Berezneva T.D.

Konu 7

LİNEER CEBİRSEL DENKLEM SİSTEMLERİ.

GAUSS YÖNTEMİ - ÜRDÜN."

( Akademik disiplin "Lineer Cebir ve Analitik Geometriye Giriş")

LİNEER CEBİRSEL DENKLEM SİSTEMLERİ.

GAUSS YÖNTEMİ - ÜRDÜN.

Temel konseptler

n değişkenli denklem denir doğrusal tüm değişkenler ise ( x 1 , x 2 , … x n ) 1. derecede dahil edilir. Böyle bir denklemin genel formu resmi olarak aşağıdaki gibi yazılır:

a 1 x 1 + a 2 x 2 + … a J x J + … a n x n = B, (*)

= B.

Miktarlar a J , J = 1,…, n, ve B bilinir (verilir). Miktarlar a J arandı değişkenler için katsayılar(bilinmeyenler ile) ve B - Ücretsiz Üye.

Doğrusal denklemi (*) çözerek,,…,) denklemde değiştirildiğinde (yani, x j ile değiştirildiğinde) değişkenlerin değerleri hepsiyle J itibaren 1do n kimliğine dönüştürür. n değişkenli bir denklemin çözümünün her zaman n sayıdan oluşan bir küme olduğunu ve bu tür n sayıdan oluşan her bir kümenin bir şeyçözüm. Açıkçası, en az bir değişken katsayısı 0'a eşit değilse, o zaman denklemin (*) bir çözümü vardır. Aksi takdirde, çözüm yalnızca b = 0 için mevcuttur ve bunların hepsi rastgele n sayı kümeleridir.

Aynı anda (*) biçimindeki m denklemi düşünün, yani. sistemmlineer cebirsel denklemlerndeğişkenler... Her i - inci denklem, i = 1,2, ..., m, a i 1, a i 2, ..., a in değişkenlerinin katsayılarıyla ve i i, yani serbest terimiyle verilsin. forma sahip

a i1 x 1 + bir i2 x 2 + ... + bir ij x J + … + a içinde x n = B ben .

Daha sonra, genel formda, n değişkenli m lineer cebirsel denklem sistemi şu şekilde yazılabilir:

a 11 x 1 + bir 12 x 2 + ... + bir 1j x J + ... + bir 1n x n = b 1

a 21 x 1 + bir 22 x 2 + ... + bir 2j x J + ... + bir 2n x n = b 2

………………………………………………………………………………

a i1 x 1 + bir i2 x 2 + ... + bir ij x J + ... + bir içinde x n = b ben (1)

…………………………………………………

a m1 x 1 + bir m2 x 2 + ... + bir mj x J + ... + bir milyon x n = b m

ya da aynı olan,

= B ben , ben = 1,…, m.

Tüm serbest terimler sıfıra eşitse, sistem (1) denir. homojen, yani forma sahip

= 0, ben = 1,…, m, (1 0 )

aksi halde - heterojen... sistem (1 0 ) genel sistemin özel bir halidir (1) .

Denklem sistemini çözerek (1) sıralı küme denir ( ,,…,) sistem (1) denklemlerine değiştirildiğinde (yani, x j ile değiştirildiğinde) değişkenlerin değerleri , j = 1,…, n) herşey bu denklemleri özdeşliğe dönüştürür, yani
= b ben tümü için ben = 1,…, m.

(1) denklem sistemi denir eklem yeri, en az bir çözümü varsa. Aksi takdirde, sistem denir tutarsız.

(1) denklem sisteminin tüm çözümlerinin kümesi çağrılacaktır. çözümlerinin birçoğu ve X b'yi gösterir (sistem homojen ise X 0). Sistem tutarsız ise X b = .

Lineer cebirsel denklem sistemleri teorisinin ana görevi, sistemin (1) tutarlı olup olmadığını bulmak ve eğer öyleyse, tüm çözümlerinin kümesini tanımlamaktır. Bu tür sistemleri analiz etmek için, ortak sistemler söz konusu olduğunda tüm çözümler kümesini tanımlamaya veya başka türlü uyumsuz olduklarından emin olmaya izin veren yöntemler vardır. Bu evrensel yöntemlerden biri bilinmeyenlerin sıralı olarak tamamen ortadan kaldırılması yöntemi veya yöntemGauss - Ürdün , ayrıntılı olarak inceleyeceğiz.

Gauss - Jordan yönteminin açıklamasına geçmeden önce, aşağıdakiler için faydalı olan bir dizi tanım ve ifade sunuyoruz.

İki denklem sistemi denir eş değer eğer aynı çözümlere sahiplerse. Başka bir deyişle, bir sistemin her çözümü, bir diğerinin çözümüdür ve bunun tersi de geçerlidir. Uyumsuz tüm sistemler eşdeğer kabul edilir.

Denklik tanımları ve (1) biçimindeki sistemlerin çözüm kümesi, bir teorem biçiminde formüle ettiğimiz aşağıdaki iddiaların geçerliliğini hemen ima eder.

Teorem 1. Sistem (1) numaralı bir denklem içeriyorsak, 1k m, öyle kia kj = 0 J, sonra

Teoremin iddialarının geçerliliği, k - inci denklemin forma sahip olduğunu fark edersek açık hale gelir.

0 x 1 + 0 x 2 + … + 0 x J + … + 0 x n = B k .

Teorem 2. (1) sisteminin bir denklemine, aynı sistemin başka bir denklemini herhangi bir sayı ile çarparak eklersek, orijinal sisteme eşdeğer bir denklem sistemi elde ederiz.

Kanıt.Örneğin, sistemin (1) ikinci denklemini bir sayı ile çarpalım. ve ilk denkleme ekleyin. Bu dönüşümün bir sonucu olarak, ikinciden başlayarak tüm denklemlerin değişmediği ve birincinin aşağıdaki forma sahip olduğu sistem (1 ') elde ederiz.

= B 1 + B 2 .

Açıkçası, eğer bazı setler ( ,,…,) değişkenlerin değerleri, sistem (1)'in tüm denklemlerini özdeşliğe, ardından sistemin tüm denklemlerini (1') özdeşliğe dönüştürür. Aksine, sistem (1 ')'nin (x '1, x' 2,…, x 'j,…, x' n) çözümü de sistem (1)'in bir çözümüdür, çünkü sistem (1) elde edilir. sistemden (1') benzer bir dönüşüm kullanarak, sistemin ikinci denklemi (1 ') sistemin ilk denklemine (1') eklendiğinde, sayı ile çarpılır (- ).

Aşağıdaki ifade de aynı şekilde ispatlanmıştır.

Teorem 2'.Rastgele bir sistem (1) denkleminin sıfır dışında herhangi bir sayı ile çarpımı, sistemi (1) eşdeğer bir denklem sistemine dönüştürür.

Teorem 2 ve 2 'verir iki tür dönüşüm, eşdeğer kalırken, sistemin (1) tabi tutulduğu:

a) keyfi bir sistem (1) denkleminin sıfır dışında herhangi bir sayı ile çarpımı (veya bölümü);

B) bir denkleme bir sayı ile çarpılarak toplama (veya çıkarma).

Bu tür dönüşümler a) ve b) olarak adlandırılır temel dönüşümler denklem sistemi (1).

