, sonucun ilk basamağı olacak tamsayı kısmıdır), 0,25·2 = 0,5 (0, sonucun ikinci basamağıdır), 0,5·2 = 1,0 (1, üçüncü basamaktır) sonucun kesirli kısmı sıfır olduğundan çeviri tamamlanır).
Cevap: 0.125 10 = 0.001 2

Sonuç zaten alındı!

Sayı sistemleri

Konumsal ve konumsal olmayan sayı sistemleri vardır. Günlük hayatta kullandığımız Arap sayı sistemi konumsaldır ancak Roma sayı sistemi değildir. Konumsal sayı sistemlerinde bir sayının konumu, sayının büyüklüğünü benzersiz bir şekilde belirler. Bunu ondalık sayı sistemindeki 6372 sayısı örneğini kullanarak ele alalım. Bu sayıyı sıfırdan başlayarak sağdan sola doğru numaralandıralım:

Daha sonra 6372 sayısı şu şekilde temsil edilebilir:

6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .

10 sayısı sayı sistemini belirler (bu durumda 10'dur). Belirli bir sayının konumunun değerleri üs olarak alınır.

1287.923 gerçek ondalık sayısını düşünün. Sayının sıfır noktasından başlayarak virgülden başlayarak sola ve sağa doğru numaralandıralım:

O halde 1287.923 sayısı şu şekilde temsil edilebilir:

1287,923 =1000+200+80 +7+0,9+0,02+0,003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10-3.

Genel olarak formül şu şekilde temsil edilebilir:

Cn S n +C n-1 · S n-1 +...+C 1 · S 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k

burada C n konumunda bir tam sayıdır N, D -k - (-k) konumundaki kesirli sayı, S- sayı sistemi.

Sayı sistemleri hakkında birkaç kelime Ondalık sayı sisteminde bir sayı birçok rakamdan oluşur (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), sekizli sayı sisteminde ise birçok rakamdan oluşur. (0,1, 2,3,4,5,6,7), ikili sayı sisteminde - bir rakam kümesinden (0,1), onaltılık sayı sisteminde - bir rakam kümesinden (0,1) ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), burada A,B,C,D,E,F 10,11 sayılarına karşılık gelir, 12,13,14,15 Tablo.1'de sayılar farklı sayı sistemlerinde sunulmaktadır.

tablo 1
Gösterim
10	2	8	16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	e
15	1111	17	F

Sayıları bir sayı sisteminden diğerine dönüştürme

Sayıları bir sayı sisteminden diğerine dönüştürmenin en kolay yolu, sayıyı önce ondalık sayı sistemine, ardından ondalık sayı sisteminden gerekli sayı sistemine dönüştürmektir.

Sayıları herhangi bir sayı sisteminden ondalık sayı sistemine dönüştürme

Formül (1)'i kullanarak sayıları herhangi bir sayı sisteminden ondalık sayı sistemine dönüştürebilirsiniz.

Örnek 1. 1011101.001 sayısını ikili sayı sisteminden (SS) ondalık SS'ye dönüştürün. Çözüm:

1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125

Örnek2. 1011101.001 sayısını sekizlik sayı sisteminden (SS) ondalık SS'ye dönüştürün. Çözüm:

Örnek 3 . AB572.CDF sayısını onaltılık sayı sisteminden ondalık SS'ye dönüştürün. Çözüm:

Burada A-10 ile değiştirildi, B- 11'de, C- 12'de, F- 15'e kadar.

Sayıları ondalık sayı sisteminden başka bir sayı sistemine dönüştürme

Sayıları ondalık sayı sisteminden başka bir sayı sistemine dönüştürmek için sayının tam sayı kısmını ve kesirli kısmını ayrı ayrı dönüştürmeniz gerekir.

Bir sayının tamsayı kısmı, sayının tamsayı kısmının sayı sisteminin tabanına sırayla bölünmesiyle ondalık SS'den başka bir sayı sistemine dönüştürülür (ikili SS için - 2'ye, 8'li SS için - 8'e, 16 için) -ary SS - 16'ya kadar, vb. ) bütün bir kalıntı elde edilene kadar, CC bazından daha az.

Örnek 4 . 159 sayısını ondalık SS'den ikili SS'ye dönüştürelim:

159	2
158	79	2
1	78	39	2
	1	38	19	2
		1	18	9	2
			1	8	4	2
				1	4	2	2
					0	2	1
						0

Olarak Şekil l'de görülebilir. Şekil 1'de, 159 sayısı 2'ye bölündüğünde bölüm 79'u ve kalan 1'i verir. Ayrıca, 79 sayısı 2'ye bölündüğünde bölüm 39'u ve kalan 1'i verir, vb. Sonuç olarak, bölme kalanlarından (sağdan sola) bir sayı oluşturarak ikili SS cinsinden bir sayı elde ederiz: 10011111 . Bu nedenle şunu yazabiliriz:

159 10 =10011111 2 .

Örnek 5 . 615 sayısını ondalık SS'den sekizlik SS'ye dönüştürelim.

615	8
608	76	8
7	72	9	8
	4	8	1
		1

Bir sayıyı ondalık SS'den sekizlik SS'ye dönüştürürken, 8'den küçük bir tam sayı kalanı elde edene kadar sayıyı sırayla 8'e bölmeniz gerekir. Sonuç olarak, bölme kalanlarından (sağdan sola) bir sayı oluştururuz. sekizlik SS'de bir sayı: 1147 (Bkz. Şekil 2). Bu nedenle şunu yazabiliriz:

615 10 =1147 8 .

Örnek 6 . 19673 sayısını ondalık sayı sisteminden onaltılık SS'ye dönüştürelim.

19673	16
19664	1229	16
9	1216	76	16
	13	64	4
		12

Şekil 3'ten görüldüğü gibi 19673 sayısını 16'ya art arda böldüğümüzde kalanlar 4, 12, 13, 9 olur. Onaltılı sayı sisteminde 12 sayısı C'ye, 13 sayısı D'ye karşılık gelir. Dolayısıyla bizim Onaltılı sayı 4CD9'dur.

Düzenli ondalık kesirleri (sıfır tamsayı kısmı olan gerçek sayı) s tabanlı bir sayı sistemine dönüştürmek için, kesirli kısım saf sıfır içerene kadar bu sayıyı art arda s ile çarpmak gerekir veya gerekli sayıda rakam elde ederiz. . Çarpma sırasında sıfırdan farklı bir tamsayı kısmı olan bir sayı elde edilirse, bu tamsayı kısmı dikkate alınmaz (sonuca sırayla dahil edilirler).

Yukarıdakilere örneklerle bakalım.

Örnek 7 . 0,214 sayısını ondalık sayı sisteminden ikili SS'ye dönüştürelim.

		0.214
	X	2
0		0.428
	X	2
0		0.856
	X	2
1		0.712
	X	2
1		0.424
	X	2
0		0.848
	X	2
1		0.696
	X	2
1		0.392

Şekil 4'ten görülebileceği gibi 0,214 sayısı sırasıyla 2 ile çarpılmaktadır. Çarpma sonucu tamsayı kısmı sıfırdan farklı bir sayı ise tamsayı kısmı ayrı olarak (sayının soluna) yazılır, ve sayı sıfır tamsayı kısmıyla yazılır. Çarpma sonucu tam sayı kısmı sıfır olan bir sayı elde edilirse, bu sayının soluna sıfır yazılır. Çarpma işlemi, kesirli kısım saf sıfıra ulaşıncaya veya gerekli sayıda rakamı elde edene kadar devam eder. Kalın sayıları (Şekil 4) yukarıdan aşağıya yazarak ikili sayı sisteminde gerekli sayıyı elde ederiz: 0. 0011011 .

Bu nedenle şunu yazabiliriz:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Örnek 8 . 0,125 sayısını ondalık sayı sisteminden ikili SS'ye dönüştürelim.

		0.125
	X	2
0		0.25
	X	2
0		0.5
	X	2
1		0.0

0,125 sayısını ondalık SS'den ikiliye dönüştürmek için bu sayı sırayla 2 ile çarpılır. Üçüncü aşamada sonuç 0 olur. Sonuç olarak aşağıdaki sonuç elde edilir:

0.125 10 =0.001 2 .

Örnek 9 . 0,214 sayısını ondalık sayı sisteminden onaltılık SS'ye dönüştürelim.

		0.214
	X	16
3		0.424
	X	16
6		0.784
	X	16
12		0.544
	X	16
8		0.704
	X	16
11		0.264
	X	16
4		0.224

4 ve 5 numaralı örnekleri takip ederek 3, 6, 12, 8, 11, 4 sayılarını elde ederiz. Ancak onaltılık SS'de 12 ve 11 sayıları C ve B sayılarına karşılık gelir. Dolayısıyla elimizde:

0,214 10 =0,36C8B4 16 .

Örnek 10 . 0,512 sayısını ondalık sayı sisteminden sekizli SS'ye dönüştürelim.

		0.512
	X	8
4		0.096
	X	8
0		0.768
	X	8
6		0.144
	X	8
1		0.152
	X	8
1		0.216
	X	8
1		0.728

Var:

0.512 10 =0.406111 8 .

Örnek 11 . 159.125 sayısını ondalık sayı sisteminden ikili SS'ye dönüştürelim. Bunu yapmak için sayının tamsayı kısmını (Örnek 4) ve kesirli kısmını (Örnek 8) ayrı ayrı çeviriyoruz. Bu sonuçları birleştirerek şunu elde ederiz:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Örnek 12 . 19673.214 sayısını ondalık sayı sisteminden onaltılık SS'ye dönüştürelim. Bunu yapmak için sayının tam sayı kısmını (Örnek 6) ve kesirli kısmını (Örnek 9) ayrı ayrı çeviriyoruz. Ayrıca bu sonuçları birleştirerek elde ediyoruz.

Etiketler: Sayı sistemi, sayı sistemi çevirisi, ilgili sayı sistemleri

Konumsal sayı sistemlerinin temelini değiştirme

Q tabanına sahip konumsal bir sayı sisteminde, bir sayı bir polinom olarak temsil edilebilir

… + a 2 ∙q 2 + a 1 q 1 + a 0 ∙q 0 + a -1 ∙q -1 + a -2 ∙q -2 + …

burada a i katsayıları q tabanlı sayı sisteminin rakamlarıdır.

Örneğin ondalık sayı sisteminde

124.733 = 1∙10 2 + 2∙10 1 + 4∙10 0 + 7∙10 -1 + 3∙10 -2 + 3∙10 -3

Q tabanlı bir sayı sisteminde basamak sayısı q'ya eşittir ve maksimum basamak q - 1'dir. Bir basamak q'ya eşit olamaz çünkü bu durumda birim yeni bir basamağa aktarılacaktır.

Örneğin 7832 sayısının yazıldığı sayı sisteminin minimum tabanını bulmanız gerekiyor. Maksimum rakam 8 olduğundan minimum değer q = 8 + 1 = 9 olur.

Bir sayı sisteminin temeli prensipte herhangi bir sayı olabilir: tam sayı, negatif, rasyonel, irrasyonel, karmaşık vb. Yalnızca pozitif tam sayı tabanlarını ele alacağız.

Bizim için özellikle ilgi çekici olan 2 tabanı ve ikinin kuvvetleri olan 8 ve 16 tabanları olacaktır.

Tabanın olması durumunda. İle. ondan fazla ise alfabeden sırayla yeni sayılar alınır. Örneğin onaltılık sistem için bunlar 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F sayıları olacaktır.

Ondalık sayı sisteminin tamamını dönüştürme

Ondalık sayı sisteminden n'li sayı sistemine dönüştürmenin ilk yolu, sayıyı yeni bir tabana sırayla bölmektir.

123/12 = 10 (3) 10/12 = 0 (10=A)

Ters sırayla önce son değeri (bu 0'dır), sonra yukarıdan aşağıya tüm kalanları topluyoruz. 0A3 = A3 elde ederiz

4563/8 = 570 (3) 570/8 = 71 (2) 71/8 = 8 (7) 8/8 = 1 (0)

Tekrar bir araya getirdiğimizde 10723 elde ederiz.

3349 10 → X 16

3349/16 = 209 (5) 209/16 = 13 (1) 13/16 = 0 (13 = D)

Bir araya getirirsek: 0D15 = D15

545/2 = 272 (1) 272/2 = 136 (0) 136/2 = 68 (0) 68/2 = 34 (0) 34/2 = 17 (0) 17/2 = 8 (1) 8/2 = 4 (0) 4/2 = 2(0) 2/2 = 1 (0) 1/2 = 0(1)

01000100001 = 1000100001 topluyoruz

Kağıt üzerinde çeviri genellikle sütunlara bölünerek yapılır. Bölme sıfırla sonuçlanana kadar sonraki her cevap c tabanına bölünür. İle. Sonunda cevap bölümün geri kalanlarından toplanır.

Bir sayıyı başka bir e'ye dönüştürmek de sıklıkla mümkündür. İle. , bunu zihinsel olarak sayıyı dönüştürmek istediğimiz tabanın kuvvetlerinin toplamı olarak hayal edersek.

Örneğin 129 açıktır 128 + 1 = 2 7 + 1 = 10000001 2

80 = 81 - 1 = 3 4 - 1 = 10000 - 1 = 2222 3

Tam sayı kısmını ondalık sayı sistemine dönüştürme

Çeviri, sayının konumsal sayı sistemindeki gösterimi kullanılarak gerçekleştirilir. Çevirmek gerekirse A3 12 → X 10 A3'ün 3∙q 0 + A∙q 1 yani 3*1 + A*12 = 3 + 120 = 123 olduğu biliniyor.

10723 8 → X 10

1∙q 4 + 0∙q 3 + 7∙q 2 + 2∙q 1 + 3∙q 0 = 1∙8 4 + 0 + 7∙8 2 + 2∙8 + 3 = 1∙4096 + 7∙64 + 2∙8 + 3 = 4563

D∙16 2 + 1∙16 1 +5∙16 0 = 13∙256 + 16 + 5 = 3349

1000100001 2 → X 10

2 9 + 2 5 + 1 = 512 + 32 + 1 = 545.

Kağıt üzerinde çeviri genellikle aşağıdaki şekilde yapılır. Derece numarası her sayının üstüne sırasıyla yazılır. Daha sonra tüm şartlar yazılır.

Kesirli kısmı ondalık sistemden dönüştürme

Kesirli bir kısmı dönüştürürken, genellikle sonlu bir ondalık kesirin sonsuz kesir haline dönüştüğü bir durum ortaya çıkar. Bu nedenle, genellikle çeviri sırasında çevirinin gerekli olduğu doğruluk belirtilir. Çeviri, kesirli kısmın sayı sisteminin tabanıyla sırayla çarpılmasıyla gerçekleştirilir. Parçanın tamamı geriye katlanır ve fraksiyonun bir parçası haline gelir.

0,625 10 → X 2

0.625 * 2 = 1.250 (1) 0.25 * 2 = 0.5 (0) 0.5 * 2 = 1.0 (1)

0 – daha fazla çarpma yalnızca sıfır üretecektir
Yukarıdan aşağıya topladığımızda 0,101 elde ederiz.

0,310 → X2 0,3 * 2 = 0,6 (0) 0,6 * 2 = 1,2 (1) 0,2 * 2 = 0,4 (0) 0,4 * 2 = 0,8 (0) 0,8 * 2 = 1,6 (1) 0,6 * 2 = 1,2 (1 )

0,2 ... periyodik bir kesir elde ederiz
Topladığımızda 0,0100110011001... = 0,0(1001) elde ederiz.

0,64510 → X5 0,645 * 5 = 3,225 (3) 0,255 * 5 = 1,275 (1) 0,275 * 5 = 1,375 (1) 0,375 * 5 = 1,875 (1) 0,875 * 5 = 4,375 (4) 0,375 * 5 = 1,8 75 ( 1) ...

0.3111414… = 0.311(14)

Kesirli kısmı ondalık sisteme dönüştürme

Bir tamsayı kısmının çevirisine benzer şekilde, rakamın rakamının taban ile rakamın sayı içindeki konumuna eşit bir dereceye kadar çarpılmasıyla gerçekleştirilir.

0,101 2 → X 10

1∙2 -1 + 0∙2 -2 + 1∙2 -3 = 0.5 + 0.125 = 0.625

0,134 5 → X 10

1∙5 -1 + 3∙5 -2 +4∙5 -3 = 0.2 + 3∙0.04 + 4∙0.008 = 0.2 + 0.12 + 0.032 = 0.352

Keyfi bir sayı sisteminden keyfi bir sayı sistemine geçiş

Rasgele sayı sisteminden keyfi sayı sistemine dönüşüm. İle. ondalık sayı kullanılarak gerçekleştirilir. İle.

X N → X M ≡ X N → X 10 → X M

Örneğin

1221201 3 → X 7

1221201 3 = 1∙3 6 + 2∙3 5 + 2∙3 4 + 1∙3 3 + 2∙3 2 + 1 = 729 + 2∙243 + 2∙81 + 27 + 9 + 1 = 1414 10

1414/7 = 202 (0) 202/7 = 28 (6) 28/7 = 4 (0) 4/7 = 0 (4)

1221201 3 → 4060 7

İlgili sayı sistemleri

Tabanları aynı sayının kuvvetleri olduğunda sayı sistemlerine ilişkili denir. Örneğin 2, 4, 8, 16. Tablo kullanılarak ilgili sayı sistemleri arasında çeviri yapılabilir.

2 tabanlı ilgili sayı sistemleri arasındaki dönüşüm tablosu

10	2	4	8	16
0	0000	000	00	0
1	0001	001	01	1
2	0010	002	02	2
3	0011	003	03	3
4	0100	010	04	4
5	0101	011	05	5
6	0110	012	06	6
7	0111	013	07	7
8	1000	020	10	8
9	1001	021	11	9
10	1010	022	12	A
11	1011	023	13	B
12	1100	030	14	C
13	1101	031	15	D
14	1110	032	16	e
15	1111	033	17	F

İlgili bir sayı sisteminden diğerine dönüştürmek için öncelikle sayıyı ikili sisteme dönüştürmeniz gerekir. İkili sayı sistemine dönüştürmek için, bir sayının her basamağı karşılık gelen iki (dörtlü), üç (sekizli) veya dört (onaltılık) ile değiştirilir.

123 4 için bir yerine 01, iki yerine 10, üç yerine 11 koyarsak 11011 2 elde ederiz.

5721 8 için sırasıyla 101, 111, 010, 001, toplam 101111010001 2

E12 16 için 111000010010 2 elde ederiz

İkili sistemden dönüştürmek için, sayıyı ikili (4'üncü), üçlü (8'inci) veya dörtlü sayılara (16'ncı) bölmeniz ve ardından bunları karşılık gelen değerlerle değiştirmeniz gerekir.