Metódy výpočtu determinantov n-tého rádu.

Nech sa dáva objednaná súprava n prvkov. Akékoľvek miesto n prvky v určitom poradí sa nazývajú permutácia z týchto prvkov.

Keďže každý prvok je určený svojim počtom, povieme, že daný n prirodzené čísla.

Počet rôznych permutácií od nčísla sa rovná n!

Ak v nejakej permutácii nčísla číslo i stojí pred j, ale i > j, teda väčšie číslo je pred menším, potom hovoria, že pár i, j je inverzia.

Príklad 1 Určte počet inverzií v permutácii (1, 5, 4, 3, 2)

Riešenie.

Čísla 5 a 4, 5 a 3, 5 a 2, 4 a 3, 4 a 2, 3 a 2 tvoria inverzie. Celkový počet inverzií v tejto permutácii je 6.

Permutácia je tzv dokonca, ak je celkový počet inverzií v ňom párny, inak sa nazýva zvláštny. Vo vyššie uvedenom príklade je uvedená párna permutácia.

Dajme nejakú permutáciu..., i, …, j, … (*) . Transformácia, v ktorej čísla i a j zmeniť miesta a zvyšok zostane na svojom mieste, je tzv transpozície. Po transpozícii čísel i a j v permutácii (*) bude zmena... j, …, i, …, kde sú všetky prvky okrem i a j, zostal na mieste.

Z akejkoľvek permutácie nčísla, pomocou niekoľkých transpozícií môžete prejsť na akúkoľvek inú permutáciu týchto čísel.

Každá transpozícia mení paritu permutácie.

O n ≥ 2 počet párnych a nepárnych permutácií nčísla sú rovnaké a rovnaké.

Nechaj M je objednaná sada n prvkov. Akákoľvek bijektívna transformácia množiny M volal substitúcianstupeň.

Náhrady sú napísané takto: https://pandia.ru/text/78/456/images/image005_119.gif" width="27" height="19"> a všetko ik rôzne.

Substitúcia volal dokonca, ak oba jeho reťazce (permutácie) majú rovnakú paritu, t. j. buď sú oba párne, alebo sú oba nepárne. Inak substitúcia volal zvláštny.

O n ≥ 2 počet párnych a nepárnych permutácií nth stupňa rovnaké a rovnaké.

Determinant štvorcovej matice A druhého rádu A= je číslo rovné = a11a22–a12a21.

Determinant matice sa tiež nazýva determinant. Pre determinant matice A sa používa tento zápis: det A, ΔA.

determinant námestie matice A= tretieho rádu zavolajte na číslo rovné │A│= a11a22a33+a12a23a31+a21a13a32-a13a22a31-a21a12a33-a32a23a11

Každý člen algebraického súčtu na pravej strane posledného vzorca je súčinom prvkov matice, z každého stĺpca a z každého riadku. Na určenie znamienka súčinu je užitočné poznať pravidlo (nazýva sa trojuholníkové pravidlo), schematicky znázornené na obr.

«+» «-»

https://pandia.ru/text/78/456/images/image012_64.gif" width="73" height="75 src=">.

Riešenie.

Nech A je matica n-tého rádu s komplexnými prvkami:

A=https://pandia.ru/text/78/456/images/image015_54.gif" width="112" height="27 src="> (1) ..gif" width="111" height="51"> (2) .

Determinant n-tého rádu alebo determinant štvorcovej matice A=(aij) pre n>1 je algebraický súčet všetkých možných súčinov tvaru (1) a produkt (1) sa berie so znamienkom „+“, ak ide o zodpovedajúcu substitúciu (2) párne a so znamienkom "-", ak je nahradenie nepárne.

Maloletý Mij prvok aij determinant je determinant získaný z originálu vymazaním i-tý riadok a j- stĺpec.

Algebraické sčítanie ALEij prvok aij determinant sa nazýva číslo ALEij=(–1) i+ jMij, kde Mij – prvok vedľajší aij.

Vlastnosti kvalifikátora

1. Pri nahradení všetkých riadkov zodpovedajúcimi stĺpcami sa determinant nemení (determinant sa pri transponovaní nemení).

