Simplexná tabuľková kalkulačka. Príkladom je tabuľková simplexná metóda. Počiatočné údaje problému pre simplexnú metódu

Lineárne programovanie je technika matematického modelovania určená na optimalizáciu využitia obmedzených zdrojov. Droga sa úspešne používa vo vojenskej oblasti, priemysle, poľnohospodárstve, dopravnom priemysle, ekonomike, zdravotníctve a dokonca aj v spoločenských vedách. Široké použitie tejto metódy podporujú aj vysoko efektívne počítačové algoritmy, ktoré túto metódu implementujú. Optimalizačné algoritmy pre ďalšie zložitejšie typy problémov modelov a operačného výskumu (IO), vrátane celočíselného, \u200b\u200bnelineárneho a stochastického programovania, sú založené na algoritmoch lineárneho programovania.

Úloha optimalizácie - Toto je ekonomický a matematický problém, ktorý spočíva v nájdení optimálnej (maximálnej alebo minimálnej) hodnoty objektívnej funkcie a hodnoty premenných musia patriť do určitého rozsahu prijateľných hodnôt.

Vo svojej najobecnejšej podobe je problém lineárneho programovania matematicky napísaný takto:

kde X \u003d (x 1 , X 2 , ..., X n ) ; Ž - rozsah prípustných hodnôt premenných x 1 , X 2 , ..., X n ;f (X) - objektívna funkcia.

Na vyriešenie problému s optimalizáciou stačí nájsť jeho optimálne riešenie, t.j. označiť také, ktoré pre hocikoho.

Problém s optimalizáciou je neriešiteľný, ak nemá optimálne riešenie. Najmä problém maximalizácie bude neriešiteľný, ak bude fungovať objektívna funkcia f (X) nie je obmedzený vyššie na prípustnú množinu Ž.

Metódy riešenia optimalizačných problémov závisia jednak od typu objektívnej funkcie f (X), a o štruktúre prípustnej množiny Ž... Ak je objektívnou funkciou v probléme funkcia n premenné, potom sa metódy riešenia nazývajú metódami matematického programovania.

Charakteristické črty problémov s lineárnym programovaním sú nasledujúce:

indikátor optimality f (X) je lineárna funkcia prvkov riešenia X \u003d (x 1 , X 2 , ..., X n ) ;

reštriktívne podmienky kladené na možné riešenia majú formu lineárnych rovností alebo nerovností.

Problém lineárneho programovania je problém operačného výskumu, ktorého matematický model má formu:

(2) (3)(4)(5)

V tomto prípade systém lineárnych rovníc (3) a nerovností (4), (5), ktorý určuje prípustnú množinu riešení úlohy Žsa volá systém obmedzení problémy lineárneho programovania a lineárna funkcia f (X) zavolal cieľová funkcia alebo kritérium optimality .

Platné riešenie Je zbierka čísel ( plán ) X = (x 1 , x 2 , ... , x n ) uspokojenie obmedzení problému. Optimálne riešenie Je plán, v ktorom objektívna funkcia nadobúda maximálnu (minimálnu) hodnotu.

Ak má matematický model úlohy lineárneho programovania tvar:

potom povedia, že problém je uvedený v kanonická forma .

Akýkoľvek problém s lineárnym programovaním je možné znížiť na problém s lineárnym programovaním v kanonickej podobe. Z tohto dôvodu musí byť človek vo všeobecnosti schopný znížiť problém maximalizácie na problém minimalizácie; prejsť od obmedzenia nerovnosti k obmedzeniam rovnosti a nahradiť premenné, ktoré nedodržiavajú podmienku nezápornosti. Maximalizácia niektorej funkcie je ekvivalentná minimalizácii tej istej funkcie, ktorá sa berie s opačným znamienkom, a naopak.

