10'dan diğer sayı sistemlerine çeviri. Bir sayının ondalık sayıdan ikili sayıya hızlı dönüştürülmesi

Sayıları ondalık sayıdan ikili sayıya hızlı bir şekilde dönüştürmek için "2 üzeri kuvvet" sayılarını iyi bilmeniz gerekir. Örneğin, 2 10 \u003d 1024, vb. Bu, çeviri için bazı örnekleri saniyeler içinde çözmenize olanak tanır. Bu görevlerden biri USE demo 2012'den görev A1. Elbette, sayıyı uzun ve sıkıcı bir şekilde "2" ile bölebilirsiniz. Ancak sınavda değerli zamandan tasarruf ederek farklı karar vermek daha iyidir.

Yöntem çok basittir. Özü şudur: ondalık sistemden dönüştürülecek sayı "2 üzeri kuvvet" sayısına eşitse, ikili sistemdeki bu sayı, güce eşit sıfır sayısını içerir. Bu sıfırların önüne "1" ekliyoruz.

• 2 sayısını ondalık sistemden çevirelim. 2=2 1 . Bu nedenle ikili sistemde sayı 1 sıfır içerir. Önüne "1" koyarız ve 10 2 alırız.
• 4'ü ondalık sistemden çevirelim. 4=2 2 . Bu nedenle ikili sistemde sayı 2 sıfır içerir. Önüne "1" koyarız ve 100 2 alırız.
• 8'i ondalık sistemden çevirelim. 8=2 3 . Bu nedenle ikili sistemde sayı 3 sıfır içerir. Önüne "1" koyarız ve 1000 2 elde ederiz.

Benzer şekilde diğer sayılar için "2 üzeri güç".

Çevrilecek sayı "2 üzeri kuvvet" sayısından 1'den küçükse, ikili sistemde bu sayı yalnızca sayısı güce eşit olan birimlerden oluşur.

• 3'ü ondalık sistemden çevirelim. 3=2 2 -1. Bu nedenle, ikili sistemde sayı 2 tane içerir. 11 2 alıyoruz.
• 7'yi ondalık sistemden çevirelim. 7=2 3 -1. Bu nedenle, ikili sistemde sayı 3 tane içerir. 111 2 alıyoruz.

Şekilde, kareler sayının ikili gösterimini gösterir ve solda ondalık gösterim pembedir.

Çeviri, "2 üzeri -1'in kuvveti" olan diğer sayılar için benzerdir.

0'dan 8'e kadar olan sayıların çevirisinin hızlı bir şekilde veya bölme yoluyla yapılabileceği veya ikili sistemdeki temsillerinin ezbere bilindiği açıktır. Bu örnekleri, bu yöntemin prensibini anlamanız ve daha "etkileyici sayıları" çevirmek için, örneğin 127.128, 255, 256, 511, 512 vb. sayıları çevirmek için kullanmanız için verdim.

"2'ye kuvvet" sayısına eşit olmayan, ancak ona yakın bir sayıyı çevirmeniz gerektiğinde bu tür görevleri yerine getirebilirsiniz. "2 üzeri kuvvet" sayısından büyük veya küçük olabilir. Çevrilen sayı ile "2 üzeri kuvvet" sayısı arasındaki fark küçük olmalıdır. Örneğin, 3'e kadar. İkili sistemde 0'dan 3'e kadar olan sayıların gösterimi, basitçe çevrilmeden bilinmelidir.

Eğer sayı 'den büyükse, bunu şu şekilde çözeriz:

Önce "2'nin gücü" sayısını ikili sisteme çeviriyoruz. Ve sonra buna "2 üzeri güce" sayısı ile çevrilen sayı arasındaki farkı ekliyoruz.

Örneğin, 19'u ondalık sistemden çevirelim. "2 üzeri kuvvet" sayısından 3 ile büyüktür.

16=2 4 . 16 10 =10000 2 .

3 10 =11 2 .

19 10 =10000 2 +11 2 =10011 2 .

