nerede
gerçek sayılardır ve adı verilen özel bir karakterdir hayali birim . Hayali birim için tanım gereği,
.

(4.1) – cebirsel form karmaşık sayı ve
aranan gerçek kısım karmaşık sayı ve
-hayali kısım .

Sayı
aranan karmaşık eşlenik numaraya
.

İki karmaşık sayı verilsin
,
.

1. toplam
Karışık sayılar ve karmaşık sayı denir

2. fark
Karışık sayılar ve karmaşık sayı denir

3. iş
Karışık sayılar ve karmaşık sayı denir

4. Özel karmaşık bir sayıyı bölmekten karmaşık bir sayıya
karmaşık sayı denir

.

Açıklama 4.1. Yani, karmaşık sayılar üzerindeki işlemler, cebirdeki değişmez ifadeler üzerindeki olağan aritmetik işlem kurallarına göre tanıtılır.

Örnek 4.1. Karmaşık sayılar verilir. Bulmak

.

Çözüm. 1) .

4) Pay ve paydayı, paydanın karmaşık eşleniği ile çarparsak, şunu elde ederiz:

trigonometrik form karmaşık sayı:

nerede
bir karmaşık sayının modülüdür,
karmaşık bir sayının argümanıdır. Köşe belirsiz bir şekilde tanımlanmış, bir terime kadar
:

,
.

- koşul tarafından belirlenen argümanın ana değeri

, (veya
).

gösterge formu karmaşık sayı:

.

Kök
sayının derecesi sahip formül tarafından bulunan farklı değerler

,

nerede
.

Değerlere karşılık gelen noktalar
, bir düzenlinin köşeleridir
yarıçaplı bir daire içine yazılmış bir kare
orijin merkezlidir.

Örnek 4.2. Tüm kök değerleri bul
.

Çözüm. Karmaşık bir sayı düşünün
trigonometrik formda:

,

, nerede
.

O zamanlar
. Bu nedenle, formül (4.2) ile
dört anlamı vardır:

,
.

varsayarsak
, bulduk

,
,

, .

Burada argümanın değerlerini ana değerine dönüştürdük.

Karmaşık düzlemde ayarlar

Karmaşık sayı
bir uçakta tasvir
nokta
koordinatlarla
. Modül
ve argüman
noktanın kutupsal koordinatlarına karşılık gelir
.

eşitsizliği hatırlamakta fayda var.
bir noktada merkezli bir daire tanımlar yarıçap . eşitsizlik
düz çizginin sağında bulunan bir yarım düzlemi tanımlar
ve eşitsizlik
- düz bir çizginin üzerinde bulunan bir yarım düzlem
. Ayrıca eşitsizlik sistemi
ışınlar arasındaki açıyı ayarlar
ve
koordinatların orijininden giden.

Örnek 4.3. Eşitsizliklerle tanımlanan alanı çizin:
.

Çözüm.İlk eşitsizlik, bir noktada ortalanmış bir halkaya karşılık gelir.
ve iki yarıçap 1 ve 2, daire alana dahil değildir (Şekil 4.1).

İkinci eşitsizlik, ışınlar arasındaki açıya karşılık gelir.
(4. koordinat açısının açıortay) ve
(pozitif eksen yönü
). Işınların kendileri bölgeye girmez (Şekil 4.2).

İstenilen alan, elde edilen iki alanın kesişimidir (Şekil 4.3)

4.2. Karmaşık bir değişkenin işlevleri

Tek değerli bir fonksiyon olsun
etki alanında tanımlanmış ve sürekli
, a içinde uzanan parçalı düzgün kapalı veya kapalı olmayan yönlendirilmiş bir eğridir.
. Her zamanki gibi izin ver,
,, nerede
,
- değişkenlerin gerçek fonksiyonları ve .

Bir fonksiyonun integralini hesaplama
karmaşık değişken sıradan eğrisel integrallerin hesaplanmasına indirgenir, yani

.

eğer fonksiyon
basit bağlantılı bir alanda analitiktir
içeren noktalar ve , o zaman Newton-Leibniz formülü tutar:

,

nerede
- fonksiyon için bazı ters türevler
, yani
alanında
.

Karmaşık bir değişkenin fonksiyonlarının integrallerinde, değişken değiştirilebilir ve parçalara göre entegrasyon, gerçek bir değişkenin fonksiyonlarının integrallerini hesaplarken nasıl yapıldığına benzer.