Pravidlo na zmenšenie problému lineárneho programovania na kanonickú formu je nasledovné:

ak je v pôvodnom probléme požadované určiť maximum lineárnej funkcie, mali by ste zmeniť znamienko a hľadať minimum tejto funkcie;

ak je pravá strana v obmedzeniach záporná, malo by sa toto obmedzenie vynásobiť číslom -1;

ak medzi obmedzeniami existujú nerovnosti, potom sa zavedením ďalších nezáporných premenných transformujú na rovnosti;

ak nejaká premenná x j nemá žiadne znamenia obmedzenia, potom je nahradený (v objektívnej funkcii a vo všetkých obmedzeniach) rozdielom medzi dvoma novými nezápornými premennými: x 3 \u003d x 3 + - X 3 - kde x 3 + , X 3 - ≥ 0 .

Príklad 1... Zníženie problému lineárneho programovania na kanonickú formu:

min. L \u003d 2x 1 + x 2 - X 3 ; 2x 2 - X 3 ≤ 5; X 1 + x 2 - X 3 \u003e -1; 2x 1 - X 2 ≤ -3; X 1 ≤ 0; X 2 ≥ 0; X 3 ≥ 0.

Do každej rovnice systému obmedzení zavedieme nivelačné premenné x 4 , X 5 , X 6 ... Systém je napísaný vo forme rovností a do prvej a tretej rovnice systému obmedzení premenné x 4 , X 6 sa zadávajú na ľavej strane znakom „+“ a v druhej rovnici premenná x 5 zadané znakom „-“.

2x 2 - X 3 + x 4 \u003d 5; X 1 + x 2 - X 3 - X 5 \u003d -1; 2x 1 - X 2 + x 6 \u003d -3; X 4 ≥ 0; X 5 ≥ 0; X 6 ≥ 0.

Voľné výrazy v kanonickej forme musia byť kladné, preto posledné dve rovnice vynásobíme -1:

2x 2 - X 3 + x 4 \u003d 5; -X 1 - X 2 + x 3 + x 5 \u003d 1; -2x 1 + x 2 - X 6 = 3.

Simplexná metóda riešenia problémov lineárneho programovania.

Algoritmus simplexovej metódy nachádza optimálne riešenie vzhľadom na obmedzený počet prípustných základných riešení. Algoritmus simplexovej metódy vždy začína nejakým uskutočniteľným základným riešením a potom sa snaží nájsť iné uskutočniteľné základné riešenie, ktoré „vylepšuje“ hodnotu objektívnej funkcie. To je možné len vtedy, ak zvýšenie akejkoľvek nulovej (nezákladnej) premennej vedie k zlepšeniu hodnoty objektívnej funkcie. Ale aby sa základná premenná stala kladnou, musí byť jedna zo súčasných základných premenných nastavená na nulu, t.j. previesť na nepodstatné. To je potrebné, aby nové riešenie obsahovalo presne mzákladné premenné. V súlade s terminológiou simplexovej metódy sa volá zvolená nulová premenná predstavený (k základu) a odstránená základná premenná je vylúčené (zo základu).

Budú volané dve pravidlá pre výber zavedených a vylúčených premenných v simplexnej metóde podmienka optimality a podmienka prípustnosti ... Sformulujme tieto pravidlá a zvážme aj postupnosť akcií vykonaných pri implementácii simplexnej metódy.

Podmienka optimality. Premenná zavedená do úlohy maximalizácie (minimalizácie) je nebázová premenná s najväčším záporným (pozitívnym) koeficientom v cieľ-strunka. Ak v cieľ-reťazec má niekoľko takýchto koeficientov, potom sa výber vstupnej premennej uskutoční ľubovoľne. Optimálne riešenie sa dosiahne, keď v cieľ-reťazec, všetky koeficienty pre nepodstatné premenné budú nezáporné (nezáporné).

Podmienka prípustnosti. V probléme maximalizácie aj v probléme minimalizácie je ako vylúčená vybratá základná premenná, pre ktorú je pomer hodnoty pravej strany obmedzenia k kladnému koeficientu vedúceho stĺpca minimálny. Ak existuje niekoľko základných premenných s touto vlastnosťou, potom sa výber vylúčenej premennej vykonáva ľubovoľne.

Predstavme si algoritmus riešenia problému lineárneho programovania na nájdenie maxima pomocou simplexných tabuliek.