(1) denklem sistemine birkaç kez temel dönüşümler uygulanırsa, sonuçta ortaya çıkan sistem açıkça orijinal sisteme eşdeğer olacaktır.

(1) denklem sistemi tablo şeklinde yazılabilir:

(1) sisteminin bilinmeyenleri için a ij katsayılarından oluşan dikdörtgen bir sayı tablosuna denir. matris sistem (1) ve A ile gösterilir (m satır ve n sütun içerir), serbest üyeler sütunu b ile gösterilir. Bilinmeyenler için a ij katsayılarından ve (1) sisteminin b serbest terimleri sütunundan oluşan dikdörtgen bir tabloya denir. genişletilmiş matris sistem (1) ve gösterilir (m satır ve (n + 1) sütun içerir), yani. = (A, b). Matrisin i - inci satırında hepsini içerir tanınmış sistemin (1) i - inci denklemini karakterize eden parametreler, i = 1,…, m. A matrisinin j - inci sütunu, (1) sisteminde meydana gelen bilinmeyen x j için tüm katsayıları içerir.

a ij olarak adlandırılan sayılar matris elemanları A. a ij öğesi, A matrisinin i - satırında ve j - sütunundadır. a ij öğesinin kavşaktaben- oh çizgi veJ- matrisin inci sütunu A. A matrisinin bir satırının (sütununun) tüm öğeleri (biri hariç) sıfıra eşitse ve sıfır olmayan bir öğe bire eşitse, böyle bir satıra (sütun) denir bekar(bekar).

(1) sisteminin temel dönüşümleri, tablo (2)'nin aşağıdaki temel dönüşümlerine karşılık gelir:

a) tablonun (2) rastgele bir satırının tüm öğelerinin sıfır dışında herhangi bir sayı ile çarpımı (veya bölümü),

B) başka bir satırın bir satırına (eleman eleman) ekleme (veya çıkarma), bir sayı ile çarpılır.

Herhangi bir temel dönüşümün bir sonucu olarak, şunu elde ederiz: yeni masa, burada ekledikleri (veya sıfır dışında herhangi bir sayı ile çarptıkları) satır yerine yazınYeni hat , ve geri kalan satırlar (eklenenler dahil) değişmeden yazılır... Yeni tablo denklem sistemine karşılık gelir, orijinal sisteme eşdeğer.

Temel dönüşümleri uygulayarak, tablo (2) ve buna bağlı olarak sistem (1), orijinal sistemin çözülmesini kolaylaştıracak şekilde basitleştirilebilir. Önerilen yöntem buna dayanmaktadır.

Bilinmeyenlerin sıralı tamamen ortadan kaldırılması yöntemi

(Gauss-Ürdün yöntemi)

Bilinmeyenlerin sıralı tamamen ortadan kaldırılması yöntemi veya Gauss-Ürdün yöntemi, lineer cebirsel denklemlerin (hangilerinin uyumlu veya uyumsuz olduğu önceden bilinmemektedir) herhangi bir sistemini analiz etmek için evrensel bir yöntemdir. Ortak sistemleri çözmenize veya uyumsuz sistemlerin uyumsuz olduğundan emin olmanıza olanak tanır.

Lineer cebirsel denklem sistemlerini çözmek için önerilen yöntem ile standart bir ikinci dereceden denklemi çözmek için önerilen yöntem arasındaki temel farkı not edelim. Bilinmeyenlerin denklemin katsayıları cinsinden ifade edildiği iyi bilinen formüller kullanılarak çözülür. Lineer cebirsel denklemlerin genel sistemleri söz konusu olduğunda, böyle formüllere sahip değiliz ve çözümü bulmak için kullanıyoruz. yineleme yöntemi, veya yinelemeli yöntem, veya yinelemeli yöntem... Bu tür yöntemler formülleri değil, bir dizi eylemi tanımlar.

Gauss - Jordan yöntemi, serinin sıralı bir uygulamasıdır. aynı türden büyük adımlar (veyayinelemeler ). Bu özel yineleme yöntemi, tarafından önerilen birçok yineleme yönteminden biridir. için(1) formunun lineer cebirsel denklem sistemlerinin çözümleri. Bu oluşmaktadır ilk aşama, ana aşama ve son aşama... Ana aşama tekrarlayan içerir yinelemeler, aynı türden eylemler kümesidir.

Belirli bir lineer cebirsel denklem sistemi (1) verilsin. Demek oluyor bilinenn , m , a ij , B ben , ben = 1,…, m ; J = 1,…, n ... Bu sistemi çözmek için önerilen yöntemi açıklayalım.

İlk aşama(2) formunun I (0) tablosunun yapımını ve içindeki seçimi içerir lider eleman - sıfırdan farklı herhangi bir değişkenlerde katsayı tablodan (2). Pivotun bulunduğu kesişim noktasındaki sütun ve satıra denir. lider... (a i 0 j 0 elemanı seçilsin. Ardından i 0 baştaki satır, j 0 önde gelen sütundur.) Ana aşamaya gidin. Pivot öğesinin genellikle çağrıldığını unutmayın. müsamahakar.

ana sahne k = 1, 2,… sayılarıyla aynı türden yinelenen yinelemelerden oluşur. Gauss - Jordan yönteminin yinelemelerini ayrıntılı olarak açıklayalım.

Her yinelemenin başlangıcında, (2) formunun belirli bir I tablosu bilinir; önde gelen (çözümleyen) öğe ve buna göre önde gelen sütun ve önde gelen satır seçilir. Ayrıca hangi satırların ve sütunların olduğu hakkında bilgi var. zaten oldu lider. (Örneğin, ilk aşamadan sonra, yani 1. yinelemede, I (0) bilinir, baştaki (çözümleyen) öğe a i 0 j 0 ve i 0 önde gelen satırdır, j 0 önde gelen sütundur.)

Yineleme (sayı ile k ) aşağıdaki adımlardan oluşur.

dönüşüm önde gelen sütun(yani, pivot öğesini içeren sütun) birim pivot yerine 1 ile sıralı olarak eleman bazında, baştaki satırı (yani, baştaki elemanı içeren satırı) bazı sayılarla çarpılarak tablo satırlarının geri kalanından çıkararak. kendisi lider çizgi pivot eleman tarafından eleman elemana bölünerek dönüştürülür.

Yeni bir tablo I (k) yazılır, (k yineleme sayısıdır), burada şimdiye kadar önde gelen tüm sütunlar tektir.

Tablo I(k)'de seçim yapmanın mümkün olup olmadığı kontrol edilir. yeni lider (çözümleyici) eleman. Tanım olarak öyle bir satır ve bir sütunun kesiştiği yerde duran sıfır olmayan herhangi bir öğe lider değildi .

Böyle bir seçim mümkünse, kesiştiği noktada önde gelen (izin veren) bir öğenin bulunduğu sütun ve satır denir. lider... Tekrarlama daha sonra yeni bir tablo I(k) ile tekrarlanır, yani. 1 - 3 arasındaki adımlar yeni bir tablo I (k) ile tekrarlanır. Aynı zamanda yeni bir I (k+1) tablosu oluşturulur.

Eğer yasaktır yeni bir pivot eleman seçin, ardından son aşamaya geçin.

Son aşama. r yinelemeler yapılsın, A (r) değişkenleri için bir katsayı matrisi ve b (r) serbest terimleri sütunundan oluşan bir tablo I (r) elde edilir ve içinde yasaktır yeni bir pivot seçin, ör. yöntem durduruldu... Not yöntemi zorunlu o duracak sonlu adım sayısı dan beri r, min (m, n) değerinden büyük olamaz.