Ayrıca, entegrasyon yolu, noktadan başlayan düz bir çizginin parçasıysa, şunu da unutmayın: veya bir noktada ortalanmış bir dairenin parçası , o zaman formun değişkenini değiştirmek yararlıdır
. İlk durumda
, a - gerçek entegrasyon değişkeni; ikinci durumda
, a gerçek entegrasyon değişkenidir.

Örnek 4.4. Hesaplamak
bir parabol boyunca
noktadan
diyeceğim şey şu ki
(Şekil 4.4).

Çözüm. Formdaki integrali yeniden yazalım O zamanlar , . Formül (4.3) uyguluyoruz: Çünkü , sonra , . Bu yüzden

Örnek 4.5.İntegrali hesapla
, nerede - bir dairenin yayı
,
(Şekil 4.5) .

Çözüm. Sanmak , sonra , , . Alırız:

İşlev
, halkada tek değerli ve analitik
, bu halkada ayrışır Laurent serisi

(4.5) formülünde seri
aranan Ana bölüm Laurent serisi ve serisi
aranan sağ kısım Laurent sırası.

Tanım 4.1. Nokta arananizole tekil nokta fonksiyonlar
fonksiyonun olduğu bu noktanın bir komşuluğu varsa
noktanın kendisi dışında her yerde analitiktir .

İşlev
noktanın yakınında Laurent serisinde genişletilebilir. Bu durumda Laurent serisinde üç farklı durum söz konusu olabilir:

1) negatif derece farkı olan terimler içermez
, yani

(Laurent serisi ana kısmı içermez). Bu durumda aranan çıkarılabilir tekil nokta fonksiyonlar
;

2) Negatif derece farkı olan sonlu sayıda terim içerir
, yani

,

ve
. Bu durumda, nokta aranan düzen direği fonksiyonlar
;

3) negatif güçlere sahip sonsuz sayıda terim içerir:

.

Bu durumda, nokta aranan önemli nokta fonksiyonlar
.

Yalıtılmış bir tekil noktanın doğasını belirlerken, Laurent serisi açılımına bakmak gerekli değildir. Yalıtılmış anahtar noktaların çeşitli özelliklerini kullanabilirsiniz.

1) fonksiyonun çıkarılabilir tekil noktasıdır
fonksiyonun sonlu bir limiti varsa
noktada :

.

2) fonksiyonun bir kutbudur
, eğer

.

3) fonksiyonun temel bir tekil noktasıdır
, eğer
fonksiyonun limiti yoktur, ne sonlu ne de sonsuz.

Tanım 4.2. Nokta aranansıfır
emir (veya çokluklar ) fonksiyonlar
aşağıdaki koşullar karşılanırsa:

…,

.

Açıklama 4.2. Nokta o zaman ve ancak o zaman sıfırdır
emir fonksiyonlar
bu noktanın bazı komşuluklarında eşitlik

,

fonksiyon nerede
noktada analitiktir ve

4) nokta düzenin kutbu (
) fonksiyonlar
bu nokta sıfır ise fonksiyon için
.

5) izin ver - bir fonksiyonun izole tekil noktası
, nerede
- bir noktada analitik işlevler . Ve nokta bırak sipariş sıfır mı fonksiyonlar
ve sipariş sıfır fonksiyonlar
.

saat
nokta düzenin kutbu
fonksiyonlar
.

saat
nokta fonksiyonun çıkarılabilir tekil noktasıdır
.

Örnek 4.6. Yalıtılmış noktaları bulun ve işlev için türlerini belirleyin
.

Çözüm. Fonksiyonlar
ve
- tüm karmaşık düzlemde analitik. Bu nedenle, fonksiyonun tekil noktaları
paydanın sıfırları, yani
. Böyle sonsuz sayıda nokta vardır. Birincisi, mesele bu
, denklemi sağlayan noktaların yanı sıra
. Buradan
ve
.

Bir nokta düşünün
. Bu noktada şunu elde ederiz:

,
,

,
.

sıfırın sırası
.

,
,

,
,

,
,

,
.

.

Yani nokta
ikinci dereceden bir kutuptur (
).

. O zamanlar

,
.

Sıfır payın sırası
.

,
,
.

sıfır paydanın sırası
. Bu nedenle, noktalar
de
birinci dereceden kutuplardır ( basit direkler ).

Teorem 4.1. (Cauchy kalıntı teoremi ). eğer fonksiyon
sınırda analitiktir alanlar
ve sonlu sayıda tekil nokta dışında bölge içindeki her yerde
, sonra

.

İntegralleri hesaplarken, fonksiyonun tüm tekil noktalarını dikkatlice bulmaya değer.
, ardından bir kontur ve özel noktalar çizin ve bundan sonra yalnızca entegrasyon konturu içindeki noktaları seçin. Resim olmadan doğru seçimi yapmak genellikle zordur.