F \u003d s 1 x 1 + s 2 x 2 + ... + s n x n max

x 1 0, x 2 0,…, x n 0.

1. krok... Zavádzame ďalšie premenné a výsledný systém rovníc a lineárnu funkciu zapisujeme vo forme rozšírenej sústavy.

F - c 1 x 1 –c 2 x 2 -… –c n x n \u003d 0 \u003d c str.

2. krok. Zostavenie úvodnej simplexnej tabuľky.

Premenné	Základné a pomocné premenné								slobodní členovia (rozhodnutie)	Odhadované postoj

3. krok. Kontrolujeme splnenie kritéria optimality - prítomnosť negatívnych koeficientov v poslednom riadku. Ak také neexistujú, potom je riešenie optimálne a F * \u003d c o, základné premenné sa rovnajú zodpovedajúcim koeficientom b j, nepodstatné premenné sa rovnajú nule, teda X * \u003d (b 1, b 2, ..., b m, 0, ..., 0).

4. krok... Ak nie je splnené kritérium optimality, potom najväčší záporný koeficient v absolútnej hodnote v poslednom (odhadovanom) riadku určuje rozlišovací stĺpec s.

Ak chcete určiť rozlišovaciu čiaru, vypočítajte odhadované pomery a vyplňte posledný stĺpec tabuľky.

Odhadovaný pomer i-tého radu je

, ak majú b i a a rôzne znaky;

О ak b i \u003d 0 a а je<0;

 ak a je \u003d 0;

0, ak b i \u003d 0 a a je\u003e 0;

V stĺpci hodnotových vzťahov nájdeme minimálny prvok min ktorá definuje povolený reťazec g.

Ak nie je minimum, potom problém nemá konečné optimum I a je nerozhodný.

Na priesečníku riešiaceho riadku a stĺpca je riešiaci prvok a gs.

5. krok... Zostavujeme nasledujúcu tabuľku. Pre to

Prejdime k tretiemu kroku.

M-metóda Niekedy pri riešení LPP v matici koeficientov s neznámymi systémami obmedzení neexistujú jednotkové stĺpce, z ktorých je možné zostaviť jednotkovú maticu, t.j. je problém s výberom základných premenných alebo je pôvodné riešenie neplatné. V takýchto prípadoch použite metóda na umelom základe (M - metóda).Vo všetkých obmedzeniach, kde neexistujú žiadne základné premenné, umelé premenné. V objektívnej funkcii sú umelé premenné zavedené s koeficientom (- М) pre problémy s max a s koeficientom (+ М) pre problémy s min, kde М je dostatočne veľké kladné číslo... Potom sa rozšírený problém vyrieši podľa pravidiel simplexovej metódy. Ak sú všetky umelé premenné rovné nule, t.j. sú vylúčené zo základu, potom sa získa buď optimálne riešenie pôvodného problému, alebo sa pôvodný problém ďalej rieši a nájde sa jeho optimálne riešenie, alebo sa stanoví jeho nerozhodnosť. Ak sa ukáže, že aspoň jedna z umelých premenných je nenulová, pôvodný problém nemá riešenie

Ak potrebujete vyriešiť problém s lineárnym programovaním pomocou simplexných tabuliek, potom vám veľmi pomôže naša online služba. Metóda simplex implikuje postupný výpočet všetkých vrcholov rozsahu prijateľných hodnôt s cieľom nájsť vrchol, kde funkcia nadobúda extrémnu hodnotu. V prvej fáze sa nájde nejaké riešenie, ktoré sa vylepšuje v každom ďalšom kroku. Toto rozhodnutie sa nazýva základné. Tu je postupnosť akcií pri riešení problému s lineárnym programovaním pomocou simplexnej metódy:

Prvý krok. V zostavenej tabuľke je v prvom rade potrebné zobraziť stĺpec s voľnými členmi. Ak obsahuje negatívne prvky, je potrebné prejsť k druhému kroku, ak nie, tak k piatemu.

