Preklad do rôznych číselných sústav s riešením. Preklad čísel do rôznych číselných sústav

Poznámka 1

Ak chcete previesť číslo z jednej číselnej sústavy do druhej, je výhodnejšie ho najskôr previesť do desiatkovej číselnej sústavy a až potom preniesť z desiatkovej číselnej sústavy do akejkoľvek inej číselnej sústavy.

Pravidlá pre prevod čísel z ľubovoľnej číselnej sústavy na desiatkovú

Vo výpočtovej technike s použitím strojovej aritmetiky hrá dôležitú úlohu prevod čísel z jednej číselnej sústavy do druhej. Nižšie uvádzame základné pravidlá pre takéto transformácie (preklady).

Pri preklade binárneho čísla na desiatkové číslo je potrebné reprezentovať binárne číslo ako polynóm, ktorého každý prvok je reprezentovaný ako súčin číslice čísla a zodpovedajúcej mocniny základného čísla, v tomto prípade $2 $ a potom musíte vypočítať polynóm podľa pravidiel desiatkovej aritmetiky:

$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$

Obrázok 1. Tabuľka 1

Príklad 1

Preveďte číslo $11110101_2$ do systému desiatkových čísel.

rozhodnutie. Použitím vyššie uvedenej tabuľky $1$ stupňov základne $2$ predstavujeme číslo ako polynóm:

$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 6 4 + 128 + + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$

Ak chcete previesť číslo z osmičkového na desiatkové číslo, musíte ho znázorniť ako polynóm, ktorého každý prvok je reprezentovaný ako súčin číslice čísla a zodpovedajúcej mocniny základného čísla, v tomto prípade $8$, a potom musíte vypočítať polynóm podľa pravidiel desiatkovej aritmetiky:

$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$

Obrázok 2. Tabuľka 2

Príklad 2

Preveďte číslo $75013_8$ do systému desiatkových čísel.

rozhodnutie. Pomocou vyššie uvedenej tabuľky $2$ stupňov základne $8$ predstavujeme číslo ako polynóm:

$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$

Ak chcete previesť číslo zo šestnástkovej sústavy na desiatkovú, musíte ju znázorniť ako polynóm, ktorého každý prvok je reprezentovaný ako súčin číslice čísla a zodpovedajúcej mocniny základného čísla, v tomto prípade $16$, a potom musíte vypočítať polynóm podľa pravidiel desiatkovej aritmetiky:

$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$

Obrázok 3. Tabuľka 3

Príklad 3

Preveďte číslo $FFA2_(16)$ na systém desiatkových čísel.

rozhodnutie. Použitím vyššie uvedenej tabuľky $3$ základných mocnin 8$, reprezentujeme číslo ako polynóm:

$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$

Pravidlá pre prevod čísel z desiatkovej číselnej sústavy do inej

• Ak chcete previesť číslo z desiatkového na binárne číslo, musíte ho postupne deliť $2$, kým nezostane zvyšok menší alebo rovný $1$. Číslo v dvojkovej sústave je reprezentované ako postupnosť posledného výsledku delenia a zvyšku delenia v opačnom poradí.

Príklad 4

Preveďte číslo $22_(10)$ do binárnej číselnej sústavy.

rozhodnutie:

Obrázok 4

$22_{10} = 10110_2$

• Ak chcete previesť číslo z desiatkovej na osmičkovú, musíte ho postupne deliť $8$, kým nezostane zvyšok menší alebo rovný $7$. Číslo v osmičkovej číselnej sústave je znázornené ako postupnosť číslic posledného výsledku delenia a zvyšku delenia v opačnom poradí.

Príklad 5

Preveďte číslo $571_(10)$ na osmičkovú číselnú sústavu.

rozhodnutie:

Obrázok 5

$571_{10} = 1073_8$

• Ak chcete previesť číslo z desiatkového na šestnástkové číslo, musíte ho postupne deliť 16 $, kým nezostane zvyšok menší alebo rovný 15 $. Vyjadrite číslo v šestnástkovej sústave ako postupnosť číslic posledného výsledku delenia a zvyšku delenia v opačnom poradí.

Príklad 6

Preveďte číslo $7467_(10)$ na hexadecimálnu číselnú sústavu.

rozhodnutie:

Obrázok 6

$7467_(10) = 1D2B_(16)$

Aby sme previedli správny zlomok z desiatkovej číselnej sústavy na nedesiatkovú, je potrebné vynásobiť zlomkovú časť prevedeného čísla základom sústavy, do ktorej sa má previesť. Frakcia v novom systéme bude prezentovaná ako celé časti produktov, počnúc od prvej.