Kesinti hesaplama yöntemi
tekil noktanın türüne bağlıdır. Bu nedenle kalıntıyı hesaplamadan önce tekil noktanın türünü belirlemeniz gerekir.

1) bir noktada fonksiyon kalıntısı Laurent açılımında eksi birinci gücün katsayısına eşittir
noktanın yakınında :

.

Bu ifade tüm izole nokta türleri için geçerlidir ve bu nedenle bu durumda tekil noktanın türünü belirlemek gerekli değildir.

2) çıkarılabilir tekil noktadaki kalıntı sıfıra eşittir.

3) eğer basit bir kutuptur (birinci dereceden kutup) ve fonksiyon
olarak temsil edilebilir
, nerede
,
(bu durumda unutmayın
), daha sonra noktadaki kalıntı eşittir

.

Özellikle, eğer
, sonra
.

4) eğer basit bir kutup, o zaman

5) eğer - kutup
sıra fonksiyonu
, sonra

Örnek 4.7.İntegrali hesapla
.

Çözüm.İntegrandın tekil noktalarını bulun . İşlev iki tekil noktası vardır ve Konturun içine sadece bir nokta düşüyor (Şekil 4.6). Nokta ikinci dereceden bir kutuptur, çünkü fonksiyon için çokluk 2'nin sıfırıdır .

Sonra formül (4.7) ile bu noktada kalıntıyı buluruz:

Teorem 4.1 sayesinde buluruz

Federal Eğitim Ajansı

___________________________________

Petersburg Eyaleti

Elektroteknik Üniversitesi "LETI"

_______________________________________

Karmaşık bir değişkenin fonksiyonları teorisi

Yönergeler

pratik alıştırmalara

yüksek matematikte

Petersburg

Saint-Petersburg Elektroteknik Üniversitesi "LETI" yayınevi

UDC 512.64(07)

TFKP: Sorunları çözme yönergeleri / derleme: V.G. Dyumin, A.M. Kotochigov, N.N. Sosnovsky St. Petersburg: St.

Onaylı

üniversitenin yayın ve yayın kurulu

kılavuz olarak

© Saint Petersburg Elektroteknik Üniversitesi "LETI", 2010

Genel durumda karmaşık değişkenin işlevleri, gerçek düzlemin eşlemelerinden farklıdır.
kendi içinde sadece kayıt biçimi. Önemli ve son derece kullanışlı bir nesne, karmaşık değişkenli bir fonksiyonun sınıfıdır.

tek değişkenli fonksiyonlarla aynı türevi olan. Birkaç değişkenli fonksiyonların kısmi ve yönlü türevleri olabileceği bilinmektedir, ancak kural olarak farklı yönlerdeki türevler çakışmaz ve bir noktada türevden bahsetmek mümkün değildir. Bununla birlikte, karmaşık bir değişkenin fonksiyonları için, farklılaşmaya izin verdikleri koşulları tanımlamak mümkündür. Karmaşık bir değişkenin türevlenebilir fonksiyonlarının özelliklerinin incelenmesi, kılavuzların içeriğidir. Talimatlar, bu tür işlevlerin özelliklerinin çeşitli sorunları çözmek için nasıl kullanılabileceğini göstermeye yöneliktir. Sunulan materyale başarılı bir şekilde hakim olmak, karmaşık sayılarla hesaplama konusunda temel beceriler ve karmaşık bir sayının gerçek ve sanal kısımlarıyla ilgili eşitsizlikler, modülü ve argümanı ile ilgili olarak tanımlanan en basit geometrik nesnelerle aşinalık olmadan imkansızdır. Bunun için gerekli tüm bilgilerin bir özeti kılavuzlarda bulunabilir.

Standart matematiksel analiz aygıtı: limitler, türevler, integraller, seriler kılavuz metinlerinde yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu kavramların bir değişkenin işlevleriyle karşılaştırıldığında kendi özelliklerine sahip olduğu durumlarda, uygun açıklamalar verilir, ancak çoğu durumda gerçek ve hayali parçaları ayırmak ve onlara standart gerçek analiz aygıtını uygulamak yeterlidir.

