Čo znamená jednočlen v štandardnej forme. Lekcia "Pojem jednočlena. Štandardná forma jednočlena" metodický vývoj v algebre na danú tému. Príklady a ich riešenie

Počiatočné informácie o monomických znakoch obsahujú vysvetlenie, že každý monomický znak možno zredukovať na štandardnú formu. V nižšie uvedenom materiáli sa tejto problematike budeme venovať podrobnejšie: naznačíme význam tejto akcie, určíme kroky, ktoré nám umožňujú nastaviť štandardnú formu monomiálu, a tiež upevníme teóriu riešením príkladov. .

Význam redukcie monomiálu na štandardný tvar

Písanie monomiálu v štandardnej forme uľahčuje prácu s ním. Často sú monomiály uvedené v neštandardnej forme a potom je potrebné vykonať identické transformácie, aby sa daný monomický tvar dostal do štandardnej formy.

Definícia 1

Redukcia monomiálu na štandardnú formu je vykonávanie príslušných akcií (identických transformácií) s jednočlenom s cieľom zapísať ho v štandardnom tvare.

Spôsob redukcie monomiálu na štandardnú formu

Z definície vyplýva, že monomiál neštandardného tvaru je súčinom čísel, premenných a ich mocnín a je možné ich opakovanie. Monomial štandardného tvaru zase obsahuje vo svojom zápise iba jedno číslo a neopakujúce sa premenné alebo ich stupne.

Na konverziu neštandardného monomiálu na štandardnú formu musíte použiť nasledujúce pravidlo pre redukciu monomiálu na štandardnú formu:

• prvým krokom je zoskupenie číselných faktorov, rovnakých premenných a ich stupňov;
• druhým krokom je výpočet súčinov čísel a uplatnenie vlastnosti mocnín s rovnakými základmi.

Príklady a ich riešenie

Príklad 1

Daný monomiál 3 x 2 x 2 . Je potrebné uviesť do štandardného formulára.

Riešenie

Uskutočnime zoskupenie číselných faktorov a faktorov s premennou x, výsledkom čoho bude, že daný monomiál bude mať tvar: (3 2) (x x 2) .

Produkt v zátvorkách je 6 . Pri použití pravidla násobenia mocnín s rovnakými základmi možno výraz v zátvorkách znázorniť ako: x 1 + 2 = x 3. V dôsledku toho získame monomiál štandardného tvaru: 6 · x 3 .

Stručný záznam riešenia vyzerá takto: 3 x 2 x 2 = (3 2) (x x 2) = 6 x 3 .

odpoveď: 3 x 2 x 2 = 6 x 3.

Príklad 2

Je daný jednočlen: a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b . Je potrebné ho uviesť do štandardnej podoby a špecifikovať jeho koeficient.

Riešenie

daný jednočlen má vo svojom zápise jeden číselný činiteľ: - 1, posuňme ho na začiatok. Potom zoskupíme faktory s premennou a a faktory s premennou b. Premennú m nie je s čím zoskupiť, necháme ju v pôvodnej podobe. V dôsledku vyššie uvedených akcií dostaneme: - 1 a 5 a a 2 b 2 b m .

Urobme operácie so stupňami v zátvorkách, potom bude mať jednočlen štandardný tvar: (- 1) a 5 + 1 + 2 b 2 + 1 m = (- 1) a 8 b 3 m . Z tohto záznamu môžeme ľahko určiť koeficient monomiálu: rovná sa - 1. Mínusovú jednotku je celkom možné jednoducho nahradiť znamienkom mínus: (- 1) a 8 b 3 m = - a 8 b 3 m .

Súhrn všetkých akcií vyzerá takto:

a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b = (- 1) (a 5 a a 2) (b 2 b) m = = (- 1) a 5 + 1 + 2 b 2 + 1 m = (- 1 ) a 8 b 3 m = - a 8 b 3 m

odpoveď:

a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b = - a 8 b 3 m, koeficient daného monomiálu je - 1 .

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

V matematike existuje veľa rôznych matematických výrazov a niektoré z nich majú svoje pevné názvy. Musíme sa zoznámiť s jedným z týchto pojmov - toto je monomial.

Monomial je matematický výraz, ktorý pozostáva zo súčinu čísel, premenných, z ktorých každá môže byť do určitej miery zahrnutá do súčinu. Aby ste lepšie porozumeli novému konceptu, musíte sa oboznámiť s niekoľkými príkladmi.