Sayı "2 üzeri kuvvet" sayısından küçükse, "2 üzeri -1" sayısını kullanmak daha uygundur. Şöyle karar veriyoruz:

Önce "2 üzeri -1" sayısını ikili sisteme çeviriyoruz. Sonra ondan "2 üzeri -1" sayısı ile çevrilen sayı arasındaki farkı çıkarırız.

Örneğin, 29'u ondalık sistemden çevirelim. "2 üzeri 1" sayısından 2 ile büyüktür. 29=31-2.

31 10 =11111 2 .

2 10 =10 2 .

29 10 =11111 2 -10 2 =11101 2

Çevrilen sayı ile "2 üzeri kuvvet" sayısı arasındaki fark üçten fazlaysa, sayıyı bileşenlere ayırabilir, her parçayı ikili bir sisteme çevirebilir ve ekleyebilirsiniz.

Örneğin, 528 sayısını ondalık sistemden çevirin. 528=512+16. 512 ve 16'yı ayrı ayrı çeviriyoruz.
512=2 9 . 512 10 =1000000000 2 .
16=2 4 . 16 10 =10000 2 .
Şimdi sıralayalım:

Sayıları bir sayı sisteminden diğerine dönüştürme yöntemleri.

Sayıların bir konumsal sayı sisteminden diğerine çevirisi: tam sayıların çevirisi.

Bir tamsayıyı d1 tabanlı bir sayı sisteminden d2 tabanlı diğerine dönüştürmek için, bölüm d2 tabanından küçük olana kadar bu sayıyı ve elde edilen bölümleri yeni sistemin d2 tabanına sırayla bölmeniz gerekir. Son bölüm, d2 tabanlı yeni sayı sistemindeki sayının en yüksek basamağıdır ve onu takip eden sayılar, alınış sırasının tersinden yazılan bölümden kalanlardır. Çevrilen sayının yazıldığı sayı sisteminde aritmetik işlemleri gerçekleştirin.

Örnek 1. 11(10) sayısını ikili sayı sistemine dönüştürün.

Cevap: 11(10)=1011(2).

Örnek 2. 122(10) sayısını sekizlik sayı sistemine dönüştürün.

Cevap: 122(10)=172(8).

Örnek 3. 500(10) sayısını onaltılık sayı sistemine dönüştürün.

Cevap: 500(10)=1F4(16).

Sayıların bir konumsal sayı sisteminden diğerine çevirisi: uygun kesirlerin çevirisi.

Uygun bir kesri d1 tabanlı bir sayı sisteminden d2 tabanlı bir sisteme dönüştürmek için, orijinal kesir ile elde edilen ürünlerin kesirli kısımlarını yeni sayı sisteminin d2 tabanı ile art arda çarpmak gerekir. Tabanı d2 olan yeni sayı sisteminde bir sayının doğru kesri, birinciden başlayarak elde edilen ürünlerin tamsayı kısımları olarak oluşturulur.
Tercüme, sonsuz veya ıraksak bir dizi şeklinde bir kesir ile sonuçlanırsa, gerekli doğruluğa ulaşıldığında işlem tamamlanabilir.

Karışık sayıları çevirirken, tamsayıları ve kesirleri çevirme kurallarına göre tamsayı ve kesirli kısımları ayrı ayrı yeni sisteme çevirmek ve ardından her iki sonucu da yeni sayı sisteminde tek bir karışık sayı halinde birleştirmek gerekir.

Örnek 1. 0.625(10) sayısını ikili sayı sistemine dönüştürün.

Cevap: 0.625(10)=0.101(2).

Örnek 2. 0,6 (10) sayısını sekizlik sayı sistemine dönüştürün.

Cevap: 0.6(10)=0.463(8).

Örnek 2. 0.7(10) sayısını onaltılık sayıya dönüştürün.

Cevap: 0.7(10)=0.B333(16).

İkili, sekizli ve onaltılı sayıları ondalık sayıya dönüştürün.

P-ary sisteminin sayısını ondalık sayıya dönüştürmek için aşağıdaki genişletme formülünü kullanmanız gerekir:
anan-1…a1a0=anPn+ an-1Pn-1+…+ a1P+a0 .