Napríklad: $0,3125_((10))$ v osmičkovej číslici by vyzeralo ako $0,24_((8))$.

V tomto prípade môžete naraziť na problém, keď konečný desatinný zlomok môže zodpovedať nekonečnému (periodickému) zlomku v nedesiatkovej číselnej sústave. V tomto prípade bude počet číslic v zlomku predstavovanom v novom systéme závisieť od požadovanej presnosti. Treba tiež poznamenať, že celé čísla zostávajú celými číslami a vlastné zlomky zostávajú zlomkami v akomkoľvek číselnom systéme.

Pravidlá pre prevod čísel z binárnej číselnej sústavy do inej

• Ak chcete previesť číslo z binárneho na osmičkové, musí byť rozdelené na trojice (trojice číslic), počnúc najmenej významnou číslicou, ak je to potrebné, pridaním nuly k najvyššej trojici, potom nahradením každej trojice zodpovedajúcou osmičkovou číslicou podľa tabuľky 4.

Obrázok 7. Tabuľka 4

Príklad 7

Preveďte číslo $1001011_2$ na osmičkovú číselnú sústavu.

rozhodnutie. Pomocou tabuľky 4 preložíme číslo z binárneho do osmičkového:

$001 001 011_2 = 113_8$

• Ak chcete previesť číslo z binárneho na šestnástkové číslo, malo by byť rozdelené na tetrády (štyri číslice), počnúc najmenej významnou číslicou, ak je to potrebné, doplnením staršej tetrády nulami, potom by sa každá tetáda mala nahradiť zodpovedajúcou osmičkovou číslicou podľa Tabuľka 4

Pridelenie služby. Služba je určená na online preklad čísel z jedného číselného systému do druhého. Ak to chcete urobiť, vyberte základňu systému, z ktorej chcete číslo preložiť. Môžete zadať celé čísla aj čísla s čiarkou.

číslo

Preklad z číselného systému 10 2 8 16. Preveďte na číselný systém 2 10 8 16.
Pre zlomkové čísla použite 2 3 4 5 6 7 8 desatinných miest.

Môžete zadať celé čísla, napríklad 34 , alebo zlomkové čísla, napríklad 637,333 . Pri zlomkových číslach sa uvádza presnosť prekladu za desatinnou čiarkou.

S touto kalkulačkou sa používajú aj nasledujúce položky:

Spôsoby reprezentácie čísel

binárne (binárne) čísla - každá číslica znamená hodnotu jedného bitu (0 alebo 1), najvýznamnejší bit sa píše vždy vľavo, za číslom sa umiestňuje písmeno „b“. Pre ľahšie vnímanie je možné zošity oddeliť medzerami. Napríklad 1010 0101b.
Hexadecimálne (hexadecimálne) čísla - každá tetráda je reprezentovaná jedným znakom 0...9, A, B, ..., F. Takéto znázornenie možno označiť rôznymi spôsobmi, tu sa používa len znak "h" za posledným hexadecimálna číslica. Napríklad A5h. V programových textoch môže byť rovnaké číslo označené ako 0xA5, tak aj 0A5h, v závislosti od syntaxe programovacieho jazyka. Naľavo od najvýznamnejšej šestnástkovej číslice reprezentovanej písmenom sa pridá nevýznamná nula (0) na rozlíšenie medzi číslami a symbolickými názvami.
Desatinné čísla (desatinné) čísla - každý bajt (slovo, dvojslovo) je reprezentovaný obyčajným číslom a znamienko desatinného vyjadrenia (písmeno "d") sa zvyčajne vynecháva. Bajt z predchádzajúcich príkladov má desiatkovú hodnotu 165. Na rozdiel od binárneho a hexadecimálneho zápisu je v desiatkovej sústave ťažké mentálne určiť hodnotu každého bitu, čo sa niekedy musí urobiť.
Osmičkový (osmičkové) čísla - každá trojica bitov (oddelenie začína od najmenej významného) sa zapisuje ako číslo 0-7, na koniec sa dáva znamienko "o". Rovnaké číslo by bolo napísané ako 245o. Osmičková sústava je nepohodlná v tom, že bajt nemožno rozdeliť rovnomerne.