Krok dva. V druhom kroku je potrebné rozhodnúť, ktorú premennú vylúčime zo základu a ktorú zahrnúť, aby sme prepočítali simplexnú tabuľku. Ak to chcete urobiť, prezrite si stĺpec s voľnými členmi a nájdite v ňom negatívny prvok. Čiara so záporným prvkom sa bude nazývať vedúca čiara. V ňom nájdeme maximálny záporný prvok v absolútnej hodnote, zodpovedajúci stĺpec - sledovateľ. Ak sú medzi voľnými členmi záporné hodnoty, ale nie v zodpovedajúcom riadku, nebude mať takáto tabuľka riešenie. Zmenou v prednom riadku sa vylúči základňa v stĺpci voľných členov a do základu sa zahrnie premenná zodpovedajúca úvodnému stĺpcu.

Stôl 1.

základné premenné	Slobodní členovia v obmedzeniach	Nonbasis premenné
		x 1	x 2	...	x l	...	x n
x n + 1	b 1	a 11	a 12	...	1 l	...	1n
x n + 2	b 2	a 21	a 22	...	2 l	...	2n
.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.
x n + r	b2	a r1	a r2	...	a rl	...	a rn
.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.
x n + m	b m	a m1	m2	...	a ml	...	mn
F (x) max	F 0	-c 1	-c 2	...	-c 1	...	-c n

Krok tretí. V treťom kroku prepočítame celú simplexnú tabuľku pomocou špeciálnych vzorcov, tieto vzorce je možné vidieť pomocou.

Štvrtý krok. Ak po prepočítaní zostanú v stĺpci voľných členov záporné prvky, prejdite na prvý krok, ak taký nie je, potom na piaty.

Piaty krok. Ak ste dosiahli piaty krok, potom ste našli riešenie, ktoré je prijateľné. To však neznamená, že je to optimálne. Optimálne to bude, iba ak sú všetky prvky v rade F pozitívne. Pokiaľ to tak nie je, je potrebné vylepšiť riešenie, pre ktoré nájdeme vedúci riadok a stĺpec pre ďalší prepočet podľa nasledujúceho algoritmu. Spočiatku nájdeme minimálne záporné číslo v riadku F, okrem hodnoty funkcie. Stĺpec s týmto číslom bude vedúci. Aby sme našli úvodný riadok, nájdeme pomer zodpovedajúceho voľného člena a prvku z úvodného stĺpca za predpokladu, že sú kladné. Minimálny vzťah vám umožní určiť popredný riadok. Tabuľku prepočítame opäť pomocou vzorcov, t.j. prejdite na krok 3.

Krok 0. Prípravná fáza.

Zredukujeme problém LP na špeciálny formulár (15).

Krok 1. Skladáme simplexná tabuľkazodpovedajúce špeciálnemu formuláru:

Upozorňujeme, že táto tabuľka zodpovedá prípustnému základnému riešeniu
problém (15). Objektívna hodnota funkcie tohto riešenia

Krok 2.Kontrola optimality

Ak sú prvky indexového riadku simplexné - tabuľky
vtedy neexistuje jediný pozitívny prvok
sa nachádza optimálne riešenie problému LP: Algoritmus sa ukončí.

Krok 3. Kontrola nerozhodnuteľnosti

Ak medzi
existuje pozitívny prvok
a v príslušnom stĺpci
neexistuje pozitívny prvok
, potom objektívna funkcia Ľ je neobmedzený zdola na prípustnej množine. V takom prípade neexistuje optimálne riešenie. Algoritmus sa ukončí.

Krok 4. Výber popredného stĺpca q

Medzi živlami
vyberte maximálny kladný prvok
Tento stĺpec deklarujeme ako vedúci (permisívny).

Krok 5. Výber vedúcej čiary p

Medzi pozitívne prvky stĺpca
nájsť prvok
pre ktoré rovnosť

.

String p vyhlasujeme za vedúce (permisívne). Prvok
vyhlásime za vodcu (tolerantný).

Krok 6. Jednoduchá konverzia tabuľky

Vytvorte novú simplexnú tabuľku, v ktorej:

a) namiesto základnej premennej napíš , namiesto nepodstatnej premennej napíš ;

b) vymeňte vedúci prvok za recipročný
;

c) všetky prvky vedúceho stĺpca (okrem
) vynásobiť
;

d) všetky prvky vedúcej čiary (okrem
) vynásobiť ;

e) zostávajúce prvky simplexnej tabuľky sa prevedú podľa nasledujúcej schémy „obdĺžnika“.