1. Karmaşık bir değişkenin temel işlevleri

Hangi temel fonksiyonların bu özelliğe sahip olduğunu açıklayarak karmaşık bir değişkenin fonksiyonlarının türevlenebilirlik koşullarını tartışmaya başlamak doğaldır. Açık ilişkiden

Herhangi bir polinomun türevlenebilirliği aşağıdaki gibidir. Ve, kuvvet serileri yakınsaklık çemberi içinde terim terim farklılaştırılabildiğinden,

o zaman herhangi bir fonksiyon, etrafında bir Taylor serisinde genişletilebileceği noktalarda türevlenebilir. Bu yeterli bir koşuldur, ancak yakında netleşeceği gibi aynı zamanda gerekli bir koşuldur. Fonksiyonun grafiğinin davranışını kontrol ederek türev yoluyla tek değişkenli fonksiyonların çalışılmasını desteklemek uygundur. Karmaşık bir değişkenin işlevleri için bu mümkün değildir. Grafiğin noktaları, 4 boyutlu bir uzayda bulunur.

Bununla birlikte, karmaşık düzlemin yeterince basit kümelerinin görüntüleri dikkate alınarak fonksiyonun bazı grafik temsilleri elde edilebilir.
Belirli bir işlevin etkisi altında ortaya çıkan. Örneğin, bu bakış açısından birkaç basit işlevi düşünün.

Doğrusal fonksiyon

Bu basit fonksiyon çok önemlidir, çünkü herhangi bir türevlenebilir fonksiyon yerel olarak lineer bir fonksiyona benzer. Maksimum ayrıntıyla işlevin eylemini düşünün

burada
-- karmaşık sayı modülü ve onun argümanıdır. Böylece lineer fonksiyon esneme, dönme ve kesme işlemlerini gerçekleştirir. Bu nedenle, doğrusal bir eşleme, herhangi bir kümeyi benzer bir kümeye eşler. Özellikle, doğrusal bir haritalamanın etkisi altında, çizgiler çizgilere ve daireler dairelere dönüşür.

İşlev

Bu işlev, karmaşıklık bakımından doğrusal olandan sonra gelir. Herhangi bir doğruyu bir doğruya ve bir daireyi bir daireye almasını beklemek zordur, basit örnekler bunun olmadığını gösterir, ancak yine de bu fonksiyonun tüm doğruların ve dairelerin kümesini kendi içine aldığı gösterilebilir. . Bunu doğrulamak için eşlemenin gerçek (koordinat) tanımına geçmek uygundur.

Kanıt, ters eşlemenin bir tanımını gerektirir

Eğer denklemi düşünün
, sonra düz bir çizginin genel denklemini elde ederiz. Eğer bir
, sonra

Bu nedenle, ne zaman
keyfi bir dairenin denklemi elde edilir.

Dikkat edin, eğer
ve
, sonra daire orijinden geçer. Eğer
ve
, sonra orijinden geçen düz bir çizgi elde edersiniz.

Tersine çevirme eylemi altında, dikkate alınan denklem formda yeniden yazılacaktır.

, (
)

veya . Bunun da daireleri veya düz çizgileri tanımlayan bir denklem olduğu görülebilir. Denklemde katsayıların olduğu gerçeği ve
değiş tokuş, ters çevirme sırasında 0'dan geçen doğruların daireye, 0'dan geçen dairelerin de doğrulara dönüşeceği anlamına gelir.

Güç fonksiyonları

Bu işlevler ile daha önce ele alınan işlevler arasındaki temel fark, bire bir olmamalarıdır (
). fonksiyon olduğunu söyleyebiliriz
karmaşık düzlemi aynı düzlemin iki örneğine eşler. Bu konunun dikkatli bir şekilde ele alınması, Riemann yüzeylerinin hantal aparatlarının kullanılmasını gerektirir ve burada ele alınan soruların kapsamı dışındadır. Karmaşık düzlemin, her biri karmaşık düzlemde bire bir eşlenen sektörlere bölünebileceğini anlamak önemlidir. Bu, işlevin dökümü
şuna benzer, Örneğin, üst yarı düzlem, fonksiyon tarafından karmaşık düzleme bire bir eşlenir.
. Bu tür görüntüler için geometri bozulmalarını tanımlamak, tersine çevirme durumundan daha zordur. Bir alıştırma olarak, görüntülendiğinde üst yarı düzlemin dikdörtgen koordinatlarının ızgarasının nereye gittiğini izleyebilirsiniz.

Dikdörtgen koordinatların ızgarasının, düzlemde eğrisel koordinatlar sistemi oluşturan bir parabol ailesine dönüştüğü görülebilir.
. Yukarıda açıklanan düzlemin bölümü öyledir ki, fonksiyon
her birini görüntüler tüm düzlemde sektörler. İleri ve geri eşlemenin açıklaması şöyle görünür

Yani fonksiyon
sahip çeşitli ters fonksiyonlar,

uçağın farklı sektörlerinde verilen

Bu gibi durumlarda, eşlemenin çok sayfalı olduğu söylenir.