Algoritmus na prevod čísel z jedného číselného systému do druhého

Prevod celých desiatkových čísel na akúkoľvek inú číselnú sústavu sa vykonáva delením čísla základom novej číselnej sústavy, kým zvyšok nezostane číslo menšie ako základ novej číselnej sústavy. Nové číslo sa zapíše ako zvyšok delenia, počnúc posledným.
Prevod správneho desatinného zlomku na iný PSS sa vykonáva vynásobením iba zlomkovej časti čísla základom novej číselnej sústavy, kým všetky nuly nezostanú v zlomkovej časti alebo kým sa nedosiahne špecifikovaná presnosť prekladu. V dôsledku každej operácie násobenia sa vytvorí jedna číslica nového čísla, začínajúca od najvyššieho.
Preklad nesprávneho zlomku sa vykonáva podľa 1. a 2. pravidla. Celé číslo a zlomkové časti sa píšu spolu, oddelené čiarkou.

Príklad č. 1.



Preklad z 2 až 8 až 16 číselnej sústavy.
Tieto systémy sú násobky dvoch, preto sa preklad vykonáva pomocou tabuľky zhody (pozri nižšie).

Na prevod čísla z binárnej číselnej sústavy na osmičkové (šestnástkové) číslo je potrebné rozdeliť binárne číslo na skupiny troch (štyri pre šestnástkové číslo) od čiarky doprava a doľava, pričom krajné skupiny treba doplniť nulami. Ak je to nevyhnutné. Každá skupina je nahradená príslušnou osmičkovou alebo šestnástkovou číslicou.

Príklad č. 2. 1010111010,1011 = 1,010,111,010,101,1 = 1272,51 8
tu 001=1; 010=2; 111 = 7; 010=2; 101 = 5; 001=1

Pri prevode do šestnástkovej sústavy musíte číslo rozdeliť na časti, každú po štyri číslice, podľa rovnakých pravidiel.
Príklad č. 3. 1010111010,1011 = 10,1011,1010,1011 = 2B12,13 HEX
tu 0010=2; 1011 = B; 1010 = 12; 1011=13

Prevod čísel z 2, 8 a 16 do desiatkovej sústavy sa vykonáva tak, že sa číslo rozdelí na samostatné a vynásobí sa základňou sústavy (z ktorej sa číslo prekladá) umocnenou na mocninu zodpovedajúcu jeho poradovému číslu. v preloženom čísle. V tomto prípade sa čísla číslujú naľavo od desatinnej čiarky (prvé číslo má číslo 0) so stúpajúcim a napravo od desatinnej čiarky (tj so záporným znamienkom). Získané výsledky sa spočítajú.

Príklad č. 4.
Príklad prevodu z dvojkovej do desiatkovej číselnej sústavy.

1010010.101 2 = 1 2 6 +0 2 5 +1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +0 2 0 + 1 2 -1 +0 2 - 2 +1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Príklad prevodu z osmičkovej do desiatkovej číselnej sústavy. 108,5 8 = 1* 8 2 +0 8 1 +8 8 0 + 5 8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Príklad prevodu zo šestnástkovej do desiatkovej číselnej sústavy. 108,5 16 = 1 16 2 +0 16 1 +8 16 0 + 5 16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10

Ešte raz zopakujeme algoritmus na preklad čísel z jednej číselnej sústavy do inej PSS

1. Zo sústavy desiatkových čísel:
   • vydeliť číslo základom prekládaného číselného systému;
   • nájdite zvyšok po vydelení celej časti čísla;
   • zapíšte si všetky zvyšky z delenia v opačnom poradí;
2. Z dvojkovej sústavy
   • Ak chcete previesť na systém desatinných čísel, musíte nájsť súčet súčinov základu 2 podľa zodpovedajúceho stupňa vybitia;
   • Ak chcete previesť číslo na osmičkovú, musíte číslo rozdeliť na triády.
     Napríklad 1 000 110 = 1 000 110 = 106 8
   • Ak chcete previesť číslo z binárneho na hexadecimálne, musíte číslo rozdeliť do skupín po 4 číslice.
     Napríklad 1000110 = 100 0110 = 46 16

Systém sa nazýva polohový., u ktorých význam alebo váha číslice závisí od jej umiestnenia v čísle. Vzťah medzi systémami je vyjadrený v tabuľke.
Tabuľka zhody číselných sústav:

Binárne SS	Hexadecimálne SS
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

Tabuľka na prevod do osmičkovej číselnej sústavy

Kalkulačka vám umožňuje previesť celé a zlomkové čísla z jednej číselnej sústavy do druhej. Základ číselného systému nemôže byť menší ako 2 a väčší ako 36 (predsa len 10 číslic a 26 latinských písmen). Čísla nesmú presiahnuť 30 znakov. Ak chcete zadať zlomkové čísla, použite symbol . alebo, . Ak chcete previesť číslo z jednej sústavy do druhej, zadajte do prvého poľa pôvodné číslo, do druhého základ pôvodnej číselnej sústavy a do tretieho poľa základ číselnej sústavy, do ktorej chcete číslo previesť, potom kliknite na tlačidlo „Získať záznam“.

pôvodné číslo zaznamenané v 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 35 -tá číselná sústava.