Yöntemi durdurmak için seçenekler nelerdir? "Yeni bir pivot öğesi seçilemiyor" ne demek? Bu, sisteme (1) eşdeğer yeni bir sistemin A (r) matrisindeki r - th yinelemesinden sonra, ya

a) tüm satırlar A (r) öndeydi, yani. her satır bir ve tam olarak bir birim içerir ve artık başka bir satırda yer almaz,

b) A(r)'de sadece sıfırlardan oluşan diziler var.

Bu seçenekleri ele alalım.

a) Bu durumda r = m, m n. Satırları yeniden düzenleyerek ve değişkenleri yeniden numaralandırarak (yani sütunları yeniden düzenleyerek), tablo I (r) şu şekilde temsil edilebilir:

Tablo (3)'te i sayısı r'yi geçmeyen her değişkenin yalnızca bir satırda gerçekleştiğini vurguluyoruz. Tablo (3), formun doğrusal denklem sistemine karşılık gelir

x 1 +
= b(r) 1,

x 2 +
= b(r) 2,

………………………, (4)

x r +
= b(r) r,

i numaralı her değişken, üstün değilr, xr +1,…, xn değişkenleri, a (r) ij, j = r + 1,…, n matrisinin katsayıları ve tabloda sunulan b (r) i serbest terimi açısından benzersiz bir şekilde ifade edilir. (3). değişkenler üzerinde x r +1 , … , x n örtüşme kısıtlama yok, yani onlar herhangi bir değer alabilir . Bu nedenle, tablo (3)'te açıklanan sisteme keyfi bir çözüm veya aynı olan sistem (4) için isteğe bağlı bir çözüm veya aynısı, sistem (1) için isteğe bağlı bir çözüm şu şekildedir:

x ben = b (r) ben - a (r) ij x j, ben = 1,…, r = m; x j - j = (r + 1) için herhangi biri,…, n. (5)

Daha sonra sistem (1) çözüm kümesi şu şekilde yazılabilir:

X b = (x = (x 1, ..., x n): x ben = b (r) ben - a (r) ij x j için i = 1,…, r = m; x j - herhangi biri için j = (r + 1),…, n.).

b) Bu durumda, r< m, и существует хотя бы одна строка k, k >r, (satırların ve sütunların permütasyonunun a) noktasındaki ile aynı olduğunu varsayıyoruz, öyle ki tüm j için a (r) kj = 0. O zaman, karşılık gelen b(r) k kesişimi ise eşit değil 0, o zaman k - inci denklemin çözümü yoktur ve bu nedenle tüm sistemin çözümü yoktur, yani. sistem 1) tutarsız .

Karşılık gelen b (r) k 0'a eşitse, k - inci denklem gereksizdir ve atılabilir. Tüm bu denklemleri göz ardı ederek, sistemin (1) bir sisteme eşdeğer olduğunu buluruz. r n değişkenli denklemler, r adımdan sonra tüm satırların önde olduğu form (3) tablosu kullanılarak yazılır. Böylece yukarıda ele alınan a) durumuna ulaştık ve (5) formunun bir çözümünü yazabiliriz.

Gauss - Jordan yöntemi tam olarak açıklanmıştır. Başına sonlu yineleme sayısı lineer cebirsel denklemler sistemi çözülecek (uyumluysa) veya uyumsuz olduğu (gerçekten uyumsuzsa) açık olacaktır.

Baştaki (izin verilen) öğelere karşılık gelen değişkenler, veya önde gelen sütunlarda dururken, aramak gelenekseldir temel ve değişkenlerin geri kalanı Bedava.

Aşağıdakilere dikkat edelim.

1) Gauss-Jordan yöntemini kullanarak bir sistemi çözmeye başladığımızda, bu sistemin tutarlı olup olmadığını bilemeyebiliriz. Sonlu sayıda yineleme için Gauss - Jordan yöntemi bu soruyu yanıtlayacaktır. Ortak sistem olması durumunda, orijinal sistemin genel çözümü son tabloya göre yazılır. Bu durumda temel değişken sayısı zorunlu olarak son yinelemenin r sayısına eşittir, yani. gerçekleştirilen yineleme sayısı. r sayısı her zaman min (m, n) değerini aşmaz, burada m sistemdeki denklem sayısıdır ve n - sistem değişkenlerinin sayısı. eğer r< n, sonra ( n – r) serbest değişkenlerin sayısına eşittir.

2) Genel bir kararı kaydederken gerekli değil Son Aşamayı tanımlarken anlaşılmasını kolaylaştırmak için değişkenleri yeniden numaralandırın. Bu daha net bir anlayış içindir.

3) Sistem (1) Gauss - Jordan yöntemiyle çözülürken temel değişkenler yalnızca bazı yinelemelerde işlev gören sütunlara karşılık gelen değişkenler olacaktır. lider, ve tam tersi, bazı yinelemelerde sütun önde gelen olarak hareket ederse, karşılık gelen değişken zorunlu olarak temel değişkenler arasında olacaktır.

4) Sistemin (1) genel çözümü en az bir serbest değişken içeriyorsa, bu sistem sonsuz sayıdaözel çözümler, serbest değişkenler yoksa, sistemin genel çözümle örtüşen benzersiz bir çözümü vardır.

5) Öncü elemanlar her yinelemede farklı bir şekilde seçilebilir. Tek önemli şey, bunların daha önce önde olmayan bir satır ve bir sütunun kesişiminde sıfır olmayan katsayılar olmasıdır. Çeşitli seçeneklerönde gelen elemanlar verebilir çeşitli girişler birçok çözüm. Fakat, çözüm kümesinin kendisi herhangi bir kayıt için aynıdır.

Yöntemin nasıl çalıştığını örneklerle açıklayalım.

Örnek I. Aşağıdaki lineer cebirsel denklem sistemini çözün

2 kere 1 - 3 kez 2 + 3x 3 + 5x 4 = -1,

3x 1 + 4x 2 - 2 kere 3 + 6 x 4 = 2, (6)

5 x 1 – 4 x 2 + 6 x 3 + 10 x 4 = 2

bilinmeyenlerin sıralı tamamen ortadan kaldırılması yöntemiyle (Gauss - Jordan yöntemi).

İlk aşama.İlk olarak, denklem sistemini (6) daha uygun bir biçimde - tablo I (0) şeklinde yazıyoruz.

Her bir lineer denklem sistemine yazışmalar koyduk genişletilmiş matris matrise katılarak elde edilen Aücretsiz üye sütunu:

Ürdün – Gauss yöntemi sistem çözümüne uygulanan m lineer denklemler n bilinmeyen türler:

Bu yöntem, temel dönüşümlerin yardımıyla, denklem sisteminin belirli bir tipte bir matris ile eşdeğer bir denklem sistemine indirgenmesi gerçeğinden oluşur.

Genişletilmiş matrisin satırları üzerinde aşağıdaki temel dönüşümleri gerçekleştiriyoruz:

1. iki satırın permütasyonu;

2. bir dizeyi sıfır dışında herhangi bir sayıyla çarpma;

3. bir sayıyla çarpılan bir satıra başka bir satır ekleme;

4. boş satırı (sütun) atma.

