Periyodik sinyallerin Fourier serisi gösterimi. Deterministik sinyallerin spektral gösterimi. Aynı sıradaki Butterworth filtresiyle karşılaştırıldığında, Chebyshev filtresi, geçiş bandından zemine geçiş bölgesinde daha dik bir frekans tepkisi kayması sağlar.

Geçen yüzyılda, periyodik fonksiyonların trigonometrik serilerle temsilini ilk kullananlar Ivan Bernoulli, Leonhard Euler ve ardından Jean-Baptiste Fourier idi. Bu temsil diğer derslerde yeterince ayrıntılı olarak incelenir, bu nedenle sadece ana ilişkileri ve tanımları hatırlıyoruz.

Yukarıda belirtildiği gibi, herhangi bir periyodik fonksiyon u(t) , bunun için eşitlik u(t)=u(t+T) , nerede T=1/F=2p/W , bir Fourier serisi ile temsil edilebilir:

Bu dizinin her terimi, iki açının farkı için kosinüs formülü kullanılarak genişletilebilir ve iki terim olarak temsil edilebilir:

,

nerede: A n \u003d C n cosφ n, B n \u003d C n günahφ n , böyle , a

oranlar Bir ve Han Euler formülleri ile belirlenir:

;
.

saat n=0 :

a B0=0.

oranlar Bir ve Han , fonksiyonun çarpımının ortalama değerleridir u(t) ve frekans ile harmonik salınım nw bir süre aralığında T . Bunların ilişkilerinin ölçüsünü belirleyen çapraz korelasyon fonksiyonları olduğunu zaten biliyoruz (Kısım 2.5). Bu nedenle, katsayılar Bir ve ben bize bir frekansla "kaç" sinüzoid veya kosinüs dalgası göster KB bu fonksiyonda yer alan u(t) , bir Fourier serisinde genişletildi.

Böylece, periyodik bir fonksiyonu temsil edebiliriz. u(t) sayıların harmonik titreşimlerin toplamı olarak C n genlikler ve sayılar φ n - aşamalar. Genellikle edebiyatta genlik spektrumu olarak adlandırılır ve - faz spektrumu. Genellikle, noktalarda bulunan çizgiler olarak gösterilen yalnızca genlik spektrumu dikkate alınır. KB frekans ekseninde ve sayıya karşılık gelen bir yüksekliğe sahip C n . Ancak unutulmamalıdır ki, zaman fonksiyonu arasında bire bir uygunluk elde etmek için u(t) ve spektrumu için, hem genlik spektrumunu hem de faz spektrumunu kullanmak gerekir. Bu, bu kadar basit bir örnekten görülebilir. Sinyaller ve aynı genlik aralığına sahip olacaklar, ancak tamamen farklı türde bir zaman fonksiyonuna sahip olacaklar.

Ayrık spektrum sadece periyodik bir fonksiyona sahip olmayabilir. Örneğin, sinyal: periyodik değildir, ancak iki spektral çizgiden oluşan ayrı bir spektruma sahiptir. Ayrıca, tekrarlama süresinin sabit olduğu bir dizi radyo darbesinden (yüksek frekanslı dolgulu darbeler) oluşan kesinlikle periyodik bir sinyal olmayacaktır, ancak yüksek frekanslı doldurmanın ilk aşaması, darbeden darbeye değişir. bazı yasalara. Bu tür sinyallere neredeyse periyodik denir. Daha sonra göreceğimiz gibi, ayrı bir spektrumları da var. Bu tür sinyallerin spektrumlarının fiziksel doğasını periyodik olanlarla aynı şekilde inceleyeceğiz.

Fourier serisi formları. sinyal denir periyodik,şekli zaman içinde döngüsel olarak tekrarlanıyorsa Periyodik sinyal u(t) genel olarak şöyle yazılır:

u(t)=u(t+mT), m=0, ±1,±2,…

Burada T, sinyalin periyodudur. Periyodik sinyaller hem basit hem de karmaşık olabilir.

Periyotlu periyodik sinyallerin matematiksel gösterimi için T Temel fonksiyonlar olarak çoklu frekansların harmonik (sinüzoidal ve kosinüs) salınımlarının seçildiği seri (2.2) sıklıkla kullanılır.

y0(t)=1; y 1(t)=sinw 1 t; y2(t)=cosw 1 t;

y3(t)=sin2w 1 t; y4(t)=cos2w 1 t; …, (2.3)

w 1 \u003d 2p / T, dizinin ana açısal frekansıdır

fonksiyonlar. Harmonik temel fonksiyonlarla, (2.2) dizisinden Fourier serisini elde ederiz (Jean Fourier - 19. yüzyılın Fransız matematikçisi ve fizikçisi).

Fourier serisindeki (2.3) formunun harmonik fonksiyonları aşağıdaki avantajlara sahiptir: 1) basit bir matematiksel açıklama; 2) doğrusal dönüşümlere değişmezlik, yani. doğrusal bir devrenin girişinde bir harmonik salınım hareket ederse, o zaman çıkışında, girişten yalnızca genlik ve ilk fazda farklı olan bir harmonik salınım da olacaktır; 3) bir sinyal gibi, harmonik fonksiyonlar periyodiktir ve sonsuz bir süreye sahiptir; 4) Harmonik fonksiyonlar üretme tekniği oldukça basittir.

Periyodik bir sinyali harmonik fonksiyonlar (2.3) cinsinden bir seriye genişletmek için, Dirichlet koşullarının sağlanması gerektiği matematik dersinden bilinmektedir. Ancak tüm gerçek periyodik sinyaller bu koşulları sağlar ve aşağıdaki biçimlerden biriyle yazılabilen bir Fourier serisi olarak temsil edilebilirler:

u(t)=A 0 /2+ (A’ mn cosnw 1 t+A” mn nw 1 t), (2.4)

nerede katsayılar

Am"= (2.5)

u(t)=A 0 /2+ (2.6)

bir dakika = (2.7)

veya karmaşık biçimde

u(t)= (2.8)

Cn = (2.9)

(2.4) - (2.9)'dan, genel durumda, periyodik sinyal u(t)'nin sabit bir bileşen A 0/2 ve temel frekansın w 1 = 2pf 1 ve harmoniklerinin bir dizi harmonik salınımları içerdiğini takip eder. w n =nw 1 , n=2 ,3,4,… frekanslarında harmoniklerin her biri

Fourier serisinin salınımları, genlik ve başlangıç ​​fazı ile karakterize edilir y n .nn

Periyodik bir sinyalin spektral diyagramı ve spektrumu. Herhangi bir sinyal, farklı frekanslara sahip harmonik salınımların toplamı olarak sunulursa, o zaman şöyle derler: spektral ayrışma sinyal.

spektral diyagram sinyale, bu sinyalin Fourier serisinin katsayılarının grafiksel gösterimi denir. Genlik ve faz diyagramları vardır. Şek. 2.6'da belirli bir ölçekte, harmonik frekanslar yatay eksen boyunca çizilir ve bunların genlikleri A mn ve fazları y n dikey eksen boyunca çizilir. Ayrıca, harmoniklerin genlikleri sadece pozitif değerler alabilir, fazlar -p£y n £p aralığında hem pozitif hem de negatif değerler

sinyal spektrumu- bu, toplamda bir sinyal oluşturan belirli frekans, genlik ve ilk faz değerlerine sahip bir dizi harmonik bileşendir. Pratikteki teknik uygulamalarda, spektral diyagramlar daha kısaca denir - genlik spektrumu, faz spektrumu.Çoğu zaman genlik spektral diyagramıyla ilgilenirler. Spektrumdaki harmoniklerin yüzdesini tahmin etmek için kullanılabilir.