Príklady monočlenov

Výrazy 4, x^2 , -3*a^4, 0,7*c, ¾*y^2 sú singletony. Ako vidíte, samotné číslo alebo premenná (s alebo bez mocniny) je tiež jednočlen. Ale napríklad výrazy 2+с, 3*(y^2)/x, a^2 –x^2 sú už nie sú monomiálne pretože nezodpovedajú definícii. Prvý výraz používa „súčet“, čo nie je povolené, druhý výraz používa „delenie“ a tretí používa rozdiel.

Zvážte ešte pár príkladov.

Napríklad výraz 2*a^3*b/3 je tiež jednočlenný, hoci delenie je tam prítomné. Ale v tomto prípade dochádza k deleniu číslom, a preto je možné zodpovedajúci výraz prepísať takto: 2/3*a^3*b. Ešte jeden príklad: Ktorý z výrazov 2/x a x/2 je jednočlenný a ktorý nie? správne odpovedzte, že prvý výraz nie je jednočlenný, ale druhý.

Štandardná forma monomiálu

Pozrite sa na nasledujúce dva jednočlenné výrazy: ¾*a^2*b^3 a 3*a*1/4*b^3*a. V skutočnosti ide o dva rovnaké monomiály. Nie je pravda, že prvý výraz vyzerá pohodlnejšie ako druhý?

Dôvodom je, že prvý výraz je napísaný v štandardnej forme. Štandardná forma polynómu je súčin tvorený číselným faktorom a mocninami rôznych premenných. Číselný faktor sa nazýva monomiálny koeficient.

Aby sme dostali monomický tvar do štandardného tvaru, stačí vynásobiť všetky číselné faktory prítomné v monomíle a výsledné číslo dať na prvé miesto. Potom vynásobte všetky mocniny, ktoré majú rovnaký základ písmen.

Redukcia monomiálu na jeho štandardnú formu

Ak v našom príklade v druhom výraze vynásobíme všetky číselné faktory 3 * 1/4 a potom vynásobíme a * a, dostaneme prvý jednočlen. Táto akcia sa nazýva uvedenie monomiálu do jeho štandardnej formy.

Ak sa dva monomály líšia iba číselným koeficientom alebo sú si navzájom rovné, potom sa takéto monomály v matematike nazývajú podobné.

ja Výrazy, ktoré sa skladajú z čísel, premenných a ich mocničiek pomocou násobenia, sa nazývajú jednočleny.

Príklady monomilov:

a) a; b) ab; v) 12; G)-3c; e) 2a2°(-3,5b)3; e)-123,45xy 5 z; a) 8ac∙2,5a 2∙(-3c 3).

II. Tento typ monomiálu, kedy je na prvom mieste číselný faktor (koeficient) a za ním premenné so svojimi mocnosťami, sa nazýva štandardný typ monomiálu.

Takže monomály uvedené vyššie pod písmenami a B C), G) a e) sú písané v štandardnej forme a monomály pod písmenami e) a a) je potrebné ho uviesť do štandardnej formy, teda do takej podoby, keď je na prvom mieste číselný faktor a za ním sú napísané doslovné faktory s ich ukazovateľmi, navyše doslovné faktory sú v abecednom poradí. Dávame monomály e) a a) na štandardný pohľad.

e) 2a 2 ∙ (-3,5b) 3=2a 2 ∙(-3,5) 3 ∙b 3 =-2a 2 ∙3,5∙3,5∙3,5∙b 3 = -85,75a2b3;

a) 8ac∙2,5a 2∙(-3c 3)=-8∙2,5∙3a 3 c 3 = -60a3c3.

III.Súčet exponentov všetkých premenných, z ktorých sa skladá jednočlen, sa nazýva stupeň jednočlena.

Príklady. Aký stupeň majú monomiály a) - g)?

a) a. Najprv;

b) ab. Po druhé: a na prvom stupni a b v prvom stupni - súčet ukazovateľov 1+1=2 ;

v) 12. Nula, pretože neexistujú žiadne abecedné faktory;

G) -3c. Najprv;

e) -85,75a2b3. Po piate. Tento monomiál sme zredukovali na štandardnú formu, máme a na druhom stupni a b v treťom. Pridanie indikátorov: 2+3=5 ;

e) -123,45xy 5 z. Siedmy. Pridané exponenty doslovných faktorov: 1+5+1=7 ;

a) -60a3c3.Šiesty, od súčtu ukazovateľov doslovných multiplikátorov 3+3=6 .