Zhukovski işlevi

Zhukovsky tarafından yaratılan uçak kanadı teorisinin temelini oluşturduğu için işlevin kendi adı vardır (bu tasarımın bir açıklaması kitapta bulunabilir). İşlevin bir dizi ilginç özelliği vardır, bunlardan birine odaklanalım - bu işlevin bire bir hangi kümelerde çalıştığını öğrenin. eşitliği düşünün

, nerede
.

Bu nedenle, Zhukovsky işlevi herhangi bir etki alanında bire birdir. ve onların ürünü birliğe eşit değildir. Bunlar, örneğin, açık birim çemberdir.
ve kapalı birim çemberin tümleyeni
.

Zhukovski fonksiyonunun çember üzerindeki etkisini düşünün, o zaman

Gerçek ve sanal kısımları ayırarak, elipsin parametrik denklemini elde ederiz.

,
.

Eğer bir
, sonra bu elipsler tüm düzlemi doldurur. Benzer şekilde, segmentlerin görüntülerinin hiperbol olduğu doğrulanır.

.

üstel fonksiyon

Fonksiyon, tüm karmaşık düzlemde mutlak yakınsayan bir kuvvet serisinde genişletilebilir, bu nedenle her yerde türevlenebilir. Fonksiyonun bire bir olduğu kümeleri tanımlayalım. bariz eşitlik
düzlemin, her biri fonksiyon tarafından tüm karmaşık düzlem üzerinde bire bir eşlenen bir şerit ailesine bölünebileceğini gösterir. Bu bölümleme, ters fonksiyonun veya daha doğrusu ters fonksiyonların nasıl çalıştığını anlamak için gereklidir. Şeritlerin her birinde, ters harita doğal olarak tanımlanır

Bu durumda ters fonksiyon da çok değerlidir ve ters fonksiyonların sayısı sonsuzdur.

Eşlemenin geometrik açıklaması oldukça basittir: düz çizgiler
kirişlere dönüşmek
, segmentler

daire içine al
.

Karmaşık bir değişkenin işlevleri.
Karmaşık bir değişkenin fonksiyonlarının türevi.

Bu makale, karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi ile ilgili tipik problemleri ele alacağım bir dizi ders açar. Örneklerde başarılı bir şekilde ustalaşmak için karmaşık sayılar hakkında temel bilgilere sahip olmalısınız. Malzemeyi pekiştirmek ve tekrarlamak için sayfayı ziyaret etmeniz yeterlidir. Bulmak için becerilere de ihtiyacınız olacak ikinci dereceden kısmi türevler . İşte bunlar, bu kısmi türevler ... şimdi bile ne sıklıkta ortaya çıktıklarına biraz şaşırdım ...

Analiz etmeye başladığımız konu özellikle zor değil ve karmaşık bir değişkenin işlevlerinde prensipte her şey açık ve erişilebilir. Ana şey, benim tarafımdan ampirik olarak türetilen temel kurala uymaktır. Okumaya devam etmek!

Karmaşık bir değişkenin fonksiyonu kavramı

İlk olarak, bir değişkenin okul işlevi hakkındaki bilgilerimizi tazeleyelim:

Bir değişkenin işlevi bağımsız değişkenin (tanım alanından) her değerinin, fonksiyonun yalnızca bir değerine karşılık geldiği bir kuraldır. Doğal olarak, "x" ve "y" gerçek sayılardır.

Karmaşık durumda, işlevsel bağımlılık benzer şekilde verilir:

Karmaşık bir değişkenin tek değerli işlevi herkesin kuralıdır kapsamlı bağımsız değişkenin değeri (alandan) bir ve sadece bire karşılık gelir. kapsamlı fonksiyon değeri. Teoride, çok değerli ve diğer bazı işlev türleri de dikkate alınır, ancak basitlik için bir tanıma odaklanacağım.

Karmaşık bir değişkenin işlevi nedir?

Temel fark, sayıların karmaşık olmasıdır. ironi yapmıyorum. Bu tür sorulardan genellikle bir şaşkınlığa düşerler, makalenin sonunda harika bir hikaye anlatacağım. derste Aptallar için karmaşık sayılar şeklinde bir karmaşık sayı olarak kabul ettik. O zamandan beri "Z" harfi değişken, o zaman bunu şu şekilde belirteceğiz: "x" ve "y" farklı alabilirken geçerli değerler. Kabaca söylemek gerekirse, karmaşık bir değişkenin işlevi, "olağan" değerleri alan ve değişkenlerine bağlıdır. Bu olgudan mantıksal olarak şu nokta çıkar:

Karmaşık bir değişkenin işlevi şu şekilde yazılabilir:
, nerede ve iki fonksiyondur geçerli değişkenler.

fonksiyon denir gerçek kısım işlevler.
fonksiyon denir hayali kısım işlevler.