Örnek 2.3. Fourier serisinde periyodik bir dikdörtgen video darbeleri dizisini genişletin İle birlikte bilinen parametreler (U m , T, t z), hatta "t=0 noktasına göre. U m =2B, T=20ms, S=T/t ve =2 ve 8'deki genliklerin ve fazların spektral bir diyagramını oluşturun.

Bir periyot aralığında verilen bir periyodik sinyal şu ​​şekilde yazılabilir:

Bu sinyali temsil etmek için Fourier serisi formunu kullanacağız. içinde formu (2.4). Sinyal eşit olduğundan, genişlemede sadece kosinüs bileşenleri kalacaktır.

Pirinç. 2.6. Periyodik bir sinyalin spektral diyagramları:

a - genlik; b- evre

Tek bir fonksiyonun sıfıra eşit bir periyotta integrali. Formülleri (2.5) kullanarak katsayıları buluruz

Fourier serisini yazmaya izin verir:

Spesifik sayısal veriler için spektral diyagramlar oluşturmak için n=0, 1, 2, 3, ... ayarlıyoruz ve harmonik katsayıları hesaplıyoruz. Spektrumun ilk sekiz bileşeninin hesaplanmasının sonuçları Tablo'da özetlenmiştir. 2.1. Seri halinde (2.4) A" mn \u003d 0 ve (2.7)'ye göre A mn =|A’ mn |, temel frekans f 1 =1/T= 1/20-10 -3 =50 Hz, w 1 =2pf 1 =2p*50=314rad/s. Şekil l'deki genlik spektrumu.

2.7 bunlar için inşa edilmiştir n, hangi altında bir dakika maksimum değerin %5'inden fazla.

Yukarıdaki örnek 2.3'ten, görev döngüsündeki bir artışla, spektral bileşenlerin sayısının arttığını ve genliklerinin azaldığını takip eder. Böyle bir sinyalin zengin bir spektruma sahip olduğu söylenir. Pratik olarak kullanılan birçok sinyal için, daha önce verilen formülleri kullanarak harmoniklerin genliklerini ve fazlarını hesaplamaya gerek olmadığına dikkat edilmelidir.

Tablo 2.1. Periyodik bir dikdörtgen darbe dizisinin Fourier serisinin bileşenlerinin genlikleri

Pirinç. 2.7. Periyodik bir darbe dizisinin spektral diyagramları: a- görev döngüsü S-2 ile; - b-görev döngüsü S=8 ile

Matematiksel referans kitaplarında, bir Fourier serisindeki sinyallerin açılım tabloları vardır. Bu tablolardan biri Ek'te verilmiştir (Tablo A.2).

Sıklıkla şu soru ortaya çıkar: Bir Fourier serisinde gerçek bir sinyali temsil etmek için kaç spektral bileşen (harmonik) alınmalıdır? Ne de olsa dizi, kesinlikle konuşursak, sonsuzdur. Burada net bir cevap verilemez. Her şey sinyalin şekline ve Fourier serisi tarafından temsilinin doğruluğuna bağlıdır. Daha yumuşak sinyal değişimi - daha az harmonik gerekli. Sinyalde atlamalar (süreksizlikler) varsa, aynı hatayı elde etmek için daha fazla harmonik toplanmalıdır. Bununla birlikte, birçok durumda, örneğin telgrafta, dik cepheli dikdörtgen darbelerin iletimi için üç harmoniğin yeterli olduğuna inanılmaktadır.

Çoğu zaman, yapı ve form deterministik sinyallerin basit bile matematiksel açıklaması zor bir iştir. Bu nedenle, gerçek karmaşık sinyallerin, temel fonksiyonlar tarafından açıklanan bir matematiksel model kümesi (ağırlıklı toplam, yani yan yana) ile değiştirildiği (temsil edildiği, yaklaşık olduğu) orijinal bir teknik kullanılır. Bu, elektrik sinyallerinin elektronik devrelerden geçişini analiz etmek için önemli bir araç sağlar. Ek olarak, sinyalin gösterimi, açıklaması ve analizi için bir kaynak olarak kullanılabilir. Bu durumda, ters problemi önemli ölçüde basitleştirmek mümkündür - sentez bir dizi temel fonksiyondan gelen karmaşık sinyaller.

Fourier serisi ile periyodik sinyallerin spektral gösterimi

Genelleştirilmiş Fourier serileri.

Sinyallerin (fonksiyonların) spektral temsilinin temel fikri 200 yıldan daha eskiye dayanır ve fizikçi ve matematikçi J. B. Fourier'e aittir.

Her biri bir ilk fonksiyon prototipinden elde edilen temel ortogonal fonksiyonların sistemlerini ele alalım. Bu prototip işlevi, bir "yapı taşı" rolünü oynar ve istenen yaklaşım, aynı blokların uygun kombinasyonu ile bulunur. Fourier, herhangi bir karmaşık fonksiyonun, belirli genlikler, frekanslar ve başlangıç ​​fazları ile bir dizi çoklu harmonik salınımın sonlu veya sonsuz toplamı olarak temsil edilebileceğini (yaklaşık olarak) gösterdi. Bu fonksiyon, özellikle devredeki akım veya gerilim olabilir. Bir prizma tarafından bir renk spektrumuna ayrıştırılan bir güneş ışını, matematiksel Fourier dönüşümlerinin fiziksel bir analogudur (Şekil 2.7).

Bir prizmadan çıkan ışık, uzayda tek tek saf renklere veya frekanslara ayrılır. Spektrum, her frekansta ortalama bir genliğe sahiptir. Böylece, zamana karşı yoğunluğun işlevi, genliğe karşı frekansın bir işlevine dönüştürülmüştür. Fourier mantığının basit bir gösterimi Şekil 2'de gösterilmektedir. 2.8. Şekil olarak periyodik, oldukça karmaşık bir eğri (Şekil 2.8, a) - bu, farklı, ancak çoklu frekansların iki harmoniğinin toplamıdır: tek (Şekil 2.8, b) ve ikiye katlandı (Şekil 2.8, içinde).

Pirinç. 2.7.

Pirinç. 2.8.

a- karmaşık salınım; M.Ö- 1. ve 2. yaklaşma sinyalleri

Fourier spektral analizi yardımıyla, karmaşık bir fonksiyon, her biri kendi frekansına, genliğine ve başlangıç ​​fazına sahip olan harmoniklerin toplamı ile temsil edilir. Fourier dönüşümü, belirli bir frekansa karşılık gelen harmonik bileşenlerin genliğini ve fazını temsil eden fonksiyonları tanımlar ve faz, sinüzoidin başlangıç ​​noktasıdır.