IV. Monomiály, ktoré majú rovnakú časť písmena, sa nazývajú podobné monomály.

Príklad. Uveďte podobné monomické znaky medzi danými monočlenmi 1) -7).

1) 3aabbc; 2) -4,1a 3bc; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98,7a 2bac; 5) 10aaa 2x; 6) -2,3a 4x; 7) 34x2r.

Dávame monomály 1), 4) a 5) na štandardný pohľad. Potom bude riadok týchto monomilov vyzerať takto:

1) 3a 2 b 2 c; 2) -4,1a 3bc; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98,7a 3bc; 5) 10a 4x; 6) -2,3a 4x; 7) 34x2r.

Podobné budú tie, ktoré majú rovnakú písmenkovú časť, t.j. 1) a 3); 2) a 4); 5) a 6).

1) 3a 2 b 2 c a 3) 56a 2 b 2 c;

2) -4.1a 3bc a 4) 98,7a 3bc;

5) 10a 4 x a 6) -2,3a 4x.

Lekcia na tému: "Štandardná forma monomiálu. Definícia. Príklady"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje pripomienky, spätnú väzbu, návrhy. Všetky materiály sú kontrolované antivírusovým programom.

Učebné pomôcky a simulátory v internetovom obchode "Integral" pre ročník 7
Elektronická učebnica "Zrozumiteľná geometria" pre ročníky 7-9
Multimediálna študijná príručka „Geometria za 10 minút“ pre ročníky 7-9

Monomiálny. Definícia

Monomiálny je matematický výraz, ktorý je výsledkom prvočiniteľa a jednej alebo viacerých premenných.

Monomiály zahŕňajú všetky čísla, premenné, ich mocniny s prirodzeným exponentom:
42; 3; 0; 62; 2 3; b3; ax4; 4x3; 5a2; 12xyz 3.

Pomerne často je ťažké určiť, či daný matematický výraz odkazuje na jednočlen alebo nie. Napríklad $\frac(4a^3)(5)$. Je to monomiálne alebo nie? Aby sme na túto otázku odpovedali, musíme výraz zjednodušiť, t.j. reprezentujú v tvare: $\frac(4)(5)*а^3$.
S istotou môžeme povedať, že tento výraz je jednočlenný.

Štandardná forma monomiálu

Pri výpočte je žiaduce uviesť monomiál do štandardnej formy. Toto je najkratší a najzrozumiteľnejší zápis monomiálu.

Poradie uvedenia monomiálu do štandardnej formy je nasledovné:
1. Vynásobte koeficienty monomiálu (alebo číselné faktory) a dajte výsledok na prvé miesto.
2. Vyberte všetky stupne s rovnakým základom písmen a vynásobte ich.
3. Opakujte bod 2 pre všetky premenné.

Príklady.
I. Znížte daný monomiál $3x^2zy^3*5y^2z^4$ na štandardný tvar.

Riešenie.
1. Vynásobte koeficienty monomiálu $15x^2y^3z * y^2z^4$.
2. Teraz predstavme podobné výrazy $15х^2y^5z^5$.

II. Preveďte daný monomial $5a^2b^3 * \frac(2)(7)a^3b^2c$ do štandardného tvaru.

Riešenie.
1. Vynásobte koeficienty monomiálu $\frac(10)(7)a^2b^3*a^3b^2c$.
2. Teraz predstavme podobné výrazy $\frac(10)(7)a^5b^5c$.

Koncept monomiálu

Definícia jednočlena: Jednočlen je algebraický výraz, ktorý používa iba násobenie.

Štandardná forma monomiálu

Aká je štandardná forma monomiálu? Monomial sa píše v štandardnom tvare, ak má na prvom mieste číselný faktor a tento faktor, nazýva sa koeficientom monomiálu, v monomile je len jeden, písmená monomiálu sú zoradené v abecednom poradí a každé písmeno sa vyskytuje iba raz.

Príklad monomiálu v štandardnej forme:

tu je na prvom mieste číslo, koeficient jednočlenu a toto číslo je v našom jednočlene len jedno, každé písmeno sa vyskytuje len raz a písmená sú zoradené podľa abecedy, v tomto prípade ide o latinku.