Yani, karmaşık bir değişkenin işlevi iki gerçek işleve bağlıdır ve . Sonunda her şeyi açıklığa kavuşturmak için pratik örneklere bakalım:

örnek 1

Çözüm: Bağımsız değişken "z", hatırladığınız gibi, bu nedenle şöyle yazılmıştır:

(1) Orijinal işlevde değiştirildi.

(2) Birinci terim için indirgenmiş çarpma formülü kullanılmıştır. Dönemde parantez açıldı.

(3) Dikkatle kare, şunu unutmadan

(4) Terimlerin yeniden düzenlenmesi: ilk terimlerin yeniden yazılması içinde hayali birimin olmadığı(birinci grup), ardından terimler, nerede (ikinci grup). Terimleri karıştırmanın gerekli olmadığı ve bu adımın atlanabileceği (aslında sözlü olarak gerçekleştirilerek) not edilmelidir.

(5) İkinci grup parantezlerden çıkarılır.

Sonuç olarak, fonksiyonumuzun formda temsil edildiği ortaya çıktı.

Cevap:
fonksiyonun gerçek kısmıdır.
fonksiyonun sanal kısmıdır.

Bu fonksiyonlar nelerdir? Bu kadar popüler bulabileceğiniz iki değişkenli en sıradan fonksiyonlar kısmi türevler . Merhamet olmadan - bulacağız. Ama biraz sonra.

Kısaca, çözülen problemin algoritması şu şekilde yazılabilir: orijinal işlevi yerine koyarız, basitleştirmeler yaparız ve tüm terimleri iki gruba ayırırız - hayali birim olmadan (gerçek kısım) ve hayali birim ile (sanal kısım).

Örnek 2

Bir fonksiyonun gerçek ve sanal kısmını bulun

Bu kendin yap örneğidir. Kendinizi karmaşık uçakta çıplak damalarla savaşa atmadan önce, size konuyla ilgili en önemli tavsiyeyi vereyim:

DİKKAT OLMAK! Elbette her yerde dikkatli olmalısınız, ancak karmaşık sayılarda her zamankinden daha fazla dikkatli olmalısınız! Unutmayın, parantezleri dikkatlice genişletin, hiçbir şey kaybetmeyin. Gözlemlerime göre en sık yapılan hata işaret kaybıdır. Acele etmeyin!

Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Şimdi küp. Kısaltılmış çarpma formülünü kullanarak şunları elde ederiz:
.

Formüller, çözüm sürecini büyük ölçüde hızlandırdıkları için pratikte çok uygundur.

Karmaşık bir değişkenin fonksiyonlarının türevi.

İki haberim var: iyi ve kötü. İyi bir tane ile başlayacağım. Karmaşık değişkenli bir fonksiyon için, türev alma kuralları ve temel fonksiyonların türevleri tablosu geçerlidir. Böylece türev, gerçek değişkenli bir fonksiyon durumunda olduğu gibi tam olarak aynı şekilde alınır.

Kötü haber şu ki, karmaşık bir değişkenin birçok fonksiyonu için hiçbir türev yoktur ve bunu çözmeniz gerekir. türevlenebilir bir işlev veya başka bir işlev. Ve kalbinizin nasıl hissettiğini “anlamak” ek sıkıntılarla ilişkilidir.

Karmaşık bir değişkenin bir fonksiyonunu düşünün. Bu fonksiyonun türevlenebilir olması için gerekli ve yeterlidir:

1) Birinci mertebeden kısmi türevler olması için. Bu gösterimleri hemen unutun, çünkü karmaşık bir değişkenin işlevi teorisinde, gösterimin geleneksel olarak başka bir versiyonu kullanılır: .

2) Sözde yürütmek için Cauchy-Riemann koşulları:

Sadece bu durumda türev var olacak!

Örnek 3

Çözüm birbirini takip eden üç aşamaya ayrışır:

1) Fonksiyonun gerçel ve sanal kısımlarını bulunuz. Bu görev önceki örneklerde analiz edildi, bu yüzden yorum yapmadan yazacağım:

O zamandan beri:

Böylece:

fonksiyonun sanal kısmıdır.