Chcem získať záznam čísla 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -tá číselná sústava.

Získajte záznam

Hotové preklady: 1363703

Číselné sústavy

Číselné sústavy sú rozdelené do dvoch typov: pozičné a nie pozičné. Používame arabský systém, je pozičný a existuje aj rímsky - len nie je pozičný. V pozičných systémoch poloha číslice v čísle jednoznačne určuje hodnotu tohto čísla. To sa dá ľahko pochopiť pri pohľade na príklad nejakého čísla.

Príklad 1. Zoberme si číslo 5921 v desiatkovej číselnej sústave. Číslo číslujeme sprava doľava od nuly:

Číslo 5921 môžeme zapísať v nasledujúcom tvare: 5921 = 5000+900+20+1 = 5 10 3 +9 10 2 +2 10 1 +1 10 0 . Číslo 10 je charakteristika, ktorá definuje číselný systém. Hodnoty polohy daného čísla sa berú ako stupne.

Príklad 2. Zoberme si skutočné desatinné číslo 1234,567. Číslovame ho od nulovej pozície čísla od desatinnej čiarky doľava a doprava:

Číslo 1234,567 možno zapísať takto: 1234,567 = 1000+200+30+4+0,5+0,06+0,007 = 1 10 3 +2 10 2 +3 10 1 +4 10 0 +5 10 -1 + 6 1 +710-3.

Prevod čísel z jedného číselného systému do druhého

Najjednoduchší spôsob, ako preniesť číslo z jednej číselnej sústavy do druhej, je previesť číslo najprv do desiatkovej číselnej sústavy a potom získaný výsledok do požadovanej číselnej sústavy.

Prevod čísel z ľubovoľnej číselnej sústavy do desiatkovej číselnej sústavy

Na prevod čísla z ľubovoľnej číselnej sústavy do desiatkovej stačí očíslovať jeho číslice, začínajúc od nuly (číslica naľavo od desatinnej čiarky) podobne ako v príkladoch 1 alebo 2. Nájdite súčet súčinov číslic čísla podľa základu číselnej sústavy na mocninu pozície tejto číslice:

1. Preveďte číslo 1001101.1101 2 na desiatkovú číselnú sústavu.
rozhodnutie: 10011.1101 2 = 1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +1 2 0 +1 2 -1 +1 2 -2 +0 2 -3 +1 2 - 4 = 16+2+1+0,5 +0,25 + 0,0625 = 19,8125 10
odpoveď: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Preveďte číslo E8F.2D 16 do desiatkovej číselnej sústavy.
rozhodnutie: E8F.2D 16 = 14 16 2 +8 16 1 +15 16 0 +2 16 -1 +13 16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
odpoveď: E8F.2D 16 = 3727,17578125 10

Prevod čísel z desiatkovej číselnej sústavy do inej číselnej sústavy

Ak chcete previesť čísla z desiatkovej číselnej sústavy do inej číselnej sústavy, celé číslo a zlomkové časti čísla sa musia preložiť oddelene.

Prevod celej časti čísla z desiatkovej číselnej sústavy do inej číselnej sústavy

Celočíselná časť sa prevádza z desiatkovej číselnej sústavy do inej číselnej sústavy postupným delením celočíselnej časti čísla základom číselnej sústavy, až kým sa nezíska zvyšok celého čísla, ktorý je menší ako základ číselnej sústavy. Výsledkom presunu bude záznam z pozostatkov, počnúc posledným.

3. Preveďte číslo 273 10 na osmičkovú číselnú sústavu.
rozhodnutie: 273 / 8 = 34 a zvyšok 1, 34 / 8 = 4 a zvyšok 2, 4 je menší ako 8, takže výpočet je dokončený. Záznam zo zvyškov bude vyzerať takto: 421
Vyšetrenie: 4 8 2 +2 8 1 +1 8 0 = 256+16+1 = 273 = 273, výsledok je rovnaký. Takže preklad je správny.
odpoveď: 273 10 = 421 8

Uvažujme o preklade správnych desatinných zlomkov do rôznych číselných sústav.

Prevod zlomkovej časti čísla z desiatkovej číselnej sústavy do inej číselnej sústavy

Pripomeňme, že správny desatinný zlomok je reálne číslo s nulovou celočíselnou časťou. Ak chcete preložiť takéto číslo do číselnej sústavy so základom N, musíte číslo dôsledne násobiť N, kým sa zlomková časť nevynuluje alebo kým sa nezíska požadovaný počet číslic. Ak sa počas násobenia získa číslo s inou celočíselnou časťou ako nula, potom sa celá časť ďalej neberie do úvahy, pretože sa postupne zadáva do výsledku.