Od prvku sa odčíta súčin troch faktorov:

prvý je zodpovedajúci prvok vedúceho stĺpca;

druhý je zodpovedajúcim prvkom vedúcej čiary;

tretí je prevrátený otočný čap
.

Element, ktorý sa má transformovať, a zodpovedajúce tri faktory sú iba vrcholy „obdĺžnika“.

Krok 7. Prechod na ďalšiu iteráciu sa uskutoční návratom na krok 2.

2.3. Algoritmus simplexovej metódy pre maximálny problém

Algoritmus simplexovej metódy pre maximálnu úlohu sa líši od algoritmu pre minimálnu úlohu iba v znakoch indexového riadku koeficientov v objektívnej funkcii
a to:

V kroku 2:
:

Krok 3
... Objektívna funkcia je na uskutočniteľnej množine neobmedzená zhora.

Krok 4:
.

2.4. Príklad riešenia problému pomocou simplexnej metódy

Vyriešte problém napísaný vo formulári (15).

Vytvorme simplexnú tabuľku:

Pretože koeficienty riadku objektívnych funkcií sú nezáporné, počiatočné základné riešenie nie je optimálne. Objektívna hodnota funkcie pre tento základ L \u003d 0.

Vyberte predný stĺpec - toto je stĺpec zodpovedajúci premennej .

Vyberieme vedúci riadok. Pre toto nájdeme
... Preto sa vedúci riadok zhoduje s premennou .

Transformáciu simplexnej tabuľky uskutočňujeme zavedením premennej na základe a výstup premennej od základu. Dostaneme tabuľku:

Jedna iterácia metódy je dokončená. Prejdime k novej iterácii. Výsledná tabuľka nie je optimálna. Základné riešenie zodpovedajúce tabuľke má formu. Hodnota objektívnej funkcie na tomto základe L \u003d -2.

Vedúci stĺpec je stĺpec zodpovedajúci premennej ... Vedúca čiara - čiara zodpovedajúca premennej ... Po vykonaní transformácií dostaneme simplexnú tabuľku:

Ďalšia iterácia bola dokončená. Prejdime k novej iterácii.

Reťazec objektívnej funkcie neobsahuje kladné hodnoty, čo znamená, že zodpovedajúce základné riešenie je optimálne a algoritmus je ukončený.

Jednou z metód riešenia problémov s optimalizáciou ( zvyčajne spojené s nájdením minima alebo maxima) lineárne programovanie sa volá. Simplexná metóda obsahuje celú skupinu algoritmov a metód na riešenie problémov lineárneho programovania. Jedna z týchto metód, ktorá spočíva v zaznamenávaní počiatočných údajov a ich prepočítaní do špeciálnej tabuľky, sa nazýva tabuľková simplexná metóda.

Zvážte algoritmus tabuľkovej simplexnej metódy na príklade riešenia výrobná úloha, ktorá sa spája s hľadaním výrobného plánu, ktorý maximalizuje zisk.

Počiatočné údaje problému pre simplexnú metódu

Podnik vyrába 4 druhy výrobkov a spracováva ich na 3 strojoch.

Časové sadzby (min. / Kus.) Pri spracovaní výrobkov na strojoch, stanovené maticou A:

Fond prevádzkovej doby stroja (min.) Je uvedený v matici B:

Zisk z predaja každej jednotky produktu (rubľov / kus) je daný maticou C:

Účel výrobnej úlohy

Vypracujte plán výroby, v ktorom bude zisk podniku maximálny.

Riešenie problému tabuľkovou simplexnou metódou

(1) Vymenujme X1, X2, X3, X4 plánované množstvo výrobkov každého typu. Potom požadovaný plán: ( X1, X2, X3, X4)

(2) Zapíšme si obmedzenia plánu ako systém rovníc:

(3) Potom cieľový zisk:

To znamená, že zisk z plnenia výrobného plánu by mal byť maximálny.