Dönüşüm, biri orijinal fonksiyon sürekli olduğunda kullanılan ve diğeri çok sayıda ayrı ayrı değerlerle verildiğinde kullanılan iki farklı matematiksel yöntemle elde edilebilir.

İncelenen fonksiyon belirli ayrık aralıklarla değerlerden elde edilirse, o zaman ayrı frekanslara sahip ardışık bir sinüzoidal fonksiyon serisine bölünebilir - en düşük, temel veya ana frekanstan ve daha sonra iki, üç kez frekanslarla, vb. ananın üstünde. Bu bileşenlerin toplamına denir. Fourier'e yakın.

ortogonal sinyaller. Fourier'e göre spektral sinyali tanımlamanın uygun bir yolu, bir ortogonal temel zaman fonksiyonları sistemi kullanılarak onun analitik temsilidir. Hilbert sinyal uzayı olsun u 0 (t) y G/,(?), ..., u n (t) sonlu veya sonsuz bir zaman aralığında tanımlanan sonlu enerji ile (t v 1 2). Bu segmentte, birbiriyle ilişkili temel zaman fonksiyonlarının sonsuz bir sistemini (altkümesini) tanımlarız ve onu çağırırız. temel".

nerede r = 1, 2, 3,....

Fonksiyonlar u(t) ve v(t) skaler çarpımları ise (?, ? 2) aralığında ortogonaldir, ancak bu fonksiyonların hiçbirinin aynı sıfıra eşit olmaması şartıyla.

Matematikte bu, Hilbert sinyal uzayında verilir. ortogonal koordinat tabanı, yani ortogonal temel fonksiyonlar sistemi.

Fonksiyonların (sinyallerin) ortogonallik özelliği, tanımlarının aralığı ile ilişkilidir (Şekil 2.9). Örneğin, iki harmonik sinyal m, (?) \u003d \u003d sin (2nr / 7’ 0) ve u.,(t)= günah(4 nt/TQ)(yani, sırasıyla / 0 = 1/7' 0 ve 2/ 0 frekansları ile), süresi bir tam sayı yarım döngüye eşit olan herhangi bir zaman aralığında ortogonaldir. 0(Şek. 2.9, a). Bu nedenle, ilk periyotta sinyaller ve 1) ve u 2 (t)(0.7" 0 /2) aralığında ortogonaldir, ancak (O, ZG 0/4) aralığında ortogonal değildir. Şekil 2.9'da, b sinyaller, görünümlerindeki zaman farkından dolayı ortogonaldir.

Pirinç. 2.9.

a- aralıkta; b - farklı oluşum zamanları nedeniyle Sinyal gösterimi u(t) Bir temel fonksiyonlar sistemi seçilirse, temel modeller büyük ölçüde basitleştirilir vf), mülke sahip olmak ortonormallik. Matematikten, ortogonal sistemden (2.7) herhangi bir fonksiyon çifti için koşulun sağlanıp sağlanmadığı bilinmektedir.

sonra fonksiyonlar sistemi (2.7) ortonormal.

Matematikte, (2.7) biçimindeki böyle bir temel fonksiyonlar sistemine denir. ortonormal taban.

Belirli bir zaman aralığında |r olsun, t2| keyfi sinyal aktif u(t) ve ortonormal fonksiyonlar sistemi (2.7) onu temsil etmek için kullanılır. Keyfi Sinyal Tasarlama u(t) koordinat bazının ekseninde denir genelleştirilmiş bir Fourier serisine genişleme. Bu ayrıştırma şu şekle sahiptir:

burada c, bazı sabit katsayılardır.

Katsayıları belirlemek için itibaren genelleştirilmiş Fourier serisi, temel fonksiyonlardan birini seçiyoruz (2.7) v k (t) s Rasgele sayı ile. Genişletmenin her iki kısmını (2.9) bu fonksiyonla çarparız ve sonucu zaman içinde entegre ederiz:

Seçilen fonksiyonların tabanlarının ortonormalliğinden dolayı, bu eşitliğin sağ tarafında toplamın tüm terimleri i ^ ile sıfıra dönecek. Toplamın yalnızca sayı içeren tek terimi sıfırdan farklı kalacaktır. i = ile, bu yüzden

formun ürünü c k v k (t), genelleştirilmiş Fourier serisine (2.9) dahil edilen spektral bileşen sinyal u(t), ve katsayılar kümesi (sinyal vektörlerinin koordinat eksenlerindeki izdüşümleri) (с 0 , с,..., k ile,..., с„) analiz edilen sinyali tamamen belirler ii(t) ve onu aradı spektrum(lat. spektrum- görüntü).

öz spektral temsil (analiz) sinyali, formül (2.19) uyarınca i ile katsayıların belirlenmesinden oluşur.

Fonksiyonların koordinat bazının rasyonel bir ortogonal sisteminin seçimi, araştırmanın amacına bağlıdır ve matematiksel analiz, dönüşüm ve veri işleme aparatını maksimum düzeyde basitleştirme arzusu ile belirlenir. Chebyshev, Hermite, Laguerre, Legendre, vb. polinomlar şu anda temel fonksiyonlar olarak kullanılmaktadır. exp(J 2ft) ve Euler formülü ile ilgili gerçek trigonometrik sinüs-kosinüs fonksiyonları e > x\u003d cosx + y "sinx. Bu, harmonik salınımın teorik olarak sabit parametrelerle doğrusal devrelerden geçerken şeklini tamamen koruduğu ve sadece genliği ve ilk faz değişikliği ile açıklanmaktadır. Teoride iyi geliştirilmiş sembolik yöntem devrelerin de yaygın olarak kullanılmaktadır.Deterministik sinyalleri bir dizi sabit bileşen olarak temsil etme işlemi ( sabit bileşen) ve çok frekanslı harmonik salınımların toplamına denir. spektral ayrışma. Genelleştirilmiş Fourier serisinin sinyal teorisinde oldukça yaygın kullanımı, aynı zamanda çok önemli özelliği ile de ilişkilidir: seçilmiş bir ortonormal fonksiyon sistemi için. v k (t) ve seri olarak sabit sayıda terim (2.9), belirli bir sinyalin en iyi temsilini sağlar u(t). Fourier serisinin bu özelliği yaygın olarak bilinmektedir.

Sinyallerin spektral gösteriminde en yaygın olarak trigonometrik fonksiyonların ortonormal tabanları kullanılır. Bunun nedeni şudur: harmonik salınımlar, üretilmesi en kolay olanlardır; harmonik sinyaller, sabit doğrusal elektrik devreleri tarafından gerçekleştirilen dönüşümlere göre değişmezdir.

Analog sinyalin zamansal ve spektral gösterimini değerlendirelim (Şekil 2.10). Şek. 2.10, aşekil olarak karmaşık olan sürekli bir sinyalin zamanlama diyagramını gösterir ve şek. 2.10, b - spektral ayrışması.