Örnek 2.11. Jordan – Gauss yöntemiyle lineer denklem sistemini çözün:

a) X 1 + X 2 + 2X 3 = -1

2X 1 - X 2 + 2X 3 = -4

4X 1 + X 2 + 4X 3 = -2

Çözüm: Genişletilmiş bir matris oluşturalım:

yineleme 1

Kılavuz öğe olarak bir öğe seçin. İlk sütunu single'a çevirelim. Bunu yapmak için, ilk satırı ikinci ve üçüncü satırlara sırasıyla (-2) ve (-4) ile çarparak ekleyin. Matrisi alıyoruz:

Bu, ilk yinelemeyi tamamlar.

yineleme 2

Kılavuz öğesini seçin. O zamandan beri, ikinci satırı -3'e bölüyoruz. Daha sonra ikinci satırı sırasıyla (-1) ve 3 ile çarpıyoruz ve sırasıyla birinci ve üçüncü satırlara ekliyoruz. matrisi alıyoruz

yineleme 3

Kılavuz öğesini seçin. O zaman üçüncü satırı (-2)'ye böleriz. Üçüncü sütunu bire dönüştürün. Bunu yapmak için, üçüncü satırı sırasıyla (-4/3) ve (-2/3) ile çarpın ve sırasıyla birinci ve ikinci satırlara ekleyin. matrisi alıyoruz

nerede NS 1 = 1, NS 2 = 2, NS 3 = -2.

Çözümü tamamladıktan sonra, eğitim aşamasında, bulunan değerleri orijinal sisteme yerleştirip doğru eşitliklere dönüşmesi gereken bir kontrol yapmak gerekir.

B) X 1 - X 2 + X 3 - X 4 = 4

X 1 + X 2 + 2X 3 + 3X 4 = 8

2X 1 + 4X 2 + 5X 3 + 10X 4 = 20

2X 1 - 4X 2 + X 3 - 6X 4 = 4

Çözüm: Genişletilmiş matris şöyle görünür:

Temel dönüşümleri uygulayarak şunları elde ederiz:

Orijinal sistem aşağıdaki denklem sistemine eşdeğerdir:

X 1 - 3X 2 - 5X 4 = 0

2X 2 + X 3 + 4X 4 = 4

Matrisin son iki satırı A(2) lineer bağımlıdır.

Tanım. matris satırları e 1 , e 2 ,…, ben arandı lineer bağımlı matris satırlarının doğrusal kombinasyonu sıfır satırına eşit olacak şekilde aynı anda sıfıra eşit olmayan sayılar varsa:

nerede 0 = (0, 0 ... 0). Matrisin satırları Doğrusal bağımsız, bu dizelerin kombinasyonu sıfıra eşit olduğunda, ancak ve ancak tüm katsayılar sıfıra eşitse.

Lineer cebirde kavram çok önemlidir matrisin sıralaması dan beri lineer denklem sistemlerinin çözümünde çok önemli bir rol oynar.

Teorem 2.3 (bir matrisin rankı üzerinde). Bir matrisin sırası, diğer tüm satırlarının (sütunlarının) doğrusal olarak ifade edildiği doğrusal olarak bağımsız satırlarının veya sütunlarının maksimum sayısına eşittir.

matris sıralaması A(2) 2'ye eşittir, çünkü içindeki maksimum lineer bağımsız satır sayısı 2'dir (bunlar matrisin ilk iki satırıdır).

Teorem 2.4 (Kronecker – Capeli). Doğrusal denklemler sistemi tutarlıdır ve yalnızca sistemin matrisinin sırası, bu sistemin genişletilmiş matrisinin sırasına eşitse.

1. Uyumlu sistemin matrisinin sırası, değişkenlerin sayısına eşitse, yani. r = n ise sistemin benzersiz bir çözümü vardır.

2. Sistemin matrisinin rankı değişken sayısından az ise, yani. r< n, то система неопределённая и имеет бесконечное множество решений.

Bu durumda sistemin 4 değişkeni vardır ve sırası 2'dir, bu nedenle sonsuz bir çözüm kümesine sahiptir.

Tanım.İzin vermek r< n, r değişkenler x 1 , x 2 ,…, x r arandı temel matrisin determinantı bunların katsayılarından ise ( baz minör) sıfır değildir. Dinlenmek n - r değişkenler denir Bedava.

Tanım.Çözüm hepsinin olduğu bir sistem n - r serbest değişkenler sıfıra eşittir, denir temel.

ortak sistem m lineer denklemler n değişkenler ( m< n ) sonsuz bir çözüm kümesine sahiptir, aralarında sonlu sayıda temel çözüm bulunur, nerede aşılmaz.

Bizim durumumuzda, yani. sistem 6'dan fazla temel çözüme sahip değildir.

Genel çözüm:

X 1 = 3X 2 + 5X 4

X 3 = 4 - 2X 2 - 4X 4

Temel çözümler bulalım. Bunun için X 2 = 0, X 4 = 0, ardından X 1 = 0, X 3 = 4 koyarız. Temel çözüm şu şekildedir: (0, 0, 4, 0).

Başka bir temel çözüm bulalım. Bunun için X 3 ve X 4'ü serbest bilinmeyenler olarak alıyoruz. X 1 ve X 2 bilinmeyenlerini X 3 ve X 4 bilinmeyenleri ile ifade edelim:

X 1 = 6 - 3 / 2X 2 - X 4

X 2 = 2 - 1 / 2X 3 - 2X 4.

O halde temel çözüm şu şekildedir: (6, 2, 0, 0).

Örnek 2.12.Çözüm sistemi:

X 1 + 2X 2 - X 3 = 7

2X 1 - 3X 2 + X 3 = 3

4X 1 + X 2 - X 3 = 16

Çözüm: Sistemin genişletilmiş matrisini dönüştürüyoruz

Bu nedenle, son matrisin üçüncü satırına karşılık gelen denklem tutarsızdır - 0 = -1 yanlış eşitliğine neden olur, bu nedenle bu sistem tutarsızdır. Bu sonuca, sistem matrisinin sırasının 2, sistemin genişletilmiş matrisinin sırasının 3 olduğunu not edersek de elde edilebilir.

4. Jordan-Gauss yöntemi.

Ana elemanın seçimi ile şema, bölmenin eleme sürecinde meydana geldiği köşegen elemanlar akk için sıfıra eşitsizlik gereksiniminin daha katı bir tane ile değiştirileceğidir: Kth sütununun tüm elemanlarından , modüldeki en büyük olanı seçin ve denklemleri, bu eleman acc elemanının yerinde olacak şekilde yeniden düzenleyin. Ana elemanın seçimi ve ilişkili satır permütasyonu, herhangi bir i-inci adımda acc = 0 olduğunda veya i-sütun elemanlarının geri kalanı için çok az acc olduğu durumlarda gereklidir: böyle bir "küçük" ile bölerken acc, büyük accs, büyük mutlak hatalara sahip sayılar elde edilecektir, bunun sonucunda çözüm büyük ölçüde bozulabilir.