(4) Aby sme vyriešili výsledný problém s podmieneným extrémom, nahradíme systém nerovností systémom lineárnych rovníc zavedením ďalších nezáporných premenných ( X5, X6, X7).

(5) Zoberme si nasledujúce základný plán:

X1 \u003d 0, X2 \u003d 0, X3 \u003d 0, X4 \u003d 0, X5 \u003d 252, X6 \u003d 144, X7 \u003d 80

(6) Zadajme údaje do simplexná tabuľka:

V poslednom riadku zadáme koeficienty objektívnej funkcie a jej samotnú hodnotu opačným znamienkom;

(7) Vyberieme v poslednom riadku najväčší (modulo) záporné číslo.

Vypočítame b \u003d N / Selected_Column_Elements

Medzi vypočítanými hodnotami b vyberte najmenej.

Priesečník vybratého stĺpca a riadku nám poskytne povoľujúci prvok. Zmeníme základ na premennú zodpovedajúcu riešiacemu prvku ( X5 až X1).

• Samotný rozlišovací prvok sa stáva 1.
• Pre prvky rozlišovacej čiary - a ij (*) \u003d a ij / RE ( to znamená, že každý prvok je vydelený hodnotou rozlišovacieho prvku a dostaneme nové údaje).
• Na riešenie prvkov stĺpca sa jednoducho vynulujú.
• Zvyšok prvkov tabuľky sa prepočíta podľa pravidla obdĺžnika.

a ij (*) \u003d a ij - (A * B / RE)

Ako vidíte, berieme do úvahy prepočítanie aktuálnej bunky a bunky s prvkom rozlíšenia. Tvoria protiľahlé rohy obdĺžnika. Ďalej vynásobíme hodnoty z buniek ďalších 2 rohov tohto obdĺžnika. Táto práca ( A * B) je vydelený rozlišovacím prvkom ( RE). A odčítať od momentálne prepočítanej bunky ( a ij) čo sa stalo. Získame novú hodnotu - ij (*).

(9) Znova skontrolujte posledný riadok ( c) dňa prítomnosť záporných čísel... Ak tam nie sú, bol nájdený optimálny plán, pokračujeme do poslednej fázy riešenia problému. Ak existuje, plán ešte nie je optimálny a je potrebné znova vypočítať simplexnú tabuľku.

Pretože v poslednom riadku máme opäť záporné čísla, začíname novú iteráciu výpočtov.

(10) Pretože v poslednom riadku nie sú žiadne negatívne prvky, znamená to, že sme našli optimálny výrobný plán! Menovite: budeme vyrábať tie výrobky, ktoré sa presunuli do stĺpca Základ - X1 a X2. Poznáme zisk z výroby každej výrobnej jednotky ( matica C). Zostáva vynásobiť nájdené objemy výroby výrobkov 1 a 2 so ziskom o 1 kus, dostaneme finále ( maximum! ) zisk pre daný výrobný plán.

ODPOVEĎ:

X1 \u003d 32 ks, X2 \u003d 20 ks, X3 \u003d 0 ks, X4 \u003d 0 ks

P \u003d 48 * 32 + 33 * 20 \u003d 2 196 rubľov.

Galyautdinov R.R.

© Kopírovanie materiálu je prípustné, iba ak existuje priamy hypertextový odkaz na

Je potrebné vyriešiť problém lineárneho programovania.

Objektívna funkcia:

2x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 8x 4 → min

Obmedzujúce podmienky:

3x 1 + 6x 2 -4x 3 + x 4 ≤12
4x 1 -13x 2 + 10x 3 + 5x 4 ≥6
3x 1 + 7x 2 + x 3 ≥1

Poďme uviesť systém obmedzení do kanonickej podoby, pretože je potrebné prejsť od nerovností k rovnostiam s pridaním ďalších premenných.