Örnek 1. 101.11(2) sayısını ondalık sayı sistemine dönüştürün.

Cevap: 101.11(2)= 5.75(10) .

Örnek 2. 57.24(8) sayısını ondalık sayı sistemine dönüştürün.

Cevap: 57.24(8) = 47.3125(10) .

Örnek 3. 7A,84(16) sayısını ondalık sayı sistemine dönüştürün.

Cevap: 7A,84(16)= 122.515625(10) .

Sekizli ve onaltılı sayıları ikiliye veya tam tersine dönüştürme.

Bir sayıyı sekizliden ikiliye çevirmek için bu sayının her basamağı üç basamaklı bir ikili sayı (triad) olarak yazılmalıdır.

Örnek: 16.24(8) sayısını ikili olarak yazın.

Cevap: 16.24(8)= 11120101(2) .

İkili bir sayıyı tekrar sekizli sayı sistemine dönüştürmek için, orijinal sayıyı ondalık noktanın solunda ve sağında üçlülere bölmeniz ve her grubu sekizlik sayı sisteminde bir sayı olarak temsil etmeniz gerekir. Aşırı eksik üçlüler sıfırlarla tamamlanır.

Örnek: 110.0101(2) sayısını sekizli olarak yazın.

Cevap: 110.0101(2)= 16.24(8) .

Bir sayıyı onaltılık sayı sisteminden ikili sayıya dönüştürmek için, bu sayının her basamağı dört basamaklı bir ikili sayı (tetrad) olarak yazılmalıdır.

Örnek: 7A,7E(16) sayısını ikili sayı sisteminde yazın.


Cevap: 7A,7E(16)= 1111010.0111111(2) .

Not: Tam sayılar için soldaki ve kesirler için sağdaki önemsiz sıfırlar kaydedilmez.

İkili bir sayıyı onaltılık sayı sistemine geri dönüştürmek için, orijinal sayıyı ondalık noktanın solunda ve sağında dörtlülere bölmeniz ve her grubu onaltılık sayı sisteminde bir sayı olarak temsil etmeniz gerekir. Aşırı eksik üçlüler sıfırlarla tamamlanır.

Örnek: 1111010.0111111(2) sayısını onaltılık olarak yazın.

Ondalık sayı sisteminden herhangi bir sayı sistemine sayıları çevirirken, tamsayı ve kesirli kısımlar her zaman ayrı ayrı çevrilir (farklı kurallara göre).

Bütün bölümün tercümesi

Bir sayıyı ondalık sayı sisteminden diğerine dönüştürmek için, orijinal sayının, sayıyı dönüştürmek istediğiniz sayı sisteminin tabanına göre tamsayı bölümünü yapmanız gerekir. Bu durumda, bölümün geri kalanı ve bölüm önemlidir. Bölüm 0 kalana kadar tabana bölünmelidir.Bundan sonra kalanlar ters sırada yazılmalıdır - bu yeni sayı sistemindeki sayı olacaktır.

Örneğin, çeviri - ondalıktan ikiliye 25 sayısı şöyle görünür:

Kalanları ters sırada yazarsak 25 10 =11001 2 elde ederiz.

Bunu düşünürseniz, kesinlikle herhangi bir sayıyı ikili sayı sistemine dönüştürürken, son kalanın (yani, sonuçtaki ilk hanenin) her zaman en son bölüme eşit olacağını kolayca fark edebilirsiniz. sayıyı çevirdiğimiz sayı sisteminin tabanından daha küçük olmak. Bu nedenle, bölme genellikle bölüm sıfır olmadan önce durdurulur - bölümün tabandan daha küçük olduğu anda. Örneğin:

Ondalık sayı sisteminden başka bir sayı sistemine çeviri tamamen aynı kurallara göre yapılır. 393 10'u onaltılıya dönüştürmenin bir örneği:

Kalanları tersten yazarsak 393 10 =189 16 elde ederiz.