Periyodik sinyallerin spektral gösterimini, aritmetik bir ilerleme oluşturan frekanslarla birlikte harmonik fonksiyonların veya karmaşık üstellerin toplamı olarak düşünün.

periyodik sinyali çağırın ve „(?). düzenli aralıklarla tekrarlama (Şekil 2.11):

burada G, darbelerin tekrarı veya tekrarı periyodudur; n = 0,1, 2,....

Pirinç. 2.11. periyodik sinyal

Eğer bir T sinyal periyodu u(t), o zaman periyotlar da bunun katları olacaktır: 2r, 3 T vb. Periyodik bir darbe dizisi (onlara denir video darbeleri) ifadesi ile tanımlanır.

Pirinç. 2.10.

a- zamanlama şeması; b- genlik spektrumu

Burada uQ(t)- genlik (yükseklik) ile karakterize edilen tek bir darbenin şekli h = E, süre t, tekrarlama periyodu T= 1/F(F - frekansı), darbelerin zaman içindeki konumu, örneğin saat noktalarına göre t = 0.

Periyodik sinyallerin spektral analizinde, ortogonal sistem (2.7), çoklu frekanslara sahip harmonik fonksiyonlar şeklinde uygundur:

nerede eş, = 2p / T- nabız tekrarlama oranı.

İntegralleri formül (2.8) kullanarak hesaplayarak, bu fonksiyonların [-Г/2, Г/2| aralığında ortogonal olduğunu doğrulamak kolaydır. Frekansları katlar olduğundan, herhangi bir fonksiyon periyodiklik koşulunu (2.11) karşılar. Sistem (2.12) olarak yazılırsa

sonra harmonik fonksiyonların ortonormal bir tabanını elde ederiz.

Sinyal teorisinde en yaygın olanın periyodik bir sinyalini hayal edelim. trigonometrik(sinüs-kosinüs) biçim Fourier serisi:

(2.11) açılımının var olduğu matematik dersinden bilinmektedir, yani. fonksiyon (bu durumda sinyal) ise seri yakınsar u(t)[-7/2, 7/2] aralığında Dirichlet koşulları(Dirichlet teoreminin aksine, genellikle basitleştirilmiş bir şekilde ele alınırlar):

• 2. tür kırılma olmamalıdır (dallar sonsuza kadar gidecek şekilde);
• fonksiyon sınırlıdır ve 1. türden sonlu sayıda süreksizliğe sahiptir (sıçramalar);
• fonksiyonun sınırlı sayıda uç noktası vardır (yani, maksimum ve minimum).

Formül (2.13), analiz edilen sinyalin aşağıdaki bileşenlerini içerir:

DC

kosinüs bileşenlerinin genlikleri

Sinüzoidal bileşenlerin genlikleri

İletişim teorisinde frekansı co olan spektral bileşene denir. ilk (temel) armonika ve frekansları iso olan bileşenler, (n > 1) - daha yüksek harmonikler periyodik sinyal. Fourier açılımından iki bitişik sinüzoid arasındaki frekans adımına Aco denir. frekans çözünürlüğü spektrum.

Sinyal zamanın eşit bir fonksiyonu ise u(t) = u(-t), o zaman Fourier serisinin (2.13) trigonometrik gösteriminde sinüzoidal katsayı yoktur b n, çünkü formül (2.16)'ya göre yok olurlar. sinyal için u(t), zamanın tek fonksiyonu ile tanımlanır, aksine formül (2.15)'e göre kosinüs katsayıları sıfıra eşittir bir p(sabit bileşen 0 da yoktur) ve seri bileşenleri içerir b s.

İntegrasyon limitleri (-7/2'den 7/2'ye) formül (2.14)-(2.16) ile aynı olmak zorunda değildir. Entegrasyon 7 genişliğindeki herhangi bir zaman aralığında gerçekleştirilebilir - sonuç değişmez. Hesaplamaların kolaylığı nedeniyle belirli limitler seçilmiştir; örneğin, 0'dan 7'ye veya -7'den 0'a vb. entegre etmek daha kolay olabilir.

Zamanın işlevi arasındaki ilişkiyi kuran matematik dalı u(t) ve spektral katsayılar bir p, bp, aranan harmonik analiz fonksiyon bağlantısı nedeniyle u(t) bu toplamın sinüzoidal ve kosinüs terimleri ile. Ayrıca, spektral analiz esas olarak özel kullanım bulan harmonik analiz ile sınırlıdır.

Fourier serisinin sinüs-kosinüs formunun kullanımı genellikle çok uygun değildir, çünkü toplam indeksinin her bir değeri için P(yani, mOj frekansına sahip her harmonik için) formül (2.13)'te iki terim vardır - kosinüs ve sinüs. Matematiksel bir bakış açısından, bu formülü eşdeğer bir Fourier serisi ile temsil etmek daha uygundur. gerçek biçim/.

nerede 0 = 0 / 2; Bir n \u003d yja 2 n + b - genlik; sinyalin n. harmoniği. Bazen (2.17) ile ilgili olarak, cp L'nin önüne bir artı işareti konur, ardından harmoniklerin ilk aşaması cp ve = -arctg ( bnfa n).

Sinyal teorisinde, Fourier serisinin karmaşık formu yaygın olarak kullanılmaktadır. Euler formülüne göre kosinüsü karmaşık üslerin yarım toplamı olarak temsil ederek serinin gerçek formundan elde edilir:

Bu dönüşümü Fourier serisinin (2.17) gerçek formuna uygulayarak, pozitif ve negatif üslü karmaşık üslerin toplamını elde ederiz:

Ve şimdi formül (2.19)'da ω frekansındaki üstelleri, eksi işareti üste negatif sayılarla bir serinin üyeleri olarak yorumlayacağız. Aynı yaklaşım çerçevesinde katsayı 0 sıfır numaralı seriye üye olacak. Basit dönüşümlerden sonra, karmaşık biçim Fourier serisi

karmaşık genlik P th harmonik.

değerler C p pozitif ve negatif sayılarla P karmaşık eşleniktir.

Fourier serisinin (2.20) karmaşık üstellerden oluşan bir topluluk olduğuna dikkat edin. exp(jn(o ( t) aritmetik bir ilerleme oluşturan frekanslarla.

Fourier serisinin trigonometrik ve karmaşık formlarının katsayıları arasındaki ilişkiyi belirleyelim. bariz ki

katsayıları da gösterilebilir. bir p= 2C w coscp„; bn = 2C /I sincp, f .

Eğer bir u(t)çift ​​fonksiyon ise, C serisinin katsayıları gerçek, farzedelim u(t) - fonksiyon tek ise serinin katsayıları hayali.