Ďalší príklad monomiálu v štandardnej forme:

každé písmeno sa vyskytuje len raz, sú zoradené v latinskom abecednom poradí, ale kde je koeficient jednočlennosti, t.j. číselný faktor, ktorý by mal byť na prvom mieste? Tu sa rovná jednej: 1adm.

Môže byť monomiálny koeficient záporný? Áno, možno, príklad: -5a.

Môže byť monomiálny koeficient zlomkový? Áno, možno, príklad: 5.2a.

Ak monomiál pozostáva len z čísla, t.j. nemá písmená, ako to dostať do štandardného formulára? Akýkoľvek monomický znak, ktorý je číslom, je už v štandardnom tvare, napríklad: číslo 5 je štandardný monomický tvar.

Redukcia monomilov na štandardnú formu

Ako priviesť monomial do štandardnej formy? Zvážte príklady.

Nech je daný monomiál 2a4b, musíme ho uviesť do štandardného tvaru. Vynásobíme dva jeho číselné faktory a dostaneme 8ab. Teraz sa monomiál píše v štandardnom tvare, t.j. má len jeden číselný činiteľ, písaný na prvom mieste, každé písmeno v jednočlennom znaku sa vyskytuje iba raz a tieto písmená sú usporiadané v abecednom poradí. Takže 2a4b = 8ab.

Dané: monomial 2a4a, uveďte monomial do štandardného tvaru. Vynásobíme čísla 2 a 4, súčin aa nahradíme druhou mocninou a 2 . Dostávame: 8a 2 . Toto je štandardná forma tohto monomiálu. Takže, 2a4a = 8a2.

Podobné monomiály

Aké sú podobné monomiály? Ak sa monomiály líšia iba v koeficientoch alebo sú rovnaké, potom sa nazývajú podobné.

Príklad podobných monomilov: 5a a 2a. Tieto monomiály sa líšia iba koeficientmi, čo znamená, že sú podobné.

Sú monomiály 5abc a 10cba podobné? Druhý monomiál privedieme do štandardného tvaru, dostaneme 10abc. Teraz je jasné, že monomiály 5abc a 10abc sa líšia iba svojimi koeficientmi, čo znamená, že sú podobné.

Sčítanie monomilov

Aký je súčet monomilov? Podobné monomiály môžeme len sčítať. Zoberme si príklad sčítania monomilov. Aký je súčet monočlánkov 5a a 2a? Súčet týchto jednočlenov bude im podobný jednočlen, ktorého koeficient sa rovná súčtu koeficientov členov. Súčet monočlánkov je teda 5a + 2a = 7a.

Ďalšie príklady sčítania monomilov:

2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4

Opäť. Môžete pridávať iba podobné monočlánky, sčítanie sa redukuje na sčítanie ich koeficientov.

Odčítanie monomilov

Aký je rozdiel medzi monomilami? Podobné monomiály môžeme len odčítať. Uvažujme o príklade odčítania monomilov. Aký je rozdiel medzi monomály 5a a 2a? Rozdiel týchto jednočlenov bude im podobný jednočlen, ktorého koeficient sa rovná rozdielu koeficientov týchto jednočlenov. Rozdiel monomilov sa teda rovná 5a - 2a = 3a.

Ďalšie príklady odčítania monomilov:

10a2 - 3a2 = 7a2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4

Násobenie monomilov

Čo je produktom monomilov? Zvážte príklad:

tie. súčin jednočlenov sa rovná jednočlenu, ktorého činitele sú zložené z činiteľov pôvodných jednočlenov.

Ďalší príklad:

2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .

Ako k tomuto výsledku došlo? Každý faktor má "a" v stupni: v prvom - "a" v stupni 2 a v druhom - "a" v stupni 5. To znamená, že výrobok bude mať "a" v stupni zo 7, pretože pri násobení tých istých písmen sa ich exponenty sčítajú:

A 2 * a 5 = a 7 .

To isté platí pre faktor „b“.

Koeficient prvého faktora sa rovná dvom a druhý - jednému, takže v dôsledku toho dostaneme 2 * 1 = 2.

Takto sa vypočítal výsledok 2a 7 b 12.

Z týchto príkladov je vidieť, že koeficienty monomilov sa násobia a tie isté písmená sú nahradené súčtom ich stupňov v súčine.