Bilinmeyenlerin tamamen ortadan kaldırılması için bir algoritma veya Jordan - Gauss yöntemi aşağıda sunulmuştur. Yöntemin özü, ilk denklemi göz önünde bulundurarak, içinde sıfır olmayan bir katsayılı (bundan sonra çözme elemanı olarak anılacaktır) bir bilinmeyen olması ve ilk denklemi bu katsayıya bölerek, ilk denklemi kullanarak, bu bilinmeyenin ortadan kaldırılmasıdır. birinci hariç tüm denklemler İkinci denklemde sıfırdan farklı bir katsayıya sahip bir bilinmeyen seçmek ve ikinci denklemi ona bölmek, ikincinin yardımıyla diğer bilinmeyenleri ikinci, vb. bir bilinmeyeni tamamen ortadan kaldırmak için bir denklem kullanılır. Tüm denklemler kullanılıncaya kadar işlem devam eder.

Bildiğiniz gibi, lineer cebirsel denklem sistemlerinin bir çözümü olabilir, birçok çözüm veya sistem tutarsızdır. Sistemin matrisinin elemanlarının temel dönüşümleri ile bu durumlar aşağıdaki şekilde ortaya çıkar:

1. Eleme işleminde, sistemin I'inci denkleminin sol tarafı kaybolur ve sağ taraf sıfırdan farklı bir sayıya eşittir. onlar. 02 + = bc0.

Bu, sistemin hiçbir çözümü olmadığı anlamına gelir, çünkü I-inci denklem bilinmeyenlerin herhangi bir değeriyle karşılanamaz;

2. I-inci denklemin sol ve sağ tarafları kaybolur. Bu, I - inci denklemin diğerlerinin lineer bir birleşimi olduğu, sistemin bulunan herhangi bir çözümü tarafından karşılandığı ve böylece atılabileceği anlamına gelir. Sistemde bilinmeyenlerin sayısı denklemlerin sayısından fazladır ve bu nedenle böyle bir sistemin birçok çözümü vardır;

3. Bilinmeyenleri ortadan kaldırmak için tüm denklemler kullanıldıktan sonra sistemin çözümü elde edilir.

Böylece, Jordan-Gauss dönüşümlerinin nihai amacı, verilen bir lineer sistemden elde etmektir.

a11x1 + a12x2 +… + a1nxn = b1, n + 1

a21x1 + a22x2 +… + a2nxn = b2, n + 1

am1x1 + am2x2 +… + amnxn = bm.n + 1

Burada x1, x2,…, xn belirlenecek bilinmeyenlerdir. a11, a12,…, amn sistemin katsayılarıdır - ve b1, b2,… bm - serbest terimlerin - bilindiği varsayılır. Sistemin katsayılarının (aij) endeksleri, sırasıyla (i) denkleminin ve bu katsayının bulunduğu bilinmeyenin (j) numaralarını gösterir.

Sistem (1), tüm serbest terimleri sıfıra eşitse (b1 = b2 =… = bm = 0) homojen olarak adlandırılır, aksi halde homojen değildir.

Denklemlerin sayısı n bilinmeyenlerin sayısına eşitse Sistem (1) kare olarak adlandırılır.

Sistem (1)'in çözümü, c1, c2,…, cn sayılarının bir koleksiyonudur, öyle ki sistem (1)'de xi yerine her bir ci'nin ikamesi tüm denklemlerini özdeşliğe dönüştürür.

Sistem (1), en az bir çözümü varsa tutarlı, çözümü yoksa uyumsuz olarak adlandırılır.

(1) biçimindeki bir ortak sistem, bir veya daha fazla çözüme sahip olabilir.

(1) biçimindeki bir ortak sistemin c1 (1), c2 (1),…, cn (1) ve c1 (2), c2 (2),…, cn (2) çözümleri, eşitliklerden en az biri:

c1 (1) = c1 (2), c2 (1) = c2 (2),…, cn (1) = cn (2).

(1) biçimindeki birleşik sistem, tek bir çözümü varsa kesin olarak adlandırılır; en az iki farklı çözümü varsa belirsiz olarak adlandırılır. Bilinmeyenlerden daha fazla denklem varsa, buna aşırı belirlenmiş denir.

Aşağıdaki denklem sistemini çözelim:

Son sütunun bir kesişme olduğu 3 × 4 matris olarak yazıyoruz:

Aşağıdakileri yapalım:

· Satır 2'ye ekleyin: -4 * Satır 1.

· Satır 3'e ekle: -9 * Satır 1.

· Satır 3'e ekle: -3 * Satır 2.

2. satırı -2'ye böl

· 1. satıra ekleyin: -1 * 3. satır.

· Satır 2'ye ekleyin: -3/2 * Satır 3.

· 1. satıra ekleyin: -1 * 2. satır.

Sağ sütunda çözümü alıyoruz:

.

Newton'un yönteminde, yaklaşım sürecinin yakınsaklığında bir hızlanma gözlemlenir. 5. Teğetler yöntemi (Newton yöntemi) I. Newton adıyla ilişkilendirilen teğetler yöntemi, denklemleri çözmek için en etkili sayısal yöntemlerden biridir. Yöntemin arkasındaki fikir çok basittir. x0 türev noktasını alın ve f (x) fonksiyonunun grafiğine teğetin denklemini yazın: y = f (x0) + f ¢ (x) (x-x0) (1.5) Grafikler ...

Sayısal hesaplama yöntemlerinden çözümler. Bir denklemin köklerini belirlemek için Abel, Galois, Lie vb. grupların teorileri hakkında bilgi gerekmez ve özel bir matematiksel terminoloji gerekmez: halkalar, alanlar, idealler, izomorfizmler, vb. n - inci dereceden bir cebirsel denklemi çözmek için, yalnızca ikinci dereceden denklemleri çözme ve karmaşık bir sayıdan kök çıkarma yeteneğine ihtiyacınız vardır. Kökler tespit edilebilir ...

Trigonometrik ikame matematiği ve geliştirilen öğretim yöntemlerinin etkililiğinin test edilmesi. Çalışma aşamaları: 1. Konuyla ilgili isteğe bağlı bir kursun geliştirilmesi: "Cebirsel problemleri çözmek için trigonometrik ikame kullanımı", derinlemesine matematik çalışması olan sınıf öğrencileriyle. 2. Geliştirilen seçmeli dersin yürütülmesi. 3. Bir teşhis kontrolü yapmak ...

... sadece dönüşüm sürecinde "kendini gösterir". Bu çalışmanın ikinci bölümünde belirli örnekler kullanarak yeni değişkenin barizliğini ve "kılık değiştirmesini" ele alacağız. 2. Cebirsel denklemleri çözerken bilinmeyeni değiştirme yöntemini kullanma olanakları Bu bölümde, standart ve standart olmayan cebirsel denklemleri çözerken bilinmeyeni değiştirme yöntemini kullanma olanaklarını ortaya çıkaracağız ...

Gauss – Jordan yöntemi, lineer denklem sistemlerini çözmek için en iyi bilinen ve yaygın olarak kullanılan yöntemlerden biridir. Matris yöntemi ve Cramer yönteminin dezavantajı, detA = 0 olduğunda cevap vermemeleri, detA'nın 0'a eşit olmadığı durumda sadece tek bir çözüm belirlemeleridir. Diğer bir dezavantajı ise bu yöntemlerdeki matematiksel hesaplamaların miktarının fazla olmasıdır. denklem sayısındaki artışla keskin bir şekilde artar. Gauss yöntemi pratikte bu dezavantajlardan arındırılmıştır.