2. Pri zámene dvoch riadkov (stĺpcov) determinant zmení znamienko.

3. Determinant s dvoma rovnakými (proporcionálnymi) riadkami (stĺpcami) sa rovná nule.

4. Zo znamienka determinantu možno vyňať súčiniteľ spoločný pre všetky prvky riadku (stĺpca).

5. Determinant sa nezmení, ak sa k prvkom určitého riadka (stĺpca) pripočítajú zodpovedajúce prvky iného riadka (stĺpca) vynásobené tým istým nenulovým číslom.

6. Ak sa všetky prvky niektorého riadku (stĺpca) determinantu rovnajú nule, potom sa rovná nule.

7. Determinant sa rovná súčtu súčinov prvkov ľubovoľného riadka (stĺpca) a ich algebraických doplnkov (vlastnosť rozšírenia determinantu v riadku (stĺpci)).

Zvážte niektoré spôsoby výpočtu determinantov objednávky n .

1. Ak aspoň jeden riadok (alebo stĺpec) v determinante n-tého rádu pozostáva z núl, potom sa determinant rovná nule.

2. Nech nejaký reťazec obsahuje nenulové prvky v determinante n-tého rádu. Výpočet determinantu n-tého rádu možno v tomto prípade zredukovať na výpočet determinantu rádu n-1. Pomocou vlastností determinantu je skutočne možné urobiť všetky prvky ľubovoľného riadku, okrem jedného, ​​nulové, a potom rozšíriť determinant pozdĺž zadaného riadku. Preusporiadajme napríklad riadky a stĺpce determinantu tak, aby na mieste a11 bol nenulový prvok.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image018_51.gif" width="32 height=37" height="37">.gif" width="307" height="101 src=">

Upozorňujeme, že preusporiadanie riadkov (alebo stĺpcov) je voliteľné. Nuly môžete získať v ľubovoľnom riadku (alebo stĺpci) determinantu.

Neexistuje žiadna všeobecná metóda na výpočet determinantov rádu n, okrem výpočtu determinantu daného rádu priamo podľa definície. Na determinant jedného alebo druhého špeciálneho typu sa používajú rôzne metódy výpočtu, ktoré vedú k jednoduchším determinantom.

3. Privedieme to do trojuholníkového tvaru. Pomocou vlastností determinantu ho privedieme do takzvaného trojuholníkového tvaru, kedy sú všetky prvky na jednej strane hlavnej uhlopriečky rovné nule. Výsledný trojuholníkový determinant sa rovná súčinu prvkov na hlavnej diagonále. Ak je vhodnejšie získať nuly na jednej strane sekundárnej uhlopriečky, potom sa bude rovnať súčinu prvkov sekundárnej uhlopriečky, ktorý sa vezme so znamienkom https://pandia.ru/text/78/456/ images/image022_48.gif" width="49" height="37">.

Príklad 3 Vypočítajte determinant podľa rozšírenia riadkov

https://pandia.ru/text/78/456/images/image024_44.gif" width="612" height="72">

Príklad 4 Vypočítajte determinant štvrtého rádu

https://pandia.ru/text/78/456/images/image026_45.gif" width="373" height="96 src=">.

2. spôsob(výpočet determinantu jeho rozšírením pozdĺž čiary):

Vypočítajme tento determinant pomocou rozšírenia riadkov, najprv ho transformujme tak, že v niektorom z jeho riadkov sa všetky prvky okrem jedného otáčajú na nulu. Ak to chcete urobiť, pridajte prvý riadok determinantu k tretiemu. Potom tretí stĺpec vynásobíme (-5) a pridáme do štvrtého stĺpca. Transformovaný determinant rozširujeme pozdĺž tretieho radu. Minol tretieho rádu je vzhľadom na hlavnú uhlopriečku zredukovaný do trojuholníkového tvaru.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image028_44.gif" width="202" height="121 src=">

Riešenie.