Bir teknik nokta üzerinde daha duracağım: hangi sırayla terimleri gerçek ve hayali kısımlarda yazar mısınız? Evet, temelde önemli değil. Örneğin, gerçek kısım şu şekilde yazılabilir: , ve hayali - bunun gibi: .

2) Cauchy-Riemann koşullarının karşılanıp karşılanmadığını kontrol edelim. İki tane var.

Durumu kontrol ederek başlayalım. Bulduk kısmi türevler :

Böylece koşul yerine getirilmiş olur.

Kuşkusuz, iyi haber, kısmi türevlerin neredeyse her zaman çok basit olmasıdır.

İkinci koşulun yerine getirildiğini kontrol ediyoruz:

Aynı şey ortaya çıktı, ancak zıt işaretlerle, yani koşul da yerine getirildi.

Cauchy-Riemann koşulları sağlandığı için fonksiyon türevlenebilirdir.

3) Fonksiyonun türevini bulun. Türev de çok basittir ve genel kurallara göre bulunur:

Farklılaşmadaki hayali birim sabit olarak kabul edilir.

Cevap: - gerçek kısım hayali kısımdır.
Cauchy-Riemann koşulları sağlanır, .

Türevi bulmanın iki yolu daha vardır, elbette daha az kullanılırlar, ancak bilgiler ikinci dersi anlamak için faydalı olacaktır - Karmaşık bir değişkenin işlevi nasıl bulunur?

Türev aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Bu durumda:

Böylece

Ters problemi çözmek gerekir - ortaya çıkan ifadede . Bunu yapabilmek için terim olarak ve parantezlerden çıkarmak gerekir:

Birçoğunun fark ettiği gibi, ters işlemin gerçekleştirilmesi biraz daha zordur; doğrulama için, ifadeyi ve taslağı almak veya parantezleri sözlü olarak açmak, tam olarak ortaya çıktığından emin olmak her zaman daha iyidir.

Türevi bulmak için ayna formülü:

Bu durumda: , bu yüzden:

Örnek 4

Bir fonksiyonun gerçek ve sanal kısımlarını belirleme . Cauchy-Riemann koşullarının karşılanıp karşılanmadığını kontrol edin. Cauchy-Riemann koşulları sağlanırsa, fonksiyonun türevini bulun.

Dersin sonunda kısa bir çözüm ve yaklaşık bir bitirme örneği.

Cauchy-Riemann koşulları her zaman sağlanıyor mu? Teorik olarak, olduklarından daha sık yerine getirilmezler. Ancak pratik örneklerde, uygulanmadıkları bir durumu hatırlamıyorum =) Bu nedenle, kısmi türevleriniz “yakınsamadıysa”, o zaman çok yüksek bir olasılıkla bir yerde hata yaptığınızı söyleyebiliriz.

Fonksiyonlarımızı karmaşıklaştıralım:

Örnek 5

Bir fonksiyonun gerçek ve sanal kısımlarını belirleme . Cauchy-Riemann koşullarının karşılanıp karşılanmadığını kontrol edin. Hesaplamak

Çözüm:Çözüm algoritması tamamen korunur, ancak sonunda yeni bir heves eklenir: bir noktada türevi bulmak. Küp için gerekli formül zaten türetilmiştir:

Bu fonksiyonun reel ve imajiner kısımlarını tanımlayalım:

Dikkat ve tekrar dikkat!

O zamandan beri:


Böylece:
fonksiyonun gerçek kısmıdır;
fonksiyonun sanal kısmıdır.

İkinci koşulun kontrol edilmesi:

Aynı şey ortaya çıktı, ancak zıt işaretlerle, yani koşul da yerine getirildi.

Cauchy-Riemann koşulları sağlanır, bu nedenle fonksiyon türevlenebilir:

Gerekli noktadaki türevin değerini hesaplayın:

Cevap:, , Cauchy-Riemann koşulları sağlanır,

Küplü işlevler yaygındır, bu nedenle konsolide etmek için bir örnek:

Örnek 6

Bir fonksiyonun gerçek ve sanal kısımlarını belirleme . Cauchy-Riemann koşullarının karşılanıp karşılanmadığını kontrol edin. Hesaplamak .

Dersin sonunda karar ve örnek bitirme.

Karmaşık analiz teorisinde, karmaşık bir argümanın diğer işlevleri de tanımlanır: üstel, sinüs, kosinüs vb. Bu işlevlerin olağandışı ve hatta tuhaf özellikleri vardır - ve bu gerçekten ilginçtir! Size gerçekten söylemek istiyorum, ama burada, öyle oldu, bir referans kitabı veya ders kitabı değil, bir çözüm, bu yüzden aynı görevi bazı ortak işlevlerle ele alacağım.