4. Preveďte číslo 0,125 10 na binárnu číselnú sústavu.
rozhodnutie: 0,125 2 = 0,25 (0 je celá časť, ktorá bude prvou číslicou výsledku), 0,25 2 = 0,5 (0 je druhá číslica výsledku), 0,5 2 = 1,0 (1 je tretia číslica výsledku a keďže zlomková časť je nula, preklad je úplný).
odpoveď: 0.125 10 = 0.001 2

Výsledok sa už dostavil!

Číselné sústavy

Existujú pozičné a nepozičné číselné sústavy. Arabský číselný systém, ktorý používame v každodennom živote, je pozičný, kým rímsky nie. V pozičných číselných systémoch pozícia čísla jednoznačne určuje veľkosť čísla. Zvážte to na príklade čísla 6372 v desiatkovej číselnej sústave. Očíslujme toto číslo sprava doľava od nuly:

Potom môže byť číslo 6372 reprezentované takto:

6372=6000+300+70+2 =6 10 3 +3 10 2 +7 10 1 +2 10 0 .

Číslo 10 definuje číselnú sústavu (v tomto prípade je to 10). Hodnoty polohy daného čísla sa berú ako stupne.

Zoberme si skutočné desatinné číslo 1287,923. Číslovame ho od nulovej pozície čísla od desatinnej čiarky doľava a doprava:

Potom môže byť číslo 1287.923 reprezentované ako:

1287,923 =1000+200+80 +7+0,9+0,02+0,003 = 1 10 3 +2 10 2 +8 10 1 +7 10 0 +9 10 -1 +2 10 -2 +3 10 -3 .

Vo všeobecnosti môže byť vzorec reprezentovaný takto:

C n s n + C n-1 s n-1 +...+C1 s 1 + C 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k

kde C n je celé číslo na pozícii n, D -k - zlomkové číslo na pozícii (-k), s- číselná sústava.

Niekoľko slov o číselných sústavách Číslo v desiatkovej číselnej sústave pozostáva z množiny číslic (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), v osmičkovej sústave pozostáva z množina číslic (0,1, 2,3,4,5,6,7), v dvojkovej sústave - zo množiny číslic (0,1), v hexadecimálnej číselnej sústave - z množiny číslic ( 0,1,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), kde A,B,C,D,E,F zodpovedajú číslam 10, 11, 12, 13, 14, 15. V tabuľke 1 sú čísla zastúpené v rôznych číselných sústavách.

stôl 1
Notový zápis
10	2	8	16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

Prevod čísel z jedného číselného systému do druhého

Ak chcete preložiť čísla z jednej číselnej sústavy do druhej, najjednoduchším spôsobom je najprv previesť číslo do desiatkovej číselnej sústavy a potom z desiatkovej číselnej sústavy preložiť do požadovanej číselnej sústavy.

Prevod čísel z ľubovoľnej číselnej sústavy do desiatkovej číselnej sústavy

Pomocou vzorca (1) môžete previesť čísla z ľubovoľnej číselnej sústavy na desiatkovú číselnú sústavu.

Príklad 1. Preveďte číslo 1011101.001 z binárnej číselnej sústavy (SS) na desiatkovú SS. rozhodnutie:

1 2 6 + 0 2 5 + 1 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 20 + 0 2-1+ 0 2-2+ 1 2-3 = 64+16+8+4+1+1/8=93,125

Príklad2. Preveďte číslo 1011101.001 z osmičkovej číselnej sústavy (SS) na desiatkovú SS. rozhodnutie:

Príklad 3 . Preveďte číslo AB572.CDF z hexadecimálneho na desiatkové SS. rozhodnutie:

Tu A-nahradené 10, B- o 11, C- o 12, F- o 15.

Prevod čísel z desiatkovej číselnej sústavy do inej číselnej sústavy

Ak chcete previesť čísla z desiatkovej číselnej sústavy do inej číselnej sústavy, musíte oddelene preložiť celú časť čísla a zlomkovú časť čísla.

Celočíselná časť čísla sa prekladá z desiatkovej SS do inej číselnej sústavy - postupným delením celej časti čísla základom číselnej sústavy (pre binárne SS - 2, pre 8-miestne SS - 8 , pre 16-miestne - o 16 atď. ), aby sa získal celý zvyšok, menší ako základ SS.