Od prvého riadka odčítame druhý, od druhého tretí atď. a nakoniec posledný riadok od predposledného (posledný riadok zostáva nezmenený).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image030_39.gif" width="445" height="126 src=">

Prvý determinant v súčte je trojuholníkový vzhľadom na hlavnú uhlopriečku, takže sa rovná súčinu prvkov uhlopriečky, teda (n–1)n. Druhý determinant transformujeme do súčtu tak, že posledný riadok pridáme ku všetkým predchádzajúcim riadkom determinantu. Determinant získaný touto transformáciou bude trojuholníkový vzhľadom na hlavnú uhlopriečku, takže sa bude rovnať súčinu prvkov uhlopriečky, t. j. nn-1:

=(n–1)n+ (n–1)n + nn-1.

4. Výpočet determinantu pomocou Laplaceovej vety. Ak v determinante vyberieme k riadkov (alebo stĺpcov) (1£k£n-1), potom sa determinant rovná súčtu súčinov všetkých neplnoletých osôb k-tého rádu nachádzajúcich sa vo vybraných k riadkoch (alebo stĺpcoch) a ich algebraické doplnky.

Príklad 6 Vypočítajte determinant

https://pandia.ru/text/78/456/images/image033_36.gif" width="538" height="209 src=">

INDIVIDUÁLNA ÚLOHA č.2

"VÝPOČET DETERMINANTOV N-TÉHO RADU"

možnosť 1

Vypočítajte determinanty

https://pandia.ru/text/78/456/images/image035_39.gif" width="114" height="94 src=">

Nechaj A =ľubovoľná štvorcová matica rádu n s reálnymi (alebo komplexnými) prvkami.

Definícia 7. Determinant matice A (determinant N-tý rád) Algebraický súčet n sa nazýva! členy, z ktorých každý je súčinom n prvkov matice, z každého riadka a každého stĺpca. V tomto prípade sa súčin berie so znamienkom „+“, ak je nahradenie z indexov prvkov v ňom obsiahnutých párne, a inak so znamienkom „-“.

Zápis determinantov: | ALE| = .

Napríklad pre n = 6 súčin A21a13a62a34a46a55 je členom determinantu, pretože obsahuje práve jeden prvok z každého riadku a z každého stĺpca. Substitúcia zložená z jej indexov bude . Má 4 inverzie v hornom riadku a 2 inverzie v spodnom riadku. Celkový počet inverzií je 6, t.j. substitúcia je párna. Preto je tento súčin zahrnutý do rozšírenia determinantu so znamienkom „+“.

Práca A21a13a62a34a46a15 nie je členom kvalifikátora, pretože obsahuje dva prvky z prvého riadku.

Vlastnosti determinantov.

10. Pri transponovaní sa determinant nemení (pripomeňme, že transponovanie matice a determinantu znamená výmenu riadkov a stĺpcov).

Ak je (-1)k členom determinantu, potom všetky a1, a2, …, an sú rôzne a k je počet inverzií v permutácii (a1, a2, … , an). Pri transponovaní sa čísla riadkov stanú číslami stĺpcov a naopak. V dôsledku toho v produkte Všetky faktory budú z rôznych stĺpcov a riadkov, t. j. tento produkt bude zahrnutý do transponovaného determinantu. Jeho znamienko bude určené počtom inverzií pri suplovaní . Toto číslo sa však zjavne rovná k. Takže (-1)k bude členom transponovaného determinantu. Keďže sme zobrali ľubovoľný člen daného determinantu a počet členov v danom a transponovanom determinante je rovnaký, vyplýva z toho ich rovnosť. Z dokázanej vlastnosti vyplýva, že všetko, čo bude dokázané pre riadky determinantu, bude platiť aj pre jeho stĺpce.

20. Ak sa všetky prvky riadku (alebo stĺpca) determinantu rovnajú nule, potom sa determinant rovná nule.

Vyplýva to zo skutočnosti, že do každého člena determinantu bude zahrnutý jeden prvok zadaného riadku (alebo stĺpca).

30. Ak majú všetky prvky ktoréhokoľvek riadku determinantu spoločný faktor, potom ho možno vyňať zo znamienka determinantu.