İlk sözde hakkında Euler formülleri:

Herkes için geçerli sayılar için aşağıdaki formüller geçerlidir:

Referans olarak not defterinize de kopyalayabilirsiniz.

Açıkçası, yalnızca bir formül vardır, ancak genellikle kolaylık sağlamak için göstergede eksi olan özel bir durum da yazarlar. Parametrenin tek bir harf olması gerekmez, karmaşık bir ifade, bir fonksiyon olabilir, sadece önemli olan sadece geçerli değerler. Aslında, şimdi göreceğiz:

Örnek 7

Türev bulun.

Çözüm: Partinin genel çizgisi sarsılmaz kalır - işlevin gerçek ve hayali kısımlarını ayırmak gerekir. Ayrıntılı bir çözüm sunacağım ve aşağıdaki her adım hakkında yorum yapacağım:

O zamandan beri:

(1) "z" yerine geçin.

(2) İkame işleminden sonra gerçek ve hayali kısımları ayırmak gerekir. üslü ilk katılımcılar. Bunu yapmak için parantezleri açın.

(3) Hayali birimi parantezlerden çıkararak göstergenin hayali kısmını gruplandırıyoruz.

(4) Okul eylemini güçlerle kullanın.

(5) Çarpan için Euler formülünü kullanırız, while .

(6) Sonuç olarak parantezleri açıyoruz:

fonksiyonun gerçek kısmıdır;
fonksiyonun sanal kısmıdır.

Diğer eylemler standarttır, hadi Cauchy-Riemann koşullarının karşılanıp karşılanmadığını kontrol edelim:

Örnek 9

Bir fonksiyonun gerçek ve sanal kısımlarını belirleme . Cauchy-Riemann koşullarının karşılanıp karşılanmadığını kontrol edin. Öyle olsun, türevi bulamayacağız.

Çözüm:Çözüm algoritması önceki iki örneğe çok benziyor ama çok önemli noktalar var o yüzden ilk aşamada adım adım tekrar yorum yapacağım:

O zamandan beri:

1) "z" yerine yerine koyarız.

(2) İlk önce gerçek ve hayali kısımları seçin sinüsün içinde. Bunun için parantezleri açın.

(3) formülü kullanırız, .

(4) Kullanım hiperbolik kosinüs paritesi: ve hiperbolik sinüs tuhaflığı: . Hiperbolikler, bu dünyaya ait olmasalar da, birçok yönden benzer trigonometrik fonksiyonlara benzerler.

Sonunda:
fonksiyonun gerçek kısmıdır;
fonksiyonun sanal kısmıdır.

Dikkat! Eksi işareti hayali kısmı ifade eder ve hiçbir durumda onu kaybetmemeliyiz! Görsel bir örnek için, yukarıda elde edilen sonuç aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:

Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edelim:

Cauchy-Riemann koşulları sağlanır.

Cevap:, , Cauchy-Riemann koşulları sağlanır.

Bayanlar ve baylar, kosinüs ile kendi başımıza anlıyoruz:

Örnek 10

Fonksiyonun reel ve imajiner kısımlarını belirleyiniz. Cauchy-Riemann koşullarının karşılanıp karşılanmadığını kontrol edin.

Kasıtlı olarak daha karmaşık örnekleri seçtim, çünkü herkes soyulmuş fıstık gibi bir şeyi halledebilir. Aynı zamanda, dikkatinizi eğitin! Dersin sonunda fındıkkıran.

Sonuç olarak, karmaşık argüman paydadayken başka bir ilginç örneği ele alacağım. Pratikte bir iki kez karşılaştık, basit bir şeyi analiz edelim. Ah yaşlanıyorum...

Örnek 11

Fonksiyonun reel ve imajiner kısımlarını belirleyiniz. Cauchy-Riemann koşullarının karşılanıp karşılanmadığını kontrol edin.

Çözüm: Yine fonksiyonun gerçel ve sanal kısımlarını ayırmak gerekir.
eğer , o zaman

Soru ortaya çıkıyor, "Z" paydada olduğunda ne yapmalı?

Her şey basit - standart yardımcı olacaktır eşlenik ifade ile pay ve paydayı çarpma yöntemi, ders örneklerinde zaten kullanılmış Aptallar için karmaşık sayılar . Okul formülünü hatırlayalım. Paydada zaten sahip olduğumuz için eşlenik ifade olacaktır. Bu nedenle, pay ve paydayı şu şekilde çarpmanız gerekir: