Limitler tüm matematik öğrencilerine çok fazla sorun çıkarır. Sınırı çözmek için bazen çok sayıda hile kullanmanız ve çeşitli çözümler arasından belirli bir örnek için tam olarak uygun olanı seçmeniz gerekir.

Bu yazıda, yeteneklerinizin sınırlarını anlamanıza veya kontrolün sınırlarını anlamanıza yardımcı olmayacağız, ancak şu soruyu cevaplamaya çalışacağız: yüksek matematikte sınırlar nasıl anlaşılır? Anlamak deneyimle birlikte gelir, bu yüzden aynı zamanda açıklamalarla limitleri çözmenin bazı ayrıntılı örneklerini vereceğiz.

Matematikte limit kavramı

İlk soru şudur: Neyin sınırı ve sınırı nedir? Sayısal dizilerin ve fonksiyonların limitlerinden bahsedebiliriz. Bir fonksiyonun limiti kavramıyla ilgileniyoruz, çünkü öğrencilerin en sık karşılaştığı şey onlarla. Ama önce, limitin en genel tanımı:

Diyelim ki bir değişken var. Bu değer değişim sürecinde süresiz olarak belirli bir sayıya yaklaşırsa a , sonra a bu değerin sınırıdır.

Bir aralıkta tanımlanan bir fonksiyon için f(x)=y sınır sayıdır A , fonksiyonun ne zaman eğilimli olduğu X Belli bir noktaya yönelmek a . Nokta a fonksiyonun tanımlandığı aralığa aittir.

Kulağa hantal geliyor, ancak çok basit bir şekilde yazılmış:

Lim- İngilizceden sınır- sınır.

Limitin tanımı için de geometrik bir açıklama var, ancak konunun teorik yönünden çok pratik yönü ile ilgilendiğimiz için burada teoriye girmeyeceğiz. Bunu söylediğimizde X bir değere eğilimlidir, bu, değişkenin bir sayının değerini almadığı, ancak ona sonsuz derecede yaklaştığı anlamına gelir.

Somut bir örnek alalım. Zorluk sınırı bulmaktır.

Bu örneği çözmek için değeri yerine koyuyoruz x=3 bir işleve dönüştürülür. Alırız:

Bu arada, ilgileniyorsanız, bu konuyla ilgili ayrı bir makale okuyun.

örneklerde X herhangi bir değere yönelebilir. Herhangi bir sayı veya sonsuzluk olabilir. İşte bir örnek X sonsuzluğa eğilimlidir:

Paydadaki sayı ne kadar büyük olursa, değerin fonksiyon tarafından o kadar küçük alınacağı sezgisel olarak açıktır. Yani sınırsız büyüme ile X anlam 1/x azalacak ve sıfıra yaklaşacaktır.

Gördüğünüz gibi, limiti çözmek için, sadece çaba sarf edilecek değeri fonksiyona koymanız yeterlidir. X . Ancak, bu en basit durumdur. Çoğu zaman sınırı bulmak o kadar açık değildir. Sınırlar içinde tür belirsizlikleri var 0/0 veya sonsuzluk/sonsuz . Bu gibi durumlarda ne yapılmalı? hileler kullanın!

içindeki belirsizlikler

Sonsuzluk/sonsuzluk formunun belirsizliği

Bir sınır olsun:

Sonsuzluğu fonksiyona koymaya çalışırsak, hem payda hem de paydada sonsuzu elde ederiz. Genel olarak, bu tür belirsizlikleri çözmede belirli bir sanat unsuru olduğunu söylemekte fayda var: Belirsizliği ortadan kaldıracak şekilde işlevi nasıl dönüştürebileceğinizi fark etmeniz gerekiyor. Bizim durumumuzda, payı ve paydayı şuna böleriz: X kıdemli derecede. Ne olacak?

Yukarıda ele alınan örnekten, paydasında x içeren terimlerin sıfıra eğilimli olacağını biliyoruz. O halde limitin çözümü şudur:

Tip belirsizliklerini ortaya çıkarmak için sonsuzluk/sonsuz payı ve paydayı böl X en yüksek derecede.

Bu arada! Okurlarımız için şimdi %10 indirim var.

Başka bir belirsizlik türü: 0/0

Her zaman olduğu gibi, değer fonksiyonuna ikame x=-1 verir 0 pay ve paydada. Biraz daha yakından bakın ve payda ikinci dereceden bir denklemimiz olduğunu fark edeceksiniz. Kökleri bulalım ve yazalım:

Küçültelim ve şunu elde edelim:

Yani, tür belirsizliği ile karşılaşırsanız 0/0 - pay ve paydayı çarpanlara ayırın.

Örnekleri çözmenizi kolaylaştırmak için, bazı fonksiyonların sınırlarını içeren bir tablo aşağıda verilmiştir:

L'Hopital kuralı

Her iki tür belirsizliği de ortadan kaldırmanın bir başka güçlü yolu. Yöntemin özü nedir?

Limitte belirsizlik varsa, belirsizlik ortadan kalkana kadar pay ve paydanın türevini alırız.

Görsel olarak, L'Hopital kuralı şöyle görünür:

Önemli nokta : Pay ve paydanın yerine pay ve paydanın türevlerinin olduğu limit bulunmalıdır.

Ve şimdi gerçek bir örnek:

Tipik bir belirsizlik var 0/0 . Pay ve paydanın türevlerini alın:

Voila, belirsizlik hızlı ve zarif bir şekilde ortadan kaldırılır.

Bu bilgiyi pratikte iyi bir şekilde kullanabileceğinizi ve "yüksek matematikte limitler nasıl çözülür" sorusunun cevabını bulabileceğinizi umuyoruz. Bir dizinin limitini veya bir fonksiyonun bir noktadaki limitini hesaplamanız gerekiyorsa ve bu iş için "kesinlikle" kelimesinden zaman yoksa, hızlı ve ayrıntılı bir çözüm için bakınız.

İyi çalışmalarınızı bilgi tabanına gönderin basittir. Aşağıdaki formu kullanın

Bilgi tabanını çalışmalarında ve çalışmalarında kullanan öğrenciler, yüksek lisans öğrencileri, genç bilim adamları size çok minnettar olacaktır.

Benzer Belgeler

Stolz teoreminin ispatının tanımı ve aşamaları, uygulamalı matematikte teorik ve pratik önemi, uygulaması. Bir dizinin limiti kavramı, çözümün detaylı bir analizi ile bir dizinin limitlerini hesaplamanın tipik örnekleri.

dönem ödevi, 28/02/2010 eklendi


Dizinin üyeleri ve sayısal eksendeki gösterimleri. Dizi türleri (sınırlı, artan, azalan, yakınsak, uzaklaşan), pratik örnekleri. Sayısal bir dizinin limitinin tanımı ve geometrik anlamı.

sunum, 21.09.2013 eklendi


Matematiksel dizilerin hesaplanması ve dizinin limiti olarak adlandırılan bir sayının tanımı. Bir fonksiyonun limitini hesaplama yöntemleri. Sonsuz küçük bir fonksiyon ile sınırlı bir fonksiyonun çarpımı. Bir dizinin limitini belirleme.

kontrol çalışması, 17/12/2010 eklendi


Bir noktada bir fonksiyonun limitini belirleme. Tek taraflı limitler kavramı. Bir fonksiyonun limitinin geometrik anlamı, x sonsuzluğa meyleder. Limitlerle ilgili temel teoremler. Limitlerin hesaplanması ve belirsizliklerin açıklanması. İlk harika sınır.

sunum, 14.11.2014 eklendi


"Dizi" kategorisinin oluşum kavramı ve tarihi, modern matematikteki önemi. Dizinin özellikleri ve analitik ataması, diğer bilgi alanlarının gelişimindeki rolü. Dizilerin limitlerini hesaplama problemlerini çözme.

sunum, eklendi 03/17/2017


Sayısal dizinin genel konsepti. Bir fonksiyonun bir noktada limiti. Sonsuz büyük ve küçük bir fonksiyon. Bir fonksiyon, limiti ve sonsuz küçük bir fonksiyon arasındaki ilişki. Sınırların varlığının işaretleri. Temel limit teoremleri: kısa bir açıklama.

sunum, 25.01.2013 eklendi


Sayısal dizinin sınırı. Sonsuz küçük miktarların karşılaştırılması. İkinci dikkat çekici sınır. Sayısal bir dizinin yakınsaklığı üzerine Cauchy teoremi. Newton'un binomunu kullanma. Faktörlerin daha basit eşdeğerlerle değiştirilmesi.

test, 08/11/2009 eklendi


Artan sayısal dizi kavramı. Newton'un binom formülü. Pozitif terimlerin sayısı. Bir sayı dizisinin sınırlılığını belirleme. Monoton ve sınırlı dizilerin limiti. üstel artış veya azalma.

limit teorisi- birinin ustalaşabileceği matematiksel analiz bölümlerinden biri, diğerleri sınırları zor hesaplar. Düzinelerce hile olduğu için limit bulma sorunu oldukça geneldir. limit çözümleriçeşitli tipler. Aynı sınırlar hem L'Hopital kuralıyla hem de onsuz bulunabilir. Bir dizi sonsuz küçük fonksiyondaki program, istenen sonucu hızlı bir şekilde elde etmenizi sağlar. Herhangi bir karmaşıklığın bir fonksiyonunun sınırını bulmanızı sağlayan bir dizi püf noktası vardır. Bu yazıda, uygulamada en sık karşılaşılan ana limit türlerini anlamaya çalışacağız. Burada limitin teorisini ve tanımını vermeyeceğiz, internette bunun çiğnendiği birçok kaynak var. O yüzden pratik hesaplar yapalım, işte burada başlıyorsunuz "Bilmiyorum! Nasıl yapacağımı bilmiyorum! Bize öğretilmedi!"

İkame yöntemi ile limitlerin hesaplanması

örnek 1 Bir fonksiyonun limitini bulun
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Çözüm: Teoride, bu tür örnekler olağan ikame ile hesaplanır.

Sınır 18/11'dir.
Bu tür sınırlar içinde karmaşık ve akıllıca bir şey yoktur - değeri değiştirdiler, hesapladılar, yanıt olarak sınırı yazdılar. Bununla birlikte, bu tür sınırlar temelinde, herkese, her şeyden önce, işleve bir değer koymanız gerektiği öğretilir. Ayrıca, sınırlar karmaşık hale gelir, sonsuzluk, belirsizlik ve benzerleri kavramını ortaya çıkarır.

Sonsuza bölünen sonsuz tipinin belirsizliği ile limit. Belirsizlik açıklama yöntemleri

Örnek 2 Bir fonksiyonun limitini bulun
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=sonsuz).
Çözüm: Bir polinomla bölünen polinom formunun bir limiti verilir ve değişken sonsuza gitme eğilimindedir.

Değişkenin sınırlarını bulması gereken değerin basit bir ikamesi yardımcı olmaz, sonsuzluğun belirsizliğini sonsuza böleriz.
Pot limit teorisi Limiti hesaplama algoritması, pay veya paydadaki en büyük "x" derecesini bulmaktır. Daha sonra pay ve payda sadeleştirilir ve fonksiyonun limiti bulunur.

Değişken sonsuza gittiğinde değer sıfıra meylettiği için ihmal edilirler veya son ifadede sıfır olarak yazılırlar.

Pratikten hemen, hesaplamalarda bir ipucu olan iki sonuç elde edebilirsiniz. Değişken sonsuza gitme eğilimindeyse ve payın derecesi paydanın derecesinden büyükse, limit sonsuza eşittir. Aksi takdirde, paydadaki polinom paydakinden daha yüksek mertebeden ise limit sıfırdır.
Limit formülü şu şekilde yazılabilir:

Kesirsiz sıradan bir kütük biçiminde bir fonksiyonumuz varsa, limiti sonsuza eşittir.

Bir sonraki limit türü, fonksiyonların sıfıra yakın davranışı ile ilgilidir.

Örnek 3 Bir fonksiyonun limitini bulun
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Çözüm: Burada polinomun baştaki çarpanını çıkarmaya gerek yoktur. Tam tersi pay ve paydanın en küçük kuvvetini bulup limitini hesaplamak gerekir.

x^2 değeri; Değişken sıfıra yaklaştığında x sıfıra yönelir Bu nedenle, ihmal edilirler, dolayısıyla


sınırın 2,5 olduğunu.

Şimdi biliyorsun bir fonksiyonun limiti nasıl bulunur değişken sonsuz veya 0 olma eğilimindeyse bir polinomla bölünen bir tür polinom. Ancak bu, örneklerin yalnızca küçük ve kolay bir kısmıdır. Aşağıdaki materyalden öğreneceksiniz Bir fonksiyonun limitlerinin belirsizliği nasıl ortaya çıkar.

0/0 tipi belirsizlik içeren limit ve hesaplama yöntemleri

Hemen herkes, sıfıra bölemeyeceğiniz kuralı hatırlar. Ancak limitler teorisi bu bağlamda sonsuz küçük fonksiyonlar anlamına gelir.
Anlatmak için birkaç örneğe bakalım.

Örnek 4 Bir fonksiyonun limitini bulun
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Çözüm: x = -1 değişkeninin değerini paydada yerine koyduğumuzda sıfır alırız, payda da aynısını alırız. Böylece sahibiz 0/0 formunun belirsizliği.
Böyle bir belirsizlikle başa çıkmak kolaydır: polinomu çarpanlara ayırmanız veya daha doğrusu işlevi sıfıra çeviren bir çarpan seçmeniz gerekir.

Ayrıştırmadan sonra fonksiyonun limiti şu şekilde yazılabilir:

Bir fonksiyonun limitini hesaplamanın bütün tekniği budur. Bir polinomun bir polinomla bölünmesinin bir limiti varsa aynısını yaparız.

Örnek 5 Bir fonksiyonun limitini bulun
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Çözüm: Doğrudan ikame gösterileri
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
Bizim neyimiz var tip belirsizliği 0/0.
Polinomları tekilliği tanıtan faktöre bölün


2. dereceden polinomların, yani "kuadratik denklemler" türünün diskriminant üzerinden çözülmesi gerektiğini öğreten öğretmenler var. Ancak gerçek uygulama bunun daha uzun ve daha karmaşık olduğunu gösteriyor, bu nedenle belirtilen algoritmaya göre sınırlar içindeki özelliklerden kurtulun. Böylece fonksiyonu basit çarpanlar şeklinde yazıp limitte hesaplıyoruz.

Gördüğünüz gibi, bu tür sınırların hesaplanmasında karmaşık bir şey yoktur. Limitleri incelerken polinomları nasıl böleceğinizi biliyorsunuz, en azından programa göre zaten geçmelisiniz.
için görevler arasında tip belirsizliği 0/0 kısaltılmış çarpma formüllerini uygulamanın gerekli olduğu durumlar vardır. Ancak bunları bilmiyorsanız, polinomu tek terimliye bölerek istediğiniz formülü elde edebilirsiniz.

Örnek 6 Bir fonksiyonun limitini bulun
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Çözüm: 0/0 türünde bir belirsizliğimiz var. Payda, kısaltılmış çarpma formülünü kullanırız.

ve istenen limiti hesaplayın


Eşlenik ile çarpma yoluyla belirsizlik açıklama yöntemi

Yöntem, irrasyonel fonksiyonların belirsizlik oluşturduğu sınırlara uygulanır. Hesap noktasında pay veya payda sıfıra döner ve sınırın nasıl bulunacağı bilinmez.

Örnek 7 Bir fonksiyonun limitini bulun
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Çözüm: Değişkeni limit formülünde temsil edelim

Yerine koyarken, 0/0 tipi bir belirsizlik elde ederiz.
Limitler teorisine göre, bu tekilliği atlama planı, irrasyonel bir ifadenin eşleniği ile çarpılmasından ibarettir. İfadeyi değişmeden tutmak için payda aynı değere bölünmelidir.

Kareler farkı kuralı ile payı sadeleştirip fonksiyonun limitini hesaplıyoruz.

Limitte tekillik oluşturan terimleri sadeleştirip ikame işlemini gerçekleştiriyoruz.


Örnek 8 Bir fonksiyonun limitini bulun
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Çözüm: Doğrudan ikame, limitin 0/0 biçiminde tekilliğe sahip olduğunu gösterir.

Genişletmek, çarpmak ve eşlenik ile paya bölmek için

Karelerin farkını yazın

Tekillik getiren terimleri sadeleştirir ve fonksiyonun limitini buluruz.



Örnek 9 Bir fonksiyonun limitini bulun
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Çözüm: Formüldeki ikiliyi değiştirin

Almak belirsizlik 0/0.
Payda, eşlenik ifade ile çarpılmalı ve payda, tekilliği dikkate alarak ikinci dereceden denklemi çözmeli veya çarpanlara ayırmalıdır. 2'nin bir kök olduğu bilindiğinden, ikinci kök Vieta teoremi tarafından bulunur.

Böylece, payı şeklinde yazıyoruz.

ve limit koy

Kareler farkını azaltarak pay ve paydadaki özelliklerden kurtuluruz.

Yukarıdaki şekilde bir çok örnekte tekillikten kurtulabilirsiniz ve uygulama yapılırken verilen kök farkının sıfıra döndüğü her yerde uygulama fark edilmelidir. Diğer limit türleri, üstel fonksiyonlar, sonsuz küçük fonksiyonlar, logaritmalar, tekil limitler ve diğer tekniklerle ilgilidir. Ancak bununla ilgili aşağıdaki makalelerde limitler hakkında bilgi edinebilirsiniz.