V skutočnosti, ak všetky prvky k-tého riadku majú spoločný faktor l, potom ich možno zapísať ako . Akýkoľvek člen determinantu bude mať tvar (-1)s . Faktor l teda možno vyňať zo všetkých členov determinantu.

40. Ak sú dva riadky determinantu zamenené, potom determinant zmení znamienko.

V skutočnosti, ak (-1)k je ľubovoľný člen tohto determinantu, potom v novom determinante si čísla riadkov p a q vymenia miesta, ale čísla stĺpcov zostanú rovnaké. Preto sa v novom determinante objaví rovnaký súčin v tvare (-1)s. Keďže jedna transpozícia sa vyskytla v číslach riadkov a čísla stĺpcov sa nezmenili, potom k a s majú opačné parity. Takže všetky členy tohto determinantu zmenili znamienko, preto samotný determinant zmenil znamienko.

50. Ak sú dva riadky determinantu úmerné, potom je determinant nulový.

Vskutku, nech sa všetky prvky k-tého riadku rovnajú zodpovedajúcim prvkom p-tého riadku, vynásobené l, t.j. ALE| = = = 0.

60. Ak v determinante sú všetky prvky k-tého riadku súčtom dvoch členov, potom sa determinant rovná súčtu dvoch determinantov, v ktorom sú všetky riadky, okrem k-tého, rovnaké ako v danom determinant. Prvky k-teho riadku jedného z nich sú nahradené prvými členmi prvkov k-tého riadku daného determinantu a prvky k-teho riadku druhého sú nahradené ich druhými členmi. .

Nech sú prvky k-tého radu + 1 Sk,+ 2 Sk, …. , + Skn. Potom bude mať tvar ľubovoľný člen determinantu

(-1)s = (-1)s + (-1)s .

Zozbieraním všetkých prvých členov dostaneme determinant, ktorý sa od daného líši len v k-tom riadku. Na mieste k-tého riadku bude , , …. , . Zozbieraním všetkých druhých členov dostaneme determinant, ktorý sa tiež od daného líši len k-tou čiarou. Ktorý riadok bude obsahovať sk1, sk2, …. , Skn.

70. Ak sa jeden riadok determinantu pridá k jeho druhému riadku, ktorého všetky prvky sú vynásobené rovnakým číslom, potom sa determinant nezmení.

Táto vlastnosť je dôsledkom dvoch predchádzajúcich.

Ak je v determinante | ALE| prečiarknite k-tý riadok a p-tý stĺpec, potom zostane determinant (n–1)-tého rádu. To sa nazýva Menší doplnok k živlu a označené MKR. Počet (-1)k+r×M Cr volal Algebraický doplnok pre prvok a označené Acre.

80. Doplnkový vedľajší a algebraický doplnok nezávisí od toho, aký prvok je v k-tom riadku a p-tom stĺpci determinantu.

Lema 1 D= . (8)

Dôkaz. Ak A11= 0, potom je rovnosť (8) zrejmá. Nechaj A11¹ 0. Keďže každý člen determinantu obsahuje práve jeden prvok z prvého riadku, nenulové členy determinantu môžu byť len tie, ktoré zahŕňajú A11. Všetci vyzerajú ako , kde gk a k sa pohybujú od 2 do N. Znamienko tohto člena v determinante D je určené paritou substitúcie s = .D je teda algebraický súčet členov formy So znakmi určenými substitúciou s. Ak je táto suma vyňatá zo zátvoriek A11, potom dostaneme, že D = A11× S, kde S Existuje algebraický súčet členov tvaru , ktorého znamienko je určené substitúciou s. Tieto výrazy, samozrejme, ( N- jeden)!. Ale substitúcia s a substitúcia majú rovnakú paritu. v dôsledku toho S = M 11. Odkedy A11 =(-1)1+1x M 11 = M 11, potom D = A11×A11.