Kalanların ondalık sayı sisteminde elde edildiğini anlamalısınız. 16'ya bölerken kalanlar sadece 0'dan 9'a değil, 10'dan 15'e kadar da görünebilir. Her kalan, transferin yapıldığı sayı sisteminde her zaman tam olarak bir basamaktır.

Örneğin, onaltılık sayı sistemine dönüştürürken, şu tür kalanlar aldıysanız (sayıda yazılması gerektiği sırayla yazılır): 10, 3, 15, 7, o zaman onaltılık sayı sisteminde bu kalıntı dizisi A3F7 16 sayısına karşılık gelecektir (bazıları yanlışlıkla 103157 16 olarak numarayı yazarlar - bunun tamamen farklı bir sayı olduğu ve bunu yaparsanız, A'dan F'ye kadar olan rakamların görünmeyeceği anlaşılır herhangi bir onaltılık sayıda).

Kesirli Çeviri

Kesirli kısmı çevirirken, tamsayı kısmının çevirisinin aksine, bölmek değil, çevirdiğimiz sayı sisteminin tabanı ile çarpmak gerekir. Bu durumda, her seferinde bütün kısımlar atılır ve kesirli kısımlar tekrar çarpılır. Bütün parçalar alındıkları sıraya göre toplandıktan sonra istenilen sayı sisteminde sayının kesirli kısmı elde edilir.

Bir çarpma işlemi, çevirinin gerçekleştirildiği sayı sisteminde tam olarak bir ek işaret verir.

İşlemi sonlandırmak için iki koşul vardır:

1) Bir sonraki çarpma işlemi sonucunda kesirli kısımda sıfır aldınız. Bu sıfırı ne kadar çarparsanız çoğaltın yine de sıfır kalacağı açıktır. Bu, sayının ondalık sayı sisteminden doğru olana tam olarak aktarıldığı anlamına gelir.

2) tüm sayılar doğru olarak çevrilemez. Bu durumda, genellikle bir miktar doğrulukla çevrilir. Bu durumda, ilk önce kaç ondalık basamağa ihtiyaç duyulacağı belirlenir - çarpma işleminin tam olarak bu sayıda yapılması gerekecektir.

İşte 0.39 10 sayısının ikili sayı sistemine dönüştürülmesine bir örnek. Doğruluk - 8 basamak (bu durumda, çeviri doğruluğu keyfi olarak seçilir):

Tamsayı kısımlarını doğrudan sırayla yazarsak 0.39 10 =0.01100011 2 elde ederiz.

İlk sıfırın (şekilde mavi ile çizilmiş) yazılmasına gerek yoktur - çünkü kesirli kısma değil bütüne atıfta bulunur. Bazıları sonucu yazarken yanlışlıkla bu sıfırı ondalık noktadan sonra yazar.

0.39 10 sayısının onaltılık sayı sistemine çevirisi bu şekilde görünecektir. Doğruluk - Bu durumda 8 basamak, doğruluk yine keyfi olarak seçilir:

Tamsayı kısımlarını direkt sırayla yazarsak 0.39 10 =0.63D700A3 16 elde ederiz.

Aynı zamanda, çarpıldığında tamsayı kısımlarının ondalık sayı sisteminde elde edildiğini muhtemelen fark etmişsinizdir. Sayının kesirli kısmı çevrilirken elde edilen bu tamsayı kısımları, sayının tamsayılı kısmı çevrilirken kalanlarla aynı şekilde yorumlanmalıdır. Yani, onaltılık bir sayı sistemine dönüştürüldüğünde, tamsayı kısımları şu sırayla ortaya çıkarsa: 3, 13, 7, 10, o zaman karşılık gelen sayı 0.3D7A 16 olacaktır (ve bazılarının yanlışlıkla yazdığı gibi 0.313710 16 değil) aşağı).

Tamsayı ve kesirli kısmı olan bir sayının çevirisi

Bir tamsayı ve kesirli kısmı olan bir sayıyı çevirmek için, tamsayı kısmını ayrı ayrı ve kesir kısmını ayrı çevirmeniz ve bu nedenle bu iki kısmı birlikte yazmanız gerekir.

Örneğin, 25.39 10 \u003d 11001.01100011 2 (tamsayı ve kesirli kısımların çevirileri - yukarıya bakın).

Akılda küçük tam sayıları ondalık sayıdan ikili sayıya dönüştürme

Farklı sayı sistemleriyle çalışırken, özellikle program geliştirirken, genellikle küçük tam sayıları çevirmek gerektiğinden, genel olarak konuşursak, ilk 16 sayıyı (0'dan 15'e kadar) hatırlamak mantıklıdır.

Ancak 0'dan 15'e kadar olan küçük tam sayıları zihinsel olarak ondalık sayıdan ikili sayıya dönüştürmenin ne kadar kolay olduğunu anlarsanız, o zaman ihtiyacınız olan her zaman zihninizde tablonun önemli bir bölümünü kolayca hesaplayabilirsiniz. Bu işlemi birçok kez yapın ve bir noktada kendiniz anlayamayacaksınız - tabloyu zaten ezberlediniz veya hala hesaplıyorsunuz.

Bu nedenle, 0'dan 15'e kadar küçük bir pozitif tamsayıyı ondalıktan ikiliye dönüştürmek için, anlaşılması gereken ilk şey, ikili sayıdaki her konumun ikinin kuvvetine karşılık geldiğidir. Aynı zamanda, 0'dan 3'e kadar olan konumlar için ikisinin güçlerini hatırlamak çok kolaydır - bunlar 1, 2, 4 ve 8 sayılarıdır:

Ve 10 sayısı 2 artı 8'dir:

Peki, 0 sayısı hatırlamamak günahtır, çünkü onu elde etmek için hiçbir şeyin eklenmesi gerekmez.

Sayıları bir sayı sisteminden diğerine dönüştürmek, makine aritmetiğinin önemli bir parçasıdır. Temel çeviri kurallarını göz önünde bulundurun.

1. İkili bir sayıyı ondalık sayıya dönüştürmek için, sayının basamaklarının ürünlerinden ve 2 sayısının karşılık gelen kuvvetinden oluşan bir polinom olarak yazmak ve ondalık aritmetik kurallarına göre hesaplamak gerekir:

Çeviri yaparken, iki kuvvet tablosunu kullanmak uygundur:

Tablo 4. 2'nin Kuvvetleri

n (derece)

Örnek.

2. Sekizli bir sayıyı ondalık sayıya çevirmek için, sayının basamaklarının ürünlerinden ve 8 sayısının karşılık gelen gücünden oluşan bir polinom olarak yazmak ve ondalık aritmetik kurallarına göre hesaplamak gerekir:

Çeviri yaparken, sekizli güçler tablosunu kullanmak uygundur:

Tablo 5. 8'in Kuvvetleri

n (derece)

Örnek. Sayıyı ondalık sayı sistemine dönüştürün.

3. Onaltılık bir sayıyı ondalık sayıya dönüştürmek için, sayının basamaklarının ürünlerinden ve 16 sayısının karşılık gelen gücünden oluşan bir polinom olarak yazmak ve ondalık aritmetik kurallarına göre hesaplamak gerekir:

Çeviri yaparken, kullanımı uygundur 16'nın kuvvetlerinin saldırısı:

Tablo 6. 16'nın Kuvvetleri

n (derece)

Örnek. Sayıyı ondalık sayı sistemine dönüştürün.

4. Ondalık bir sayıyı ikili sisteme dönüştürmek için, 1'den küçük veya eşit kalana kadar art arda 2'ye bölünmesi gerekir. İkili sistemde bir sayı, bölme işleminin son sonucunun bir dizisi olarak yazılır ve bölümün geri kalanı ters sırada.

Örnek. Sayıyı ikili sayı sistemine dönüştürün.

5. Ondalık bir sayıyı sekizli sisteme dönüştürmek için, 7'den küçük veya ona eşit bir kalan kalana kadar art arda 8'e bölünmesi gerekir.Sekilik sistemdeki bir sayı, bölme işleminin son sonucunun bir basamak dizisi olarak yazılır ve bölümün geri kalanı ters sırada.