Fourier serisinin (2.20) karmaşık formu ile periyodik bir sinyalin spektral gösterimi hem pozitif hem de negatif frekansları içerir. Ancak doğada negatif frekanslar yoktur ve bu matematiksel bir soyutlamadır (negatif frekansın fiziksel anlamı, pozitif olarak alınanın tersi yönde rotasyondur). Harmonik salınımların karmaşık bir form tarafından resmi temsilinin bir sonucu olarak ortaya çıkarlar. Kompleks formdan (2.20) gerçek forma (2.17) geçerken negatif frekans kaybolur.

Görsel olarak, sinyal spektrumu grafik gösterimi - spektral diyagram ile değerlendirilir (Şekil 2.12). Ayırt etmek genlik-frekans ve faz-frekans spektrumları. Harmonik genlik kümesi bir p(Şekil 2.12, a) aranan genlik spektrumu, evreleri (Şekil 2.12, b) ben - faz spektrumu. Toplama C p = |C p dır-dir karmaşık genlik spektrumu(Şekil 2.12, içinde). Spektral diyagramlarda, apsis eksenleri mevcut frekansı temsil ederken, ordinat eksenleri, analiz edilen sinyalin karşılık gelen harmonik bileşenlerinin gerçek veya karmaşık genliğini veya fazını temsil eder.

Pirinç. 2.12.

a - genlik; b - evre; içinde - karmaşık Fourier serisinin genlik spektrumu

Periyodik bir sinyalin spektrumuna denir. yönetilen veya ayrık, yüksekliği genliğe eşit olan ayrı çizgilerden oluştuğu için bir p harmonikler. Tüm spektrum türleri arasında, genlik spektrumu en bilgilendirici olanıdır, çünkü sinyalin frekans bileşimindeki belirli harmoniklerin nicel içeriğini tahmin etmeye izin verir. Sinyal teorisinde, genlik spektrumunun olduğu kanıtlanmıştır. eşit frekans fonksiyonu, ve aşama - garip.

Not eşit mesafe(kökenden eşit mesafe) periyodik sinyallerin karmaşık spektrumunun: trigonometrik Fourier serisinin spektral katsayılarının bulunduğu simetrik (pozitif ve negatif) frekanslar, eşit mesafeli bir dizi oluşturur (..., -zho v..., -2co p -co p 0, v 2co, ..., ncov...) co = 0 frekansını içeren ve co t = 2n/7' adımına sahip olan. Katsayılar herhangi bir değer alabilir.

Örnek 2.1

Genliği?, süresi t ve tekrar periyodu olan bir periyodik dikdörtgen darbe dizisinin genliğini ve faz spektrumlarını hesaplayalım. T. Sinyal eşit bir fonksiyondur (Şekil 2.13).

Pirinç. 2.13.

Çözüm

İdeal bir dikdörtgen video darbesinin aşağıdaki denklemle tanımlandığı bilinmektedir:

şunlar. zaman içinde t kadar kaydırılan iki birim fonksiyonun a(?) (içerme fonksiyonları) farkı olarak oluşur.

Dikdörtgen darbelerin dizisi, tekli darbelerin bilinen bir toplamıdır:

Verilen sinyal zamanın eşit bir fonksiyonu olduğundan ve bir periyot boyunca sadece [t ve /2, t ve /2] aralığında etki ettiğinden, formül (2.14)'e göre

nerede q = T/ t".

Ortaya çıkan formülü analiz ederek, tekrarlama periyodunun ve darbelerin süresinin bir oran olarak buna dahil olduğunu görebilirsiniz. Bu ayar q- periyodun darbelerin süresine oranına denir görev döngüsü periyodik darbe dizisi (yabancı literatürde görev döngüsü yerine ters değer kullanılır - doldurma faktörü, İngilizceden, görev döngüsü, m ve /7'ye eşit; de q = 2 Darbelerin süresi ve aralarındaki aralıklar eşit olduğunda bir dizi dikdörtgen darbeye denir. menderes(Yunanca paiav5poq'dan - desen, geometrik süsleme).

Fourier serisinde, analiz edilen sinyali tanımlayan fonksiyonun paritesi nedeniyle, sabit bileşenle birlikte yalnızca kosinüs bileşenleri (2.15) olacaktır:

(2.22) formülünün sağ tarafında, ikinci faktör bir temel fonksiyon (sinx)/x şeklindedir. Matematikte bu fonksiyon sinc (x) olarak gösterilir ve sadece değer için X= 0 bire eşittir (lim (sinx/x) =1), geçer

x = ±l, ±2l,... noktalarında sıfırdan geçer ve artan argüman x ile azalır (Şekil 2.14). Verilen sinyale yaklaşan son trigonometrik Fourier serisi (2.13), şeklinde yazılmıştır.

Pirinç. 2.14. Fonksiyon Grafiği günah/x

Sinüs fonksiyonu petal karaktere sahiptir. Yaprakların genişliğinden bahsederken, periyodik sinyallerin ayrı spektrumlarının grafikleri için, yatay ekseni derecelendirmek için iki seçeneğin mümkün olduğu vurgulanmalıdır - harmonik sayılar ve frekanslarda. Örneğin, Şek. 2.14 y ekseninin derecelendirilmesi frekanslara karşılık gelir. Harmonik sayısıyla ölçülen yaprakların genişliği, dizinin görev döngüsüne eşittir. Bu, bir dikdörtgen darbe dizisinin spektrumunun önemli bir özelliğini ifade eder - görev döngüsünün katları olan sayılarla harmoniklerden yoksundur (sıfır genliğe sahiptir). Üçe eşit bir görev döngüsü ile her üçüncü harmonik kaybolur. Görev döngüsü ikiye eşit olsaydı, spektrumda sadece temel frekansın tek harmonikleri kalırdı.

Formül (2.22) ve şek. 2.14, sinyalin bir dizi daha yüksek harmoniğinin katsayılarının negatif bir işarete sahip olduğunu takip eder. Bunun nedeni, bu harmoniklerin başlangıç ​​aşamasının P. Bu nedenle, formül (2.22) genellikle değiştirilmiş bir biçimde sunulur:

Fourier serisinin böyle bir kaydıyla, spektral diyagramın grafiğindeki tüm yüksek harmonik bileşenlerin genlik değerleri pozitiftir (Şekil 2.15, a).

Sinyalin genlik spektrumu büyük ölçüde tekrarlama periyodunun oranına bağlıdır. T ve darbe süresi t ve, yani. görev döngüsünden q. Komşu harmonikler arasındaki frekans mesafesi darbe tekrarlama hızına eşittir ω 1 = 2n/T. Frekans birimleriyle ölçülen spektrum loblarının genişliği 2n/tn'ye eşittir, yani. darbe süresi ile ters orantılıdır. Aynı darbe süresi için t ve bazı artışlarla birlikte

Pirinç. 2.15.

a- genlik;b- evre

bunların tekrarlanma süresi T temel frekans w azalır ve spektrum daha yoğun hale gelir.

Aynı resim, darbe süresi t kısaldığında ve sabit bir periyotla gözlenir. T. Bu durumda tüm harmoniklerin genlikleri azalır. Bu, genel bir yasanın tezahürüdür (W. Heisenberg'in belirsizlik ilkesi - Belirsizlik ilkesi)', sinyalin süresi ne kadar kısa olursa, spektrumu o kadar geniş olur.