Príklad 4 . Preložme číslo 159 z desiatkovej SS na binárne SS:

159	2
158	79	2
1	78	39	2
	1	38	19	2
		1	18	9	2
			1	8	4	2
				1	4	2	2
					0	2	1
						0

Ako je možné vidieť na obr. 1, číslo 159, keď je delené 2, dáva podiel 79 a zvyšok je 1. Ďalej číslo 79, keď je delené 2, dáva podiel 39 a zvyšok je 1 atď. Výsledkom je, že vytvorením čísla zo zvyšku delenia (sprava doľava) dostaneme číslo v binárnom SS: 10011111 . Preto môžeme napísať:

159 10 =10011111 2 .

Príklad 5 . Preveďme číslo 615 z desiatkovej SS na osmičkovú SS.

615	8
608	76	8
7	72	9	8
	4	8	1
		1

Pri prevode čísla z desiatkovej SS na osmičkovú SS musíte číslo postupne deliť 8, kým nedostanete zvyšok celého čísla menší ako 8. Výsledkom je, že zostavením čísla zo zvyšku delenia (sprava doľava) získajte číslo v osmičkovej SS: 1147 (pozri obr. 2). Preto môžeme napísať:

615 10 =1147 8 .

Príklad 6 . Preložme číslo 19673 z desiatkovej číselnej sústavy na šestnástkovú SS.

19673	16
19664	1229	16
9	1216	76	16
	13	64	4
		12

Ako vidno z obrázku 3, postupným delením čísla 19673 číslom 16 sme dostali zvyšky 4, 12, 13, 9. V šestnástkovej sústave čísel zodpovedá číslu 12 C, číslu 13 - D. naše hexadecimálne číslo je 4CD9.

Na prevod správnych desatinných zlomkov (reálne číslo s nulovou celočíselnou časťou) do číselnej sústavy so základom s je potrebné toto číslo postupne násobiť s, až kým zlomková časť nebude čistá nula, inak nezískame požadovaný počet číslic. Ak výsledkom násobenia je číslo s inou časťou celého čísla ako nula, potom sa táto časť celého čísla neberie do úvahy (sú postupne pripočítané k výsledku).

Pozrime sa na vyššie uvedené s príkladmi.

Príklad 7 . Preložme číslo 0,214 z desiatkovej číselnej sústavy do dvojkovej SS.

		0.214
	X	2
0		0.428
	X	2
0		0.856
	X	2
1		0.712
	X	2
1		0.424
	X	2
0		0.848
	X	2
1		0.696
	X	2
1		0.392

Ako vidno z obr.4, číslo 0,214 sa postupne násobí 2. Ak je výsledkom násobenia číslo s inou celočíselnou časťou ako nula, potom sa celá časť zapíše samostatne (naľavo od čísla), a číslo je zapísané s nulovou celočíselnou časťou. Ak sa pri násobení získa číslo s nulovou celočíselnou časťou, naľavo od neho sa zapíše nula. Proces násobenia pokračuje, kým sa v zlomkovej časti nezíska čistá nula alebo kým sa nezíska požadovaný počet číslic. Zápisom tučných čísel (obr. 4) zhora nadol dostaneme požadované číslo v dvojkovej sústave: 0. 0011011 .

Preto môžeme napísať:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Príklad 8 . Preložme číslo 0,125 z desiatkovej číselnej sústavy do dvojkovej SS.

		0.125
	X	2
0		0.25
	X	2
0		0.5
	X	2
1		0.0

Na prevod čísla 0,125 z desiatkovej SS na binárne sa toto číslo postupne vynásobí 2. V tretej fáze sa získa 0. Preto sa získal nasledujúci výsledok:

0.125 10 =0.001 2 .

Príklad 9 . Preložme číslo 0,214 z desiatkovej číselnej sústavy na šestnástkovú SS.

		0.214
	X	16
3		0.424
	X	16
6		0.784
	X	16
12		0.544
	X	16
8		0.704
	X	16
11		0.264
	X	16
4		0.224

Podľa príkladov 4 a 5 dostaneme čísla 3, 6, 12, 8, 11, 4. Ale v šestnástkovej sústave SS čísla C a B zodpovedajú číslam 12 a 11. Preto máme:

0,21410 = 0,36C8B416.

Príklad 10 . Preložme číslo 0,512 z desiatkovej číselnej sústavy do osmičkového SS.

		0.512
	X	8
4		0.096
	X	8
0		0.768
	X	8
6		0.144
	X	8
1		0.152
	X	8
1		0.216
	X	8
1		0.728

Mám:

0.512 10 =0.406111 8 .