Örnek. Sayıyı sekizli sayı sistemine dönüştürün.

6. Ondalık bir sayıyı onaltılı sisteme dönüştürmek için, 15'ten küçük veya eşit kalana kadar art arda 16'ya bölünmelidir. Onaltılık sistemde bir sayı, son bölme sonucunun basamak dizisi olarak yazılır. ve bölümün geri kalanı ters sırada.

Örnek. Sayıyı onaltılık sayıya dönüştürün.

Sayıları bir sayı sisteminden diğerine dönüştürmek, makine aritmetiğinin önemli bir parçasıdır. Temel çeviri kurallarını göz önünde bulundurun.

1. İkili bir sayıyı ondalık sayıya dönüştürmek için, sayının basamaklarının ürünlerinden ve 2 sayısının karşılık gelen kuvvetinden oluşan bir polinom olarak yazmak ve ondalık aritmetik kurallarına göre hesaplamak gerekir:

Çeviri yaparken, iki kuvvet tablosunu kullanmak uygundur:

Tablo 4. 2'nin Kuvvetleri

n (derece)

2. Sekizli bir sayıyı ondalık sayıya çevirmek için, sayının basamaklarının ürünlerinden ve 8 sayısının karşılık gelen gücünden oluşan bir polinom olarak yazmak ve ondalık aritmetik kurallarına göre hesaplamak gerekir:

Çeviri yaparken, sekizli güçler tablosunu kullanmak uygundur:

Tablo 5. 8'in Kuvvetleri

n (derece)

Örnek. Sayıyı ondalık sayı sistemine dönüştürün.

3. Onaltılık bir sayıyı ondalık sayıya dönüştürmek için, sayının basamaklarının ürünlerinden ve 16 sayısının karşılık gelen gücünden oluşan bir polinom olarak yazmak ve ondalık aritmetik kurallarına göre hesaplamak gerekir:

Çeviri yaparken, 16 sayısının güçler tablosunu kullanmak uygundur:

Tablo 6. 16'nın Kuvvetleri

n (derece)

Örnek. Sayıyı ondalık sayı sistemine dönüştürün.

4. Ondalık bir sayıyı ikili sisteme dönüştürmek için, 1'den küçük veya eşit kalana kadar art arda 2'ye bölünmesi gerekir. İkili sistemde bir sayı, bölme işleminin son sonucunun bir dizisi olarak yazılır ve bölümün geri kalanı ters sırada.

Örnek. Sayıyı ikili sayı sistemine dönüştürün.

5. Ondalık bir sayıyı sekizli sisteme dönüştürmek için, 7'den küçük veya ona eşit bir kalan kalana kadar art arda 8'e bölünmesi gerekir.Sekilik sistemdeki bir sayı, bölme işleminin son sonucunun bir basamak dizisi olarak yazılır ve bölümün geri kalanı ters sırada.

6. Ondalık bir sayıyı onaltılı sisteme dönüştürmek için, 15'ten küçük veya eşit kalana kadar art arda 16'ya bölünmelidir. Onaltılık sistemde bir sayı, son bölme sonucunun basamak dizisi olarak yazılır. ve bölümün geri kalanı ters sırada.

Örnek. Sayıyı onaltılık sayıya dönüştürün.

7. Bir sayıyı ikili sistemden sekizli sayıya dönüştürmek için, en az anlamlı basamaktan başlayarak, gerekirse kıdemli üçlüye sıfırlar ekleyerek üçlülere (üçlü basamaklar) bölünmeli ve her üçlü karşılık gelen sekizli basamak (Tablo 3).

Örnek. Sayıyı sekizli sayı sistemine dönüştürün.

8. Bir sayıyı ikili sistemden onaltılık sayıya dönüştürmek için, gerekirse en az anlamlı basamaktan başlayarak, kıdemli dörtlüye sıfırlar ekleyerek ve her dörtlü yerine karşılık gelen sekizlik basamakla değiştirerek dörtlülere (dört basamaklı) bölünmelidir. (Tablo 3).