Pretože naša úloha je úlohou minimalizácie, musíme ju transformovať na úlohu maximálneho vyhľadávania. Aby sme to dosiahli, obrátime znamenia koeficientov objektívnej funkcie. Prvky prvej nerovnosti zapíšeme nezmenené tak, že k nej pridáme ďalšiu premennú x 5 a znamienko „≤“ zmeníme na „\u003d“. Pretože druhá a tretia nerovnosť majú znaky „≥“, je potrebné zmeniť znamienka ich koeficientov na opačné a pridať ďalšie premenné x 6, respektíve x 7. Vo výsledku dostaneme ekvivalentný problém:

3x 1 + 6x 2 -4x 3 + x 4 + x 5 \u003d 12
-4x 1 + 13x 2 -10x 3 -5x 4 + x 6 \u003d -6
-3x 1 -7x 2 -x 3 + x 7 \u003d -1

Prejdeme k formácii pôvodného simplexného stola. V riadku F tabuľky sa zadávajú koeficienty objektívnej funkcie s opačným znamienkom.

					Slobodný člen
F
X5
X6
X7

V tabuľke, ktorú sme zostavili, sa v stĺpci voľných členov nachádzajú negatívne prvky, nájdeme medzi nimi maximum v absolútnej hodnote - to je prvok: -6, nastavuje vedúci riadok - X6. V tomto riadku nájdeme tiež maximálny záporný prvok v absolútnej hodnote: -10 je v stĺpci X3, ktorý bude vedúcim stĺpcom. Premenná v úvodnom riadku je vylúčená zo základu a premenná zodpovedajúca vedúcemu stĺpcu je zahrnutá do základu. Prepočítajme simplexnú tabuľku:

	X1	X2	X6	X4	Slobodný člen
F	0.8	8.9	0.3	6.5	-1.8
X5	4.6	0.8	-0.4	3	14.4
X3	0.4	-1.3	-0.1	0.5	0.6
X7	-2.6	-8.3	-0.1	0.5	-0.4

V tabuľke, ktorú sme zostavili, sa v stĺpci voľných členov nachádzajú negatívne prvky, nájdeme medzi nimi maximum v absolútnej hodnote - to je prvok: -0,4, nastavuje vedúci riadok - X7. V tomto riadku nájdeme tiež maximálny záporný prvok v absolútnej hodnote: -8,3, nachádza sa v stĺpci X2, ktorý bude vedúcim stĺpcom. Premenná v úvodnom riadku je vylúčená zo základu a premenná zodpovedajúca vedúcemu stĺpcu je zahrnutá do základu. Prepočítajme simplexnú tabuľku:

	X1	X7	X6	X4	Slobodný člen
F	-1.988	1.072	0.193	7.036	-2.229
X5	4.349	0.096	-0.41	3.048	14.361
X3	0.807	-0.157	-0.084	0.422	0.663
X2	0.313	-0.12	0.012	-0.06	0.048

Pretože v stĺpci voľných výrazov nie sú žiadne negatívne prvky, bolo nájdené prípustné riešenie.V riadku F sú negatívne prvky, čo znamená, že získané riešenie nie je optimálne. Definujme vedúci stĺpec. Za týmto účelom nájdite v riadku F maximálny záporný prvok v absolútnej hodnote - to je - 1,988. Vedúci riadok bude ten, pre ktorý je pomer voľného člena k zodpovedajúcemu prvku vedúceho stĺpca minimálny. Vedúca čiara je X2 a vedúca položka je 0,313.

	X2	X7	X6	X4	Slobodný člen
F	6.351	0.31	0.269	6.655	-1.924
X5	-13.895	1.763	-0.577	3.882	13.694
X3	-2.578	0.152	-0.115	0.577	0.539
X1	3.195	-0.383	0.038	-0.192	0.153

Pretože v riadku F nie sú žiadne negatívne prvky, bolo nájdené optimálne riešenie. Pretože pôvodným problémom bolo nájsť minimum, optimálnym riešením bude voľný termín reťazca F, ktorý sa vezme s opačným znamienkom. F \u003d 1,924
s hodnotami premenných rovnými: x 3 \u003d 0,539, x 1 \u003d 0,153. Premenné x 2 a x 4 nie sú zahrnuté do základu, preto x 2 \u003d 0 x 4 \u003d 0.