Lema 2. D= (9)

Dôkaz. V determinante D preusporiadame p-tý riadok postupne s každým predchádzajúcim. V tomto prípade p-tý riadok nahradí prvý riadok, ale vedľajší, doplnkový k prvku Ark nezmení sa. Celkom treba urobiť R- 1) permutácia riadkov. Ak je nový determinant označený D1, potom D1 = (-1)p-1×D. V determinante D1 preusporiadame Komu stĺpec postupne s každým predchádzajúcim stĺpcom, urobí to ( Komu- 1) permutácia stĺpcov a vedľajšia, doplnková k Ark, Nezmení sa. Získajte determinant

D2= . Je zrejmé, že D2 = (-1)k-1xD1 = (-1)p+k-2xD = (-1)p+kxD. Podľa Lemy 1, D2 = Ark×M Rk. Preto D = Ark× (-1)r+k × M Pk = Ark×Oblúk.

Veta 3. Determinant sa rovná súčtu súčinov prvkov niektorého radu a ich algebraických doplnkov, t.j. D = Ak1Ak1 + ak2×Ак2 +…+aKn×AKn (10).

Dôkaz. Nech D =. Prvky k-tého riadku zapíšeme do tvaru Ak1 \u003d al1+ 0 + …+ 0, Ak2 = 0 + Ak2 + 0 + … + 0, … , ALE= 0 + 0 + …+ 0 + ALE. Pomocou vlastnosti 60 dostaneme, že D =
= = Ak1Ak1+ Ak2Ak2 + … + AA(použili sme Lemu 2).

Veta 4. Súčet súčinov prvkov jedného riadku determinantu a algebraických doplnkov zodpovedajúcich prvkov druhého riadku je rovný nule.

Dôkaz. Nech D = . Podľa predchádzajúcej vety

D = . Ak vezmeme , potom determinant D bude mať dva rovnaké riadky, t.j. D sa bude rovnať nule. Preto 0 = ak р ¹ k.

Komentujte. Vety 3 a 4 budú pravdivé, ak sa v ich formuláciách slovo „riadok“ nahradí slovom „stĺpec“.

Metóda výpočtu determinantovN-tý rád.

Na výpočet determinantu N rádu, stačí získať čo najviac núl v niektorom riadku (alebo stĺpci) pomocou vlastnosti 70 a následne použiť vetu 3. V tomto prípade sa výpočet determinantu n-tého rádu zredukuje na výpočet tzv. determinant ( N– 1. poradie.

Príklad. Vypočítajte determinant D = .

. V druhom riadku dostaneme nuly. Pre to Druhý stĺpec 1) vynásobte (-2) a pridajte do prvého stĺpca; 2) pridajte do tretieho stĺpca; 3) vynásobte (-4) a pridajte do štvrtého stĺpca. Dostaneme, že D = . Rozšírme získaný determinant o prvky druhého radu. Okrem toho súčin všetkých prvkov tohto riadku a ich algebraických doplnkov, okrem prvku 1, sa rovnajú nule. Aby ste získali algebraický doplnok pre prvok 1, musíte prečiarknuť riadok a stĺpec, kde tento prvok stojí, t. j. druhý riadok a druhý stĺpec. Znamienko algebraického doplnku určuje (-1)2+2 = (-1)4 = +1. Takže D = +. Dostali sme determinant 3. rádu. Tento determinant možno vypočítať pomocou uhlopriečok a trojuholníkov, ale možno ho zredukovať na determinant druhého rádu. Poďme sa množiť Prvý stĺpec 1) o (-4) a pridajte do druhého stĺpca, 2) vynásobte ho 2 a pridajte do tretieho stĺpca. Chápeme to

determinanty n-tého rádu

Determinant n-tého rádu pozostáva z n 2 prvkov zapísaných v n riadkoch a n stĺpcoch a vyzerá takto:

Kvalifikačný prvok a i j je v riadku číslo i a stĺpci číslo j. Indexy i a j môžu mať akékoľvek prirodzené hodnoty od 1 do n. Áno, písanie a i3 (i=1,2,…,n), uvádzame všetky prvky v stĺpci 3: a 13 , a 23 , a 33 ,…,a n3. Prvky a ij (pre i=j) tvorí hlavnú uhlopriečku determinantu.