Gauss yöntemi algoritması

1. Bir lineer denklem sistemi temelinde, sistemin genişletilmiş bir matrisini oluşturuyoruz;
2. Matrisi "üçgen" bir forma getiriyoruz;
3. Ana ve genişletilmiş matrislerin sıralarını belirliyoruz ve buna dayanarak sistemin uyumluluğu ve uygun çözümlerin sayısı hakkında bir sonuç çıkarıyoruz;
4. Sistemin tek bir çözümü varsa, ters ikameyi yaparız ve sistemin birçok çözümü varsa onu buluruz: Temel değişkenleri keyfi değerler alabilen değişkenler cinsinden ifade ederiz;

Gauss Yönteminin 2. Adımına ilişkin açıklama.Üçgen matris, ana köşegenin altında bulunan tüm öğelerin sıfıra eşit olduğu bir matris olarak adlandırılır.

Orijinal genişletilmiş matrisi üçgen bir forma indirgemek için determinantların aşağıdaki iki özelliğini kullanırız:

Özellik 1. Paralel satırın (sütun) karşılık gelen öğeleri, rastgele bir ve aynı sayı ile çarpılırsa, matrisin herhangi bir satırının (sütununun) tüm öğelerine eklenirse, determinant değerini değiştirmeyecektir.

Özellik 2. Bir matrisin herhangi iki sütununu veya satırını değiştirirken, determinantı tersine çevrilir ve determinantın mutlak değeri değişmeden kalır.

Belirleyicilerin bu özelliklerine dayanarak, bir matrisi üçgen biçime dönüştürmek için bir algoritma oluşturacağız:

1. I satırını düşünün (birincisinden başlayarak). a i i öğesi sıfıra eşitse, matrisin i-inci ve i + 1-inci satırlarını değiştiririz. Bu durumda determinantın işareti tam tersi olacaktır. 1 1 sıfır değilse, sonraki adıma geçin;
2. Her j satırı için, i-inci'nin altında K j = a j i / a i i katsayısının değerini buluruz;
3. Şu formüle göre uygun katsayıları kullanarak mevcut i satırının altında bulunan tüm j satırlarının öğelerini yeniden hesaplıyoruz: a j k yeni = a j k -K j * a i k; Bundan sonra, algoritmanın ilk adımına dönüyoruz ve n'nin A matrisinin boyutu olduğu i = n-1 satırına gelene kadar bir sonraki satırı düşünüyoruz.
4. Ortaya çıkan üçgen matriste, determinant olacak olan ana köşegen Pa i i'nin tüm elemanlarının çarpımını hesaplıyoruz;

Başka bir deyişle, yöntemin özü aşağıdaki gibi formüle edilebilir. Matrisin tüm elemanlarını ana köşegen sıfırın altında yapmamız gerekiyor. İlk önce ilk sütundaki sıfırları alıyoruz. Bunu yapmak için, ihtiyacımız olan sayı ile çarpılan ilk satırı art arda çıkarırız (böylece çıkarma sırasında satırın ilk elemanında sıfır alırız), aşağıdaki tüm satırlardan. Ardından, matrisin ana köşegeninin altındaki ikinci sütundaki sıfırları almak için ikinci satır için aynısını yaparız. Ve böylece sondan bir önceki çizgiye ulaşana kadar.

Gauss-Ürdün yöntemi. Bir matrisin tersi nasıl bulunur
temel dönüşümleri kullanarak?

Bir zamanlar Alman matematikçi Wilhelm Jordan (Almancadan yanlış yazıyoruzÜrdün olarak Ürdün) sonraki denklem sistemini çözmek için oturdu. Bunu yapmayı severdi ve boş zamanlarında becerilerini geliştirdi. Ama sonra tüm çözüm yöntemlerinden sıkıldığı an geldi ve Gauss yöntemi dahil olmak üzere...

Diyelim ki üç denklemli bir sistem, üç bilinmeyen verildi ve genişletilmiş matrisi yazıldı. En yaygın durumda, standart adımlar elde edilir ve bu nedenle her gün…. Bir ve aynı şey - umutsuz Kasım yağmuru gibi.

Bir süreliğine hasret giderir diğer yol matrisi kademeli bir forma indirgemek: dahası, tamamen eşdeğerdir ve yalnızca öznel algı nedeniyle elverişsiz olabilir. Ama er ya da geç her şey sıkıcı hale gelir…. Ve sonra düşündüm ki F Ö rdan - Gauss algoritmasının tersiyle neden uğraşasınız ki? Ek temel dönüşümlerin yardımıyla cevabı hemen almak daha kolay değil mi?

... evet, bu sadece aşk için olur =)

Bu derste ustalaşmak için "aptallar" F yoluna gitmek zorunda kalacak Ö rdana ve pompalama, en az 15-20 ilgili görevi çözmüş, en az ortalama düzeyde temel dönüşümler. Bu nedenle, konuşmanın ne hakkında olduğunu belirsiz bir şekilde anlıyorsanız ve / veya ders sırasında bir şeyi yanlış anlıyorsanız, konuyu aşağıdaki sırayla tanımanızı öneririm:

Eh, işe yaradıysa oldukça harika determinantın sırasını düşürme.

Herkesin anladığı gibi, Gauss-Jordan yöntemi bir modifikasyondur. Gauss yöntemi ve zaten yukarıda dile getirilen ana fikrin uygulanması ile sonraki ekranlarda buluşacağız. Ayrıca, bu makalenin birkaç örneği arasında en önemli uygulamaya dahil edildi - temel dönüşümleri kullanarak ters matrisi bulma.

Daha fazla uzatmadan:

örnek 1

Sistemi Gauss-Jordan yöntemiyle çözün

Çözüm: bu dersin ilk görevi Aptallar için Gauss yöntemi, burada sistemin genişletilmiş matrisini 5 kez dönüştürdük ve kademeli bir forma getirdik:

şimdi yerine ters ek temel dönüşümler devreye girer. İlk olarak, şu konumlardaki sıfırları almamız gerekiyor: ,
ve sonra burada başka bir sıfır: .

Basitlik açısından ideal bir durum:

(6) İkinci satıra üçüncü bir satır eklendi. Üçüncü satır ilk satıra eklendi.

(7) –2 ile çarpılan ikinci satır ilk satıra eklendi.

Ortaya çıkan sistemi anlatmaktan kendimi alıkoyamıyorum:

Cevap:

Okuyucuları mutsuz ruh haline karşı uyarıyorum - bu en basit demo örneğiydi. Gauss-Jordan yönteminin kendine özgü teknikleri vardır ve en uygun hesaplamalar değildir, bu nedenle lütfen ciddi çalışmalara başlayın.

Kategorik veya seçici görünmek istemiyorum, ancak gördüğüm bilgi kaynaklarının ezici çoğunluğunda, tipik görevler son derece zayıf olarak kabul edilir - alnınızda yedi açıklığa sahip olmanız ve çok fazla zaman / sinir harcamanız gerekir. kesirler ile ağır garip çözüm. Yıllarca süren uygulama boyunca cilalamayı başardım, aritmetik işlemlere sahip herkes için mevcut olan en iyi, ancak rasyonel ve oldukça kolay teknik olduğunu söylemeyeceğim:

Örnek 2

Gauss-Jordan yöntemiyle lineer denklem sistemini çözün.

Çözüm: Ödevin ilk kısmı tanıdık:

(1) -1 ile çarpılan ilk satır ikinci satıra eklendi. 3 ile çarpılan ilk satır üçüncü satıra, -5 ile çarpılan ilk satır dördüncü satıra eklendi.

(2) İkinci satır 2'ye, üçüncü satır 11'e, dördüncü satır 3'e bölündü.

(3) İkinci ve üçüncü satır orantılı, üçüncü satır kaldırıldı. İkinci satır dördüncü satıra eklendi, -7 ile çarpıldı

(4) Üçüncü satır 2'ye bölündü.

Açıkçası, sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır ve bizim görevimiz genişletilmiş matrisini forma getirmektir. .

Nasıl devam edilir? Her şeyden önce, lezzetli bir temel dönüşüm - satır permütasyonunu kaybettiğimize dikkat edilmelidir. Daha doğrusu, onları yeniden düzenlemek mümkündür, ancak bunun bir anlamı yoktur (sadece gereksiz eylemler gerçekleştireceğiz). Ve sonra aşağıdaki kalıba uymanız tavsiye edilir:

Bulduk en küçük ortak Katüçüncü sütundaki (1, –1, ve 3) sayılar, yani, - 1'e ve –1'e ve 3'e tam bölünebilen en küçük sayı. Bu durumda, elbette "üç"tür. Şimdi üçüncü sütunda aynı modülün sayılarını almamız gerekiyor, ve bu hususlar matrisin 5. dönüşümünü belirler:

(5) İlk satır –3 ile çarpılır, ikinci satır 3 ile çarpılır. Genel olarak konuşursak, ilk satır 3 ile de çarpılabilir, ancak bir sonraki adım için daha az uygun olacaktır. İyi şeylere çabuk alışırsın:

(6) İkinci satıra üçüncü bir satır eklendi. Üçüncü satır ilk satıra eklendi.

(7) İkinci sütunda (24 ve 6) sıfır olmayan iki değer var ve yine almamız gerekiyor aynı modülo numaraları... Bu durumda, her şey oldukça iyi çalıştı - 24'ün en küçük katı ve en verimli yol, ikinci satırı -4 ile çarpmaktır.

(8) İkinci ilk satıra eklendi.

(9) Son dokunuş: ilk satır –3'e, ikinci satır –24'e ve üçüncü satır 3'e bölünmüştür. Bu işlem gerçekleştirilir. GEÇEN! Erken fraksiyon yok!

Temel dönüşümlerin bir sonucu olarak, eşdeğer bir orijinal sistem elde edildi:

Temel değişkenleri bir serbest değişken cinsinden basitçe ifade edebiliriz:

ve yaz:

Cevap: ortak karar:

Bu tür örneklerde, düşünülen algoritmanın uygulanması çoğunlukla doğrulanır, çünkü ters hareket Gauss yöntemi genellikle zaman alıcı ve hoş olmayan kesir hesaplamaları gerektirir.

Ve elbette, derste tartışılan olağan şemaya göre gerçekleştirilen bir kontrol oldukça arzu edilir. Ortak bir çözüme sahip uyumsuz sistemler ve sistemler.

Bağımsız bir çözüm için:

Örnek 3

Temel dönüşümleri kullanarak temel bir çözüm bulun

Problemin bu formülasyonu Gauss-Jordan yönteminin kullanıldığını varsayar ve örnek çözümde matris standart forma indirgenir. temel değişkenlerle. Ancak, her zaman unutmayın ki diğer değişkenler temel değişkenler olarak seçilebilir... Bu nedenle, örneğin, ilk sütundaki sayılar hacimliyse, matrisi forma getirmek oldukça kabul edilebilir. (temel değişkenler) veya forma (temel değişkenler), hatta forma temel değişkenlerle. Başka seçenekler de var.

Ama yine de, bunlar aşırı durumlar - bilginizle, çözüm tekniğinizle öğretmenleri bir kez daha şok etmemelisiniz ve dahası, gibi egzotik Jordan sonuçları vermemelisiniz. ... Bununla birlikte, orijinal matriste, örneğin 4. sütunda iki hazır sıfır olduğunda, tipik olmayan bir temelden kaçınmak zor olabilir.

Not : "temel" terimi cebirsel bir anlam ve konsepte sahiptir geometrik temel onunla hiçbir ilgisi yok!

Genişletilmiş boyut matrisinde aniden bir çift bulunursa lineer bağımlıçizgiler, o zaman onu normal forma getirmeye çalışmalısın temel değişkenlerle. Böyle bir kararın bir örneği, makalenin 7 No'lu örneğindedir. homojen lineer denklem sistemleri, ve orada başka bir temel seçilir.

Aşağıdaki uygulamalı problemde becerilerimizi geliştirmeye devam ediyoruz:

Gauss yöntemini kullanarak bir matrisin tersi nasıl bulunur?

Genellikle koşul kısaltılmış bir biçimde formüle edilir, ancak özünde Gauss-Jordan algoritması burada da çalışır. Daha kolay bir bulma yöntemi ters matris Bir kare matris için, ilgili derste uzun zaman önce düşündük ve sert sonbaharın sonlarında, rendelenmiş öğrenciler ustaca bir çözme yönteminde ustalaşıyorlar.

Yaklaşan eylemlerin özeti aşağıdaki gibidir: ilk önce kare matrisi birim matrisle birlikte yazmalısınız:. Daha sonra, elemanter dönüşümleri kullanarak soldaki birim matrisi elde etmek gerekir. (teorik detaylara girmeden) matrisin tersi sağda çizilir. Çözüm şematik olarak şöyle görünür:

(Ters matrisin olması gerektiği açıktır)

Demo 4

Temel dönüşümleri kullanarak matris için ters matrisi bulalım. Bunu yapmak için, birim matrisli bir takımda yazacağız ve "iki at" yarıştı:

(1) –3 ile çarpılan ilk satır ikinci satıra eklendi.

(2) İkinci satır ilk satıra eklendi.

(3) İkinci satır –2 ile bölündü.

Cevap:

İlk örnek dersteki cevaba bakın Bir matrisin tersini nasıl bulabilirim?

Ancak bu başka bir çekici görevdi - gerçekte, çözüm çok daha fazla zaman alıcı ve özenli. Tipik olarak, size üçe üç bir matris sunulur:

Örnek 5

Çözüm: kimlik matrisini ekleyin ve "normal" algoritmayı izleyerek dönüşümleri gerçekleştirmeye başlayın Gauss yöntemi:

(1) Birinci ve üçüncü satırlar ters çevrilir. İlk bakışta, satırların permütasyonu yasadışı görünüyor, ancak aslında, yeniden düzenlenebilirler - sonuçta, solda, kimlik matrisini almamız gerekiyor ve sağda "zorla" yapacağız. tam olarak matrisi al (çözüm sırasında satırları yeniden düzenleyip düzenlemeyeceğimizden bağımsız olarak)... Lütfen burada permütasyon yerine 1. sütunda "altıları" düzenleyebileceğinizi unutmayın. (3, 2 ve 1'in en küçük ortak katı (LCM)... LCM çözümü, özellikle ilk sütunda "birler" olmadığında kullanışlıdır.

(2) 1. satır, 2. ve 3. satırlara sırasıyla –2 ve –3 ile çarpılarak eklendi.