Príklad 11 . Preložme číslo 159.125 z desiatkovej číselnej sústavy do dvojkovej SS. Aby sme to dosiahli, preložíme oddelene celú časť čísla (príklad 4) a zlomkovú časť čísla (príklad 8). Spojením týchto výsledkov dostaneme:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Príklad 12 . Preložme číslo 19673.214 z desiatkovej číselnej sústavy do šestnástkovej sústavy SS. Aby sme to dosiahli, preložíme oddelene celú časť čísla (príklad 6) a zlomkovú časť čísla (príklad 9). Ďalším kombinovaním týchto výsledkov dostaneme.

Značky: Číselná sústava, preklad číselnej sústavy, súvisiace číselné sústavy

Zmena základu pre pozičné číselné sústavy

V pozičnom číselnom systéme so základom q môže byť číslo reprezentované ako polynóm

... + a 2 ∙q 2 + a 1 q 1 + a 0 ∙q 0 + a -1 ∙q -1 + a -2 ∙q -2 + ...

kde koeficienty a i sú číslice číselnej sústavy so základom q.

Napríklad v desiatkovej číselnej sústave

124.733 = 1∙10 2 + 2∙10 1 + 4∙10 0 + 7∙10 -1 + 3∙10 -2 + 3∙10 -3

Počet číslic v číselnej sústave so základom q sa rovná q, pričom maximálna číslica sa rovná q - 1. Číslica sa nemôže rovnať q, pretože v tomto prípade sa jednotka prenesie na nový bit.

Napríklad musíte nájsť minimálny základ číselnej sústavy, v ktorej je zapísané číslo 7832. Keďže maximálna číslica je 8, minimálna hodnota je q = 8 + 1 = 9.

Základom číselnej sústavy môže byť v zásade akékoľvek číslo: celé číslo, záporné, racionálne, iracionálne, komplexné atď. Budeme uvažovať iba o kladných celých základoch.

Obzvlášť nás bude zaujímať základ 2 a základne, ktoré sú mocninami dvoch - 8 a 16.

V prípade, že základ s väčšie ako desať, potom sa nové číslice preberú v poradí z abecedy. Napríklad pre šestnástkovú sústavu to budú čísla 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Preklad celočíselnej časti desiatkovej číselnej sústavy

Prvým spôsobom prevodu z desiatkového na n-árne je postupné delenie čísla novým základom.

123/12 = 10 (3) 10/12 = 0 (10 = A)

Zhromažďujeme v opačnom poradí, najprv poslednú hodnotu (to je 0), potom zhora nadol všetky zvyšky. Dostaneme 0A3 = A3

4563/8 = 570 (3) 570/8 = 71 (2) 71/8 = 8 (7) 8/8 = 1 (0)

Keď to vrátime späť, dostaneme 10723

3349 10 → 16 X

3349/16 = 209 (5) 209/16 = 13 (1) 13/16 = 0 (13 = D)

Skladanie: 0D15 = D15

545/2 = 272 (1) 272/2 = 136 (0) 136/2 = 68 (0) 68/2 = 34 (0) 34/2 = 17 (0) 17/2 = 8 (1) 8/2 = 4 (0) 4/2 = 2(0) 2/2 = 1 (0) 1/2 = 0(1)

Zber 01000100001 = 1000100001

Preklad na papier sa zvyčajne vykonáva rozdelením do stĺpca. Kým delenie nevedie k nule, každá nasledujúca odpoveď sa delí základom c. s Na konci sa zozbiera odpoveď zo zvyšku divízie.

Často je tiež možné preložiť číslo na iné s. s , ak si to mentálne predstavíme ako súčet stupňov zodpovedajúceho základu, na ktorý chceme číslo previesť.

Napríklad 129 je samozrejme 128 + 1 = 2 7 + 1 = 10000001 2

80 = 81 - 1 = 3 4 - 1 = 10000 - 1 = 2222 3

Prevod do desiatkovej číselnej sústavy celočíselnej časti

Preklad sa vykonáva pomocou reprezentácie čísla v pozičnom číselnom systéme. Nech je potrebné preložiť A3 12 → X 10 Je známe, že A3 je 3∙q 0 + A∙q 1 , teda 3*1 + A*12 = 3 + 120 = 123

10723 8 → X 10

1∙q 4 + 0∙q 3 + 7∙q 2 + 2∙q 1 + 3∙q 0 = 1∙8 4 + 0 + 7∙8 2 + 2∙8 + 3 = 1∙4096 + 7∙64 + 2,8 + 3 = 4563

D∙16 2 + 1∙16 1 +5∙16 0 = 13∙256 + 16 + 5 = 3349

1000100001 2 → X 10

2 9 + 2 5 + 1 = 512 + 32 + 1 = 545.