Výpočet determinantu n-tého rádu sa redukuje na výpočet determinantov tretieho a druhého rádu pomocou nasledujúcich vlastností.

Vlastnosti determinantov:

1. Determinant sa nezmení, ak sú jeho riadky nahradené stĺpcami (bez zmeny poradia ich čísel). Preto budeme ďalej hovoriť o riadkoch, čo znamená, že to, čo bolo povedané, platí aj pre stĺpce.

2. Ak vymeníte dva riadky determinantu, zmení sa znamienko.

3. Determinant s dvoma rovnakými (alebo proporcionálnymi) riadkami sa rovná nule.

4. Spoločný činiteľ všetkých prvkov ktoréhokoľvek z jeho riadkov možno vyňať zo znamienka determinantu.

5. Ak sa všetky prvky ktoréhokoľvek riadku determinantu rovnajú nule, potom sa takýto determinant rovná nule.

6. Determinant sa nezmení, ak sa všetky prvky ktoréhokoľvek z jeho riadkov pripočítajú k zodpovedajúcim prvkom iného riadka, vynásobia sa rovnakým číslom.

Príklady.

č. 6. Vypočítajte determinanty:

a)

Tu sa prvky tretieho stĺpca pridajú k prvkom prvého stĺpca.

b)

Prvky tretieho radu boli pridané k prvkom prvého radu.

v)

Tento determinant je vhodnejšie vypočítať podľa Sarrusovho pravidla, pretože štyri zo šiestich členov sú nulové.

Vráťme sa k vlastnostiam determinantov. Najprv si však predstavme pojmy vedľajšieho a algebraického doplnku.

Ak z daného determinantu n-tého rádu vymažeme riadok a stĺpec, na priesečníku ktorých je prvok a ij , potom dostaneme determinant (n-1) poriadku, ktorý sa nazýva vedľajší prvok a ij a označuje sa M ij. Napríklad v determinante tretieho rádu nájdite vedľajší prvok M 21 a 21. Ak to chcete urobiť, prečiarknite druhý riadok a prvý stĺpec:

V determinante štvrtého rádu môžete napísať 4x4 = 16 maloletých, z ktorých každý bude determinantom tretieho rádu.

Napíšme neplnoletí živlov a 32 a a 44, napríklad determinant štvrtého rádu:

Algebraický prvokový doplnok a ij je jeho vedľajšia, berie sa so znamienkom (–1) i + j a označuje sa A ij . Teda А ij =(–1) i+ j ×М ij .

Nájdite napríklad algebraické doplnky prvkov determinantu .

.

Nakoniec zvážte vlastnosť o rozklade determinantu podľa riadku alebo stĺpca.

7. Determinant sa rovná súčtu súčinov prvkov ľubovoľného riadku (alebo stĺpca) a ich algebraických doplnkov.

Napríklad determinant tretieho rádu možno vypočítať pomocou troch determinantov druhého rádu:

- rozšírenie o prvky prvého radu.

Dôsledok. Ak sú všetky prvky ktoréhokoľvek riadku (stĺpca), okrem jedného, ​​rovné nule, potom sa determinant rovná súčinu nenulového prvku a jeho algebraického doplnku.

Preto napr.

№.7

V determinante tretieho rádu sme k prvkom prvého stĺpca pridali zodpovedajúce prvky tretieho, vynásobené 2.

Takže pomocou vlastností determinantu môžete rozšíriť determinant ľubovoľného poradia v riadku alebo stĺpci. Postupným znižovaním poradia vypočítame determinant priamo, pričom použijeme pravidlo pre výpočet determinantu tretieho alebo druhého rádu.

Zvážte determinanty špeciálnej formy: diagonálne a trojuholníkové.

Uhlopriečka Determinant je determinant, ktorého diagonálne prvky sú nenulové a všetky ostatné prvky sú rovné nule.

trojuholníkový Determinant je determinant, ktorého všetky prvky pod (alebo nad) hlavnou uhlopriečkou sú rovné nule.

#8 Vypočítajte diagonálny determinant n-tého rádu

Rozšírenie determinantu o prvky 1 th dostali sme produkt Ale determinant (n–1) rádu A 11 môže byť reprezentovaný rovnakým spôsobom ako súčin atď.

Diagonálny determinant sa teda rovná súčinu prvkov jeho hlavnej uhlopriečky.

Je ľahké ukázať, že trojuholníkový determinant sa rovná súčinu prvkov jeho hlavnej uhlopriečky:

č. 9 Vypočítajte determinanty:

1)

Zvážte štvorcovú maticu druhého rádu

Definícia. Determinant štvorcovej matice druhého rádu je číslo rovné a 11 a 22 -a 12 a 21 a označené symbolom , tj

Determinant matice sa tiež nazýva determinant. Maticový determinantový zápis A: |A|, Δ, det A, det(aij).

Teraz zvážte štvorcovú maticu tretieho rádu

Pri výpočte determinantu tretieho rádu je užitočné poznať trojuholníkové pravidlo: so znamienkom plus sú produkty trojíc čísel umiestnených na hlavnej uhlopriečke matice a vo vrcholoch trojuholníkov so základňou rovnobežnou s touto uhlopriečkou. a vrchol v opačnom rohu matice. So znamienkom mínus sú trojky z druhej uhlopriečky a z trojuholníkov postavené vzhľadom na túto uhlopriečku. Nasledujúca schéma ukazuje toto pravidlo. V schéme modrá (vľavo) označuje prvky, ktorých produkty sa dodávajú so znamienkom plus, a červená (vpravo) - so znamienkom mínus.

Teraz si dajme definíciu.

Definícia. Determinantom štvorcovej matice tretieho rádu je číslo

Definícia. Menšia hodnota ľubovoľného prvku determinantu je determinant získaný z daného vymazaním riadku a stĺpca, do ktorého daný prvok patrí. Prvok vedľajší aik označovať Mik.

Definícia. Prvok vedľajší 21 determinant tretieho rádu matice je determinant druhého rádu

Definícia aik determinant sa nazýva jeho vedľajší, berie sa so znamienkom (-1) i+k.

Algebraické sčítanie prvkov aik označovať Aik. Podľa definície

Pravidlo na určenie znamienka algebraického doplnku (na príklade determinantu tretieho rádu):

Príklad. Algebraický prvokový doplnok 21 je

Dekompozičná teoréma. Determinant sa rovná súčtu súčinov prvkov ľubovoľného riadku (stĺpca) a ich algebraických doplnkov.

Vlastnosti kvalifikátora

• Determinant sa nezmení, keď sú všetky jeho riadky nahradené zodpovedajúcimi stĺpcami.
• Keď sa vymenia dva stĺpce (riadky), determinant zmení znamienko.
• Determinant s dvoma rovnakými stĺpcami (riadkami) sa rovná nule.
• Zo znamienka determinantu možno vyňať násobiteľa, ktorý je spoločný pre prvky určitého stĺpca (riadku).
• Determinant s dvoma proporcionálnymi stĺpcami (riadkami) je nula.
• Determinant sa rovná nule, ak sa všetky prvky niektorého stĺpca (riadku) rovnajú nule.
• Determinant sa nezmení, ak k prvkom určitého stĺpca (riadku) pridáme zodpovedajúce prvky iného stĺpca (riadku), pričom sme ich predtým vynásobili rovnakým faktorom.

Komentujte. Ak sa v determinante všetky prvky určitého stĺpca (riadku) rovnajú súčtom dvoch členov, potom sa takýto determinant rovná súčtu dvoch zodpovedajúcich determinantov.

Napríklad,

Determinanty n- poradie

Zvážte štvorcovú maticu n- poradie

Pojem determinantu tejto matice alebo determinantu n poradie je zavedené induktívne, za predpokladu, že pojem determinant poradia už bol zavedený n-1 zodpovedajúce štvorcovej matici (n-1)- poradie.

Definícia vedľajšieho prvku matice a jeho algebraický doplnok sú platné pre determinanty ľubovoľného rádu.