(3) 2. sıra, 3. sıraya eklendi, -1 ile çarpıldı

Çözümün ikinci kısmı, önceki paragraftan zaten bilinen şemaya göre gerçekleştirilir: satır permütasyonları anlamsız hale gelir ve üçüncü sütundaki (1, –5, 4) sayıların en küçük ortak katını buluruz: 20. LCM'yi bulmak için titiz bir algoritma vardır, ancak genellikle yeterli seçim vardır. 1, –5 ve 4'e bölünebilen daha büyük bir sayı alırsanız sorun olmaz, örneğin 40 sayısı. Fark daha hantal hesaplamalarda olacaktır.

Bilgisayardan bahsetmişken. Sorunu çözmek için, kendinizi bir mikro hesap makinesiyle donatmak hiç de ayıp değil - burada epeyce sayı var ve bir hesaplama hatası yapmak çok hayal kırıklığı yaratacak.

(4) Üçüncü satır 5, ikinci satır 4, ilk satır "eksi yirmi" ile çarpılır:

(5) 1. ve 2. satırlara üçüncü satır eklendi.

(6) Birinci ve üçüncü satırlar 5'e bölündü, ikinci satır –1 ile çarpıldı.

(7) İkinci sütundaki (–20 ve 44) sıfırdan farklı sayıların en küçük ortak katı 220'dir. İlk satır 11, ikinci satır 5 ile çarpılır.

(8) İlk satıra ikinci satır eklendi.

(9) İlk satır -1 ile çarpıldı, ikinci satır "geri" 5'e bölündü.

(10) Şimdi sol matrisin ana köşegeninde, elde edilmesi tavsiye edilir köşegenin en küçük ortak katı (44, 44 ve 4). Bu sayının 44 olduğu oldukça açıktır. Üçüncü satır 11 ile çarpılır.

(11) Her satırı 44'e bölün. Bu eylem en son gerçekleştirilir!

Yani matrisin tersi:

Prensipte -th'in tanıtılması ve kaldırılması gereksiz eylemlerdir, ancak bu, görevin kaydedilmesi için protokol tarafından gereklidir.

Cevap:

Kontrol, derste tartışılan olağan şemaya göre gerçekleştirilir. ters matris.

Gelişmiş insanlar çözümü biraz kısaltabilir, ancak sizi uyarmalıyım, burada acele etmek, ARTAN hata yapma riskiyle doludur.

Bağımsız bir çözüm için benzer bir görev:

Örnek 6

Gauss-Jordan yöntemini kullanarak ters matrisi bulun.

Sayfanın alt kısmında görevin yaklaşık bir örneği. Ve sizin için "şarkılarla geçmemek" için çözümü daha önce bahsedilen tarzda yaptım - yalnızca tek bir satır permütasyonu ve ek yapay dönüşümler olmadan sütunların LCM'si aracılığıyla. Bence, bu şema, en fazla değilse de en güvenilirlerinden biridir..

Bazen aşağıdakilerden oluşan daha kısa bir "modernist" çözüm kullanmak uygundur: ilk adımda her şey her zamanki gibi: .

İkinci adımda, tırtıllı bir teknikle (2. sütundaki sayıların LCM'si aracılığıyla), ikinci sütunda aynı anda iki sıfır düzenlenir: ... 2. sütunda aynı modülün sayıları, örneğin aynı banal "birimler" çizilirse, bu eyleme direnmek özellikle zordur.

Ve son olarak, üçüncü adımda, aynı şekilde üçüncü sütunda gerekli sıfırları alıyoruz: .

Boyutsallığa gelince, çoğu durumda matrisi "üçe üç" çözmek gerekir. Ancak, zaman zaman sorunun iki-iki matris ve zor ile hafif bir versiyonu vardır ... - özellikle sitenin tüm okuyucuları için:

Örnek 7

Temel dönüşümleri kullanarak bir matrisin tersini bulun

Bu cebirdeki kendi fizik ve matematik sınavımdan bir ödev, ... eh, ilk dersim nerede =) On beş yıl önce (yaprak şaşırtıcı bir şekilde henüz sararmadı), 8 adımda yaptım ve şimdi - sadece 6'da! Bu arada matris çok yaratıcı - ilk adımda birkaç cazip çözüm görülebilir. Sonraki versiyonum sayfanın altında.

Ve son bir ipucu - bu tür örneklerden sonra, gözler için jimnastik ve rahatlamak için iyi bir müzik çok faydalıdır =)

Başarılar dilerim!

Çözümler ve Cevaplar:

Örnek 3: Çözüm: sistemin genişletilmiş matrisini yazıyoruz ve temel dönüşümleri kullanarak temel çözümü elde ediyoruz:


(1) Birinci ve ikinci satırlar ters çevrilir.
(2) İlk satır –2 ile çarpılan ikinci satıra eklendi. İlk satır 5 ile çarpılarak üçüncü satıra eklendi.
(3) Üçüncü satır 3'e bölündü.
(4) İkinci satır, 2 ile çarpılarak üçüncü satıra eklendi.
(5) Üçüncü satır 7'ye bölündü.
(6) 3. sütunun (–3, 5, 1) en küçük katı 15'tir. İlk satır 5 ile, ikinci satır –3 ve üçüncü satır 15 ile çarpılmıştır.
(7) Üçüncü satır ilk satıra eklendi. Üçüncü satır ikinci satıra eklendi.
(8) İlk satır 5'e, ikinci satır –3'e, üçüncü satır 15'e bölündü.
(9) 2. sütundaki (–2 ve 1) sıfırdan farklı sayıların en küçük katı: 2. İkinci satır 2 ile çarpılmıştır.
(10) İkinci satır ilk satıra eklendi.
(11) İkinci satır 2'ye bölündü.
Temel değişkenleri serbest değişkenler cinsinden ifade edelim:

Cevap : ortak karar:

Örnek 6: Çözüm: temel dönüşümleri kullanarak ters matrisi bulun:


(1) İlk satır –15 ile, ikinci satır 3 ile, üçüncü satır 5 ile çarpıldı.
(2) İlk satır 2. ve 3. satırlara eklendi.
(3) İlk satır –15 ile, ikinci satır –3 ile, üçüncü satır –5 ile bölündü.
(4) İkinci sıra 7 ile, üçüncü sıra –9 ile çarpıldı.
(5) İkinci satır, üçüncü satıra eklendi.


(6) İkinci satır 7'ye bölündü.
(7) İlk satır 27 ile, ikinci satır 6 ile, üçüncü satır –4 ile çarpıldı.
(8) Birinci ve ikinci satırlara üçüncü satır eklendi.
(9) Üçüncü satır –4'e bölündü. -1 ile çarpılan ikinci satır ilk satıra eklendi.
(10) İkinci satır 2'ye bölündü.
(11) Her satır 27'ye bölündü.
Sonuç olarak:
Cevap :

Örnek 7: Çözüm: Gauss-Jordan yöntemini kullanarak ters matrisi bulun:
(1) 1. ve 4. satırlara 3. satır eklendi.
(2) Birinci ve dördüncü satırlar ters çevrilir.
(3) 1. satır 2. satıra eklendi. 1. satır 2 ile çarpılarak 3. satıra eklendi:


(4) 2. sıra –2 ile çarpılarak 3. sıraya eklendi. 2. satır 4. satıra eklendi.
(5) 4. sıra -1 ile çarpılarak 1. ve 3. satırlara eklendi.
(6) İkinci satır –1 ile çarpıldı, üçüncü satır –2 ile bölündü.
Cevap :