Preklad na papier sa zvyčajne vykonáva nasledovne. Nad každú číslicu v poradí napíšte číslo stupňa. Potom sú už všetky podmienky napísané.

Prevod zlomkovej časti z desiatkovej sústavy

Pri preklade zlomkovej časti často nastáva situácia, keď sa konečný desatinný zlomok zmení na nekonečný. Preto sa zvyčajne pri preklade uvádza presnosť, s akou je potrebné prekladať. Preklad sa vykonáva postupným násobením zlomkovej časti základom číselnej sústavy. V tomto prípade sa celá časť nakloní dozadu a stane sa súčasťou zlomku.

0,625 10 → X 2

0.625 * 2 = 1.250 (1) 0.25 * 2 = 0.5 (0) 0.5 * 2 = 1.0 (1)

0 - ďalšie násobenie dá len nuly
Zhromažďujeme zhora nadol, dostaneme 0,101

0,310 → X2 0,3 * 2 = 0,6 (0) 0,6 * 2 = 1,2 (1) 0,2 * 2 = 0,4 (0) 0,4 * 2 = 0,8 (0) 0,8 * 2 = 1,6 (1) 0,6 * 2 = 1,2 )

0,2 ... dostaneme periodický zlomok
Zhromažďujeme, dostaneme 0,0100110011001… = 0,0(1001)

0,64510 → X5 0,645 * 5 = 3,225 (3) 0,255 * 5 = 1,275 (1) 0,275 * 5 = 1,375 (1) 0,375 * 5 = 1,875 (1) 0,345 * 5 5 = 0,345 * 5 5 = 845 * 5 5 )…

0.3111414… = 0.311(14)

Prevod zlomkovej časti do desiatkovej sústavy

Uskutočňuje sa podobne ako pri preklade celočíselnej časti vynásobením číslice výboja základom na stupeň rovný polohe výboja v čísle.

0,101 2 → X 10

1∙2 -1 + 0∙2 -2 + 1∙2 -3 = 0.5 + 0.125 = 0.625

0,134 5 → X 10

1∙5 -1 + 3∙5 -2 +4∙5 -3 = 0.2 + 3∙0.04 + 4∙0.008 = 0.2 + 0.12 + 0.032 = 0.352

Preklad z ľubovoľnej číselnej sústavy do ľubovoľnej

Prechod z ľubovoľnej číselnej sústavy do ľubovoľnej s. s vykonávané pomocou desatinných s. s

X N → X M ≡ X N → X 10 → X M

napríklad

1221201 3 → X 7

1221201 3 = 1∙3 6 + 2∙3 5 + 2∙3 4 + 1∙3 3 + 2∙3 2 + 1 = 729 + 2∙243 + 2∙81 + 27 + 9 + 1 = 1414 10

1414/7 = 202 (0) 202/7 = 28 (6) 28/7 = 4 (0) 4/7 = 0 (4)

1221201 3 → 4060 7

Súvisiace číselné sústavy

Číselné sústavy sa nazývajú príbuzné, keď ich základňami sú mocniny rovnakého čísla. Napríklad 2, 4, 8, 16. Preklad medzi súvisiacimi číselnými systémami je možné vykonať pomocou tabuľky

Tabuľka na prevod medzi súvisiacimi číselnými sústavami so základom 2

10	2	4	8	16
0	0000	000	00	0
1	0001	001	01	1
2	0010	002	02	2
3	0011	003	03	3
4	0100	010	04	4
5	0101	011	05	5
6	0110	012	06	6
7	0111	013	07	7
8	1000	020	10	8
9	1001	021	11	9
10	1010	022	12	A
11	1011	023	13	B
12	1100	030	14	C
13	1101	031	15	D
14	1110	032	16	E
15	1111	033	17	F

Ak chcete preložiť z jedného súvisiaceho číselného systému do druhého, musíte najprv previesť číslo na binárne. Pri prevode na binárny číselný systém sa každá číslica čísla nahradí zodpovedajúcimi dvoma (pre kvartér), tromi (pre osmičkovú) alebo štyrmi (pre šestnástkovú sústavu).

Pre 123 4 sa jedna nahradí 01, dve 10, tri 11, dostaneme 11011 2

Pre 5721 8 respektíve 101, 111, 010, 001, spolu 101111010001 2

Pre E12 16 dostaneme 111000010010 2

Ak chcete preložiť z dvojkovej sústavy, mali by ste číslo rozdeliť na dvojky (4.), trojice (8.) alebo štvorky čísel (16.) a potom ho nahradiť zodpovedajúcimi hodnotami.