Bileşenlerin fazları, cp p \u003d arctg formülünden belirlenir. (bn/an). Buradan katsayılar milyar= 0, o zaman

nerede m = 0, 1, 2,....

İlişki (2.24), spektral bileşenlerin fazlarını hesaplarken matematiksel belirsizlikle uğraştığımızı göstermektedir. Bunu ortaya çıkarmak için, harmoniklerin genliklerinin sin(nco 1 x 1I/2) fonksiyonunun işaretindeki değişikliğe göre periyodik olarak işaret değiştirdiği formül (2.22)'ye dönelim. (2.22) formülündeki işareti değiştirmek, bu fonksiyonun fazını şu şekilde kaydırmaya eşdeğerdir: P. Bu nedenle, bu fonksiyon pozitif olduğunda harmonik faz (p u = 2 tp, ve olumsuz olduğunda (2t + 1 )ile(Şekil 2.15, b). Dikdörtgen darbelerin spektrumundaki bileşenlerin genliklerinin ve artan frekansla azaldığına dikkat edin (bkz. Şekil 2.15, a), bu bozunma oldukça yavaştır (genlikler frekansla ters orantılı olarak azalır). Bu tür darbeleri bozulma olmadan iletmek için iletişim kanalının sonsuz bir bant genişliği gereklidir. Nispeten ince bozulma için, bant genişliğinin kesme değeri, darbe genişliğinin karşılıklı değerinden birçok kez daha büyük olmalıdır. Ancak, tüm gerçek kanalların sınırlı bir bant genişliği vardır, bu da iletilen darbelerin şeklinde bozulmalara yol açar.

Fourier keyfi periyodik sinyal serisi, sonsuz sayıda terim içerebilir. Bu tür sinyallerin spektrumlarını hesaplarken, Fourier serisinin sonsuz toplamının hesaplanması bazı zorluklara neden olur ve her zaman gerekli değildir, bu nedenle sınırlı sayıda terimin toplanmasıyla sınırlıdırlar (seri "kesilir").

Sinyal yaklaşımı doğruluğu, toplanan bileşenlerin sayısına bağlıdır. Bunu, bir dikdörtgen darbe dizisinin ilk sekiz harmoniğinin toplamı ile yaklaşıklık örneğini kullanarak ele alalım (Şekil 2.16). Sinyal, tekrarlama periyoduna sahip tek kutuplu bir menderes şeklindedir. O genlik E= 1 ve darbe süresi t ve = T/2 (verilen sinyal - çift fonksiyon - Şekil 2.16, a; görev döngüsü q= 2). Yaklaşım, Şek. 2.16, b ve grafikler toplanan harmoniklerin sayısını gösterir. Belirli bir periyodik sinyalin (bkz. Şekil 2.13) bir trigonometrik seri (2.13) tarafından devam eden yaklaşımında, birinci ve daha yüksek harmoniklerin toplamı sadece tek katsayılar üzerinden gerçekleştirilecektir. Puçünkü çift değerleri ve darbe süresi için t u = T/2 = = tt/co, sin(mo,T H/2) = sin(wt/2) değeri kaybolur.

Belirli bir sinyal için Fourier serisinin (2.23) trigonometrik formu şu şekildedir:

Pirinç. 2.16.

a - verilen sinyal; 6 - toplamanın ara aşamaları

Temsil kolaylığı için Fourier serisi (2.25) basitleştirilmiş bir biçimde yazılabilir:

(2.26) formülünden, mendere yaklaşan harmoniklerin tek olduğu, değişken işaretlere sahip olduğu ve genliklerinin sayılarla ters orantılı olduğu açıktır. Bir dikdörtgen darbe dizisinin Fourier serisi gösterimi için pek uygun olmadığına dikkat edin - yaklaşıklık dalgalanmalar ve sıçramalar içerir ve herhangi bir genliğe sahip herhangi bir sayıda harmonik bileşenin toplamı her zaman sürekli bir fonksiyon olacaktır. Bu nedenle, süreksizlikler civarında Fourier serilerinin davranışı özellikle ilgi çekicidir. Şekildeki grafiklerden 2.16, b, toplanan harmoniklerin sayısındaki bir artışla, ortaya çıkan fonksiyonun orijinal sinyalin şekline nasıl daha doğru bir şekilde yaklaştığını görmek kolaydır. u(t) süreksizliğinin noktaları dışında her yerde. Süreksizlik noktalarının yakınında, Fourier serisinin toplamı bir eğim verir ve elde edilen fonksiyonun eğimi, toplanan harmoniklerin sayısı ile artar. Süreksizlik noktasının kendisinde (bunu şu şekilde belirtiyoruz: t = t0) Fourier serisi u(t0) sağ ve sol limitlerin toplamının yarısına yakınsar:

Süreksizliğin bitişiğindeki eğrinin segmentlerinde, serilerin toplamı gözle görülür dalgalanmalar verir ve Şek. 2.16 Bu titreşimlerin ana dalgalanmasının genliğinin, toplanan harmoniklerin sayısındaki artışla azalmadığı görülebilir - sadece yatay olarak küçülür ve süreksizlik noktasına yaklaşır.

saat P-? süreksizlik noktalarında dalgalanma genliği sabit kalır,

ve genişliği sonsuz dar olacaktır. Hem bağıl titreşim genliği (atlama genliğine göre) hem de göreli zayıflama değişmez; sadece son toplanan harmoniklerin frekansı tarafından belirlenen dalgalanma frekansı değişir. Bunun nedeni Fourier serisinin yakınsaklığıdır. Klasik bir örnek vermek gerekirse: Her adımda mesafenin yarısını yürürseniz bir duvara ulaşabilecek misiniz? İlk adım yolun yarısının işaretine, ikincisi - dörtte üçünün işaretine yol açacak ve beşinci adımdan sonra yolun neredeyse %97'sini tamamlamış olacaksınız. Neredeyse hedefe ulaştınız, ancak ne kadar ileri adım atarsanız atın, asla katı bir matematiksel anlamda ulaşamayacaksınız. Sonunda, herhangi bir keyfi olarak küçük mesafeye yaklaşabileceğinizi yalnızca matematiksel olarak kanıtlayabilirsiniz. Bu ispat, 1/2.1/4.1/8.1/16 vb. sayıların toplamının gösterilmesine eşdeğer olacaktır. birlik olma eğilimindedir. 1. tür süreksizliklere sahip sinyaller için tüm Fourier serilerinde bulunan bu fenomene (örneğin, dikdörtgen darbelerin önlerinde olduğu gibi atlamalar) denir. Gibbs etkisi*. Bu durumda, yaklaşık eğrideki ilk (en büyük) genlik artışının değeri atlama seviyesinin yaklaşık %9'udur (bkz. Şekil 2.16, P = 4).

Gibbs etkisi, 1. tür süreksizliklere sahip periyodik darbe sinyallerinin yaklaştırılmasında kaçınılmaz bir hataya yol açar. Etki, işlevlerin monotonluğunun keskin bir ihlali olduğunda ortaya çıkar. Sıçramalarda etki maksimumdur; diğer tüm durumlarda, titreşimlerin genliği monotonluğun ihlalinin doğasına bağlıdır. Bir dizi pratik uygulama için Gibbs etkisi belirli sorunlara neden olur. Örneğin, ses üreten sistemlerde bu fenomene "çınlama" veya "zıplama" denir. Ayrıca, her keskin ünsüz veya diğer ani seslere kısa, hoş olmayan bir ses eşlik edebilir.

Fourier serisi sadece periyodik sinyallere değil, aynı zamanda sonlu süreli sinyallere de uygulanabilir. Aynı zamanda, saat belirtilir

Fourier serisinin oluşturulduğu aralık ve diğer zamanlarda sinyalin sıfıra eşit olduğu kabul edilir. Serinin katsayılarını hesaplamak için bu yaklaşım şu anlama gelir: periyodik devam dikkate alınan aralığın dışında sinyal.

Doğanın (örneğin insan işitmesi) ayrıca sinyallerin harmonik analizi ilkesini kullandığını unutmayın. Bir kişi bir ses duyduğunda sanal bir Fourier dönüşümü gerçekleştirir: kulak bunu sesi farklı perdelerdeki tonlar için ardışık ses yüksekliği değerlerinin bir spektrumu olarak temsil ederek otomatik olarak yapar. İnsan beyni bu bilgiyi algılanan sese dönüştürür.

harmonik sentez. Sinyal teorisinde, sinyallerin harmonik analizi ile birlikte yaygın olarak kullanılırlar. harmonik sentez- spektrumlarının bir dizi harmonik bileşenini toplayarak karmaşık bir şekle sahip verilen titreşimleri elde etmek. Esasen, bir dizi harmonik toplamı ile periyodik bir dikdörtgen darbe dizisinin sentezi yukarıda gerçekleştirildi. Pratikte, bu işlemler Şekil 2'de gösterildiği gibi bir bilgisayarda gerçekleştirilir. 2.16 b.

• Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), Fransız matematikçi ve fizikçiydi.
• Josiah Gibbs (J. Gibbs, 1839-1903) - Amerikalı fizikçi ve matematikçi, kimyasal termodinamik ve istatistiksel fiziğin kurucularından biri.

T periyoduna sahip herhangi bir şeklin periyodik sinyali bir toplam olarak gösterilebilir.

frekansları temel frekansın katları olan farklı genliklere ve başlangıç ​​fazlarına sahip harmonik salınımlar. Bu frekansın harmoniğine temel veya ilk, geri kalanı - daha yüksek harmonikler denir.

Fourier serisinin trigonometrik formu:

,

nerede
- sabit bileşen;

- kosinüs bileşenlerinin genlikleri;

- sinüzoidal bileşenlerin genlikleri.

Çift sinyal (
) sadece kosinüs ve tek (
- sadece sinüzoidal terimler.

Fourier serisinin eşdeğer trigonometrik formu daha uygun:

,

nerede
- sabit bileşen;

- sinyalin n'inci harmoniğinin genliği. Harmonik bileşenlerin genlik kümesine genlik spektrumu denir;

- sinyalin n'inci harmoniğinin ilk aşaması. Harmonik bileşenlerin faz kümesine faz spektrumu denir.

1. Periyodik bir dikdörtgen darbe dizisinin spektrumu. Spektrumun darbe tekrarlama periyoduna ve sürelerine bağımlılığı. Spektrum genişliği. Fourier serisi genişletme pppi

Genlik ile PPTR'nin genliğini ve faz spektrumlarını hesaplayalım.
, süre , dönem ve orijin etrafında simetrik olarak bulunur (sinyal eşit bir fonksiyondur).

Şekil 5.1 - FPFI'nin zamanlama şeması.

Bir periyot aralığındaki sinyal yazılabilir:

Hesaplamalar:

,

PPPI için Fourier serisi şu şekildedir:.

Şekil 5.2 - APPI'nin genlik spektral diyagramı.

Şekil 5.3 - APP'nin faz spektral diyagramı.

PPPR'nin spektrumu çizgi (ayrık) (bir dizi ayrı spektral çizgi ile temsil edilir), harmonik (spektral çizgiler birbirinden aynı uzaklıkta ω 1), azalan (harmonik genlikler artan sayı ile azalır), bir taç yaprağı vardır yapı (her petalın genişliği 2π/ τ), sınırsız (spektral çizgilerin bulunduğu frekans aralığı sonsuzdur);

Tamsayı görev döngüleri için, spektrumdaki görev döngüsünün katları olan frekanslara sahip frekans bileşenleri yoktur (frekansları, genlik spektrum zarfının sıfırları ile çakışmaktadır);

Görev döngüsü arttıkça, tüm harmonik bileşenlerin genlikleri azalır. Ayrıca, tekrarlama periyodu T'deki bir artışla ilişkilendirilirse, o zaman spektrum daha yoğun hale gelir (ω 1 azalır), darbe süresi τ'de bir azalma ile, her bir petalın genişliği büyür;

Sinyal enerjisinin %95'ini içeren frekans aralığı, FPTR spektrumunun genişliği olarak alınır (zarfın ilk iki lobunun genişliğine eşit):

veya
;

Zarfın bir lobunda bulunan tüm harmonikler, 0 veya π'ye eşit olan aynı fazlara sahiptir.

1. Periyodik olmayan sinyallerin spektrumunu analiz etmek için Fourier dönüşümünü kullanma. Tek bir dikdörtgen darbenin spektrumu. İntegral Fourier Dönüşümleri

İletişim sinyalleri her zaman zamanla sınırlıdır ve bu nedenle periyodik değildir. Periyodik olmayan sinyaller arasında, tek darbeler (SP'ler) en çok ilgi çekenlerdir. RP, bir süreye sahip periyodik bir darbe dizisinin (PPS) sınırlayıcı bir durumu olarak düşünülebilir. sonsuz uzun tekrarlama periyodu ile
.

Şekil 6.1 - ÜFE ve OI.

Periyodik olmayan bir sinyal, son derece küçük genliklere sahip sonsuz sayıda sonsuz yakın frekans salınımlarının toplamı ile temsil edilebilir. RI spektrumu süreklidir ve Fourier integralleri tarafından tanıtılır:

-
(1) - doğrudan Fourier dönüşümü. Belirli bir sinyal şekli için spektral fonksiyonu analitik olarak bulmanızı sağlar;

-
(2) - ters Fourier dönüşümü. Sinyalin belirli bir spektral fonksiyonu için şekli analitik olarak bulmanızı sağlar.

İntegral Fourier dönüşümünün karmaşık biçimi(2) periyodik olmayan bir sinyalin iki taraflı bir spektral temsilini (negatif frekanslara sahip) verir
harmonik titreşimlerin toplamı olarak
sonsuz küçük karmaşık genliklerle
frekansları sürekli olarak tüm frekans eksenini dolduran .

Bir sinyalin karmaşık spektral yoğunluğu, aynı anda temel harmoniklerin hem genliği hem de fazı hakkında bilgi taşıyan karmaşık bir frekans fonksiyonudur.

Spektral yoğunluğun modülüne, genliklerin spektral yoğunluğu denir. Periyodik olmayan bir sinyalin sürekli spektrumunun frekans yanıtı olarak düşünülebilir.

Spektral Yoğunluk Argümanı
fazların spektral yoğunluğu denir. Periyodik olmayan bir sinyalin sürekli spektrumunun PFC'si olarak düşünülebilir.

Formül (2)'yi dönüştürelim:

İntegral Fourier dönüşümünün trigonometrik formu periyodik olmayan bir sinyalin (negatif frekansa sahip olmayan) tek taraflı bir spektral gösterimini verir:

.

Radyo sinyallerinin temsili için temel olarak kullanılabilecek çeşitli ortogonal fonksiyon sistemleri arasında, harmonik (sinüzoidal ve kosinüs) fonksiyonlar istisnai bir yer tutar. Radyo mühendisliği için harmonik sinyallerin önemi birkaç nedenden kaynaklanmaktadır.

Özellikle:

1. Harmonik sinyaller, sabit lineer elektrik devreleri tarafından gerçekleştirilen dönüşümlere göre değişmezdir. Böyle bir devre bir harmonik salınım kaynağı tarafından uyarılırsa, devrenin çıkışındaki sinyal, giriş sinyalinden sadece genlik ve başlangıç ​​fazında farklı olarak aynı frekansta harmonik kalır.

2. Harmonik sinyaller üretme tekniği nispeten basittir.

Bir sinyal, farklı frekanslara sahip harmonik salınımların toplamı olarak sunulursa, bu sinyalin spektral ayrışmasının gerçekleştirildiğini söylerler. Bir sinyalin bireysel harmonik bileşenleri onun spektrumunu oluşturur.

2.1. Periyodik Sinyaller ve Fourier Serileri

Zaman içinde tekrar eden bir sürecin matematiksel modeli, aşağıdaki özelliğe sahip periyodik bir sinyaldir:

Burada T, sinyalin periyodudur.

Görev, böyle bir sinyalin spektral ayrışmasını bulmaktır.

Fourier serisi.

Bölüm'de ele alınan zaman aralığını belirleyelim. Birden çok frekansa sahip harmonik fonksiyonların oluşturduğu ortonormal taban;

Bu temelde herhangi bir fonksiyon, periyodiklik koşulunu (2.1) karşılar. Bu nedenle, - bu temelde sinyalin ortogonal bir genişlemesini gerçekleştirmiş olmak, yani katsayıları hesaplamış olmak

spektral ayrışmayı elde ederiz

zaman ekseninin sonsuzluğu boyunca geçerlidir.

(2.4) biçimindeki bir seriye, belirli bir sinyalin Fourier serisi denir. Periyodik bir sinyal oluşturan dizinin temel frekansını tanıtalım. Genleşme katsayılarını formül (2.3) ile hesaplayarak, periyodik sinyal için Fourier serisini yazıyoruz.

katsayılarla

(2.6)

Bu nedenle, genel durumda, periyodik bir sinyal zamandan bağımsız bir sabit bileşen ve dizinin temel frekansının katları olan frekanslara sahip harmonikler olarak adlandırılan sonsuz bir harmonik salınım kümesi içerir.

Her harmonik genliği ve başlangıç ​​fazı ile tanımlanabilir.Bunu yapmak için Fourier serisinin katsayıları şu şekilde yazılmalıdır.

Bu ifadeleri (2.5) yerine koyarak, Fourier serisinin bir başka eşdeğer biçimini elde ederiz:

ki bu bazen daha uygundur.

Periyodik bir sinyalin spektral diyagramı.

Bu nedenle, belirli bir sinyal için Fourier serisinin katsayılarının grafik gösterimini çağırmak gelenekseldir. Genlik ve faz spektral diyagramları vardır (Şekil 2.1).

Burada, harmonik frekansları yatay eksen boyunca belirli bir ölçekte çizilir ve bunların genlikleri ve başlangıç ​​fazları dikey eksen boyunca sunulur.

Pirinç. 2.1. Bazı periyodik sinyallerin spektral diyagramları: a - genlik; b - faz

Periyodik bir sinyalin spektrumundaki belirli harmoniklerin yüzdesini yargılamanıza izin veren genlik diyagramı ile özellikle ilgilenir.

Birkaç özel örneğe bakalım.

Örnek 2.1. t = 0 noktasına göre bile bilinen parametrelere sahip periyodik bir dikdörtgen video darbeleri dizisinin Fourier serisi.

Radyo mühendisliğinde oran, dizinin görev döngüsü olarak adlandırılır. Formüller (2.6) ile buluruz

Fourier serisinin son formülünü formda yazmak uygundur.

Şek. 2.2, iki uç durumda ele alınan dizinin genlik diyagramlarını gösterir.

Birbirini nadiren takip eden bir dizi kısa darbenin zengin bir spektral bileşime sahip olduğuna dikkat etmek önemlidir.

Pirinç. 2.2. Periyodik dikdörtgen video darbeleri dizisinin genlik spektrumu: a - büyük bir görev döngüsü ile; b - düşük görev döngüsü ile

Örnek 2.2. Fourier serisi, bir seviyede sınırlı bir harmonik sinyal tarafından oluşturulan periyodik bir darbe dizisi (varsayılan olduğu varsayılır).

Özel bir parametre sunuyoruz - nereden geldiğine göre belirlenen kesme açısı

Buna göre değer, açısal ölçü ile ifade edilen bir darbenin süresine eşittir:

Dikkate alınan diziyi oluşturan dürtünün analitik gösterimi şu şekildedir:

DC dizisi

İlk harmoniğin tepe faktörü

Benzer şekilde, harmonik bileşenlerin genlikleri de şu şekilde hesaplanır:

Sonuçlar genellikle şöyle yazılır:

sözde Berg fonksiyonları nerede:

Bazı Berg fonksiyonlarının grafikleri Şek. 2.3.

Pirinç. 2.3. Birkaç ilk Berg fonksiyonunun grafikleri

Fourier serisinin karmaşık formu.

Periyodik bir sinyalin spektral ayrışması, hayali üslü üstellerden oluşan bir temel fonksiyonlar sistemi kullanılarak bir şekilde iyonik olarak da gerçekleştirilebilir:

Bu sistemin fonksiyonlarının bir periyot ile periyodik olduğunu ve zaman aralığında ortonormal olduğunu görmek kolaydır, çünkü

Bu durumda keyfi bir periyodik sinyalin Fourier serisi şu şekildedir:

katsayılarla

Aşağıdaki form genellikle kullanılır:

İfade (2.11) karmaşık formda bir Fourier serisidir.

Formül (2.11)'e göre sinyalin spektrumu, negatif frekans yarı eksenindeki bileşenleri içerir ve . Seri (2.11)'de, örneğin pozitif ve negatif frekanslı terimler çiftler halinde birleştirilir.