Definícia. Determinant poradia n zodpovedajúce matrici A n objednávky, zavolajte na číslo rovné (M 1k- prvok vedľajší a 1k) a označené jedným zo symbolov

Takže podľa definície

Tento vzorec vyjadruje pravidlo pre zostavenie determinantu poradia n prvkami prvého riadku matice, ktoré mu zodpovedajú, a algebraickými doplnkami týchto prvkov, čo je determinant poradia n-1 prijaté s náležitými znakmi.

Pre determinant akéhokoľvek rádu platia všetky vlastnosti a vety získané a dokázané pre determinant tretieho rádu.

Formulujeme hlavnú vetu:

Veta [Substitučná teoréma]. Bez ohľadu na číslo linky i (i=1,2,…,n), pre determinant n rád, vzorec

nazval rozšírenie tohto determinantu z hľadiska i-tý riadok.

Keďže vlastnosť 1 determinantov je pravdivá, môžeme determinant rozšíriť aj pozdĺž stĺpca:

Príklady

Vypočítajme nasledujúci determinant:

Odčítajte druhý riadok od prvého a tretieho. Potom, čo pripočítame prvý k tretím a vyberieme spoločný činiteľ z tretín:

Teraz do druhého riadku pridajte tretí vynásobený 7 a do štvrtého pridajte tretí vynásobený 2. Potom zo štvrtého riadku vyberieme spoločný faktor:

Rozviňme determinant v druhom stĺpci (znamienka označujú hodnotu (-1) i+j s maloletými). Všimnite si, že v stĺpci je len jeden nenulový prvok, preto v expanzii zostáva iba jeden determinant tretieho rádu. Nakoniec dostaneme odpoveď pomocou vzorca pre determinant tretieho rádu.

Uveďme ešte niekoľko príkladov pre determinanty rôznych rádov.

Pre presnejšiu a komplexnejšiu definíciu a aby ste mohli hovoriť o determinantoch rádu väčších ako tretí, musíte si pamätať niečo iné. Pojem substitúcia nás zaujíma, ani nie tak definícia, ako spôsob jej výpočtu.

Záznam akceptovaný na nahradenie je:
, t.j. dvojice čísel zapísaných v stĺpci, a to tak, že horné čísla idú postupne (všeobecne povedané, stĺpce sa dajú prehodiť).

Substitúcie sú párne alebo nepárne. Aby ste zistili, či je toto nahradenie párne alebo nepárne, musíte venovať pozornosť druhému riadku, alebo skôr poradiu čísel v ňom. Je potrebné spočítať počet dvojíc čísel v druhom riadku tak, aby číslo vľavo bolo väčšie ako číslo vpravo (). Ak je počet takýchto párov nepárny, potom sa permutácia nazýva nepárna, a teda ak je počet takýchto párov párny, potom sa permutácia nazýva párna.

Príklad:
1)


4 je vľavo od 3, vľavo od 1, vľavo od 2 - to sú už tri „nesprávne“ páry.
3 je naľavo od 1 a 2 sú ďalšie dva páry.
Spolu 5 párov, t.j. toto je zvláštna permutácia.
2)

Všimnite si, že čísla v prvom riadku nie sú v poradí. Vymeňme stĺpce.

Zvážte čísla v druhom riadku.
3 je vľavo od 2 a 1 - dva páry,
2 je vľavo od 1 - jeden pár,
5 je vľavo od 4 a 1 - dva páry,
4 stojí vľavo od 1 - jeden pár.
Spolu je 6 párov - striedanie je párne.

Definícia 2(pre študentov matematických odborov, odhaľujúce celú podstatu definovaného pojmu):

Determinant n-tého rádu zodpovedajúci matici
,
sa nazýva algebraický súčet členov, ktorý sa skladá takto: členy sú všetky možné produkty prvkov matice, prevzaté jeden po druhom z každého riadka a každého stĺpca, a člen sa berie so znamienkom plus, ak jeho indexy tvoria párnu permutáciu a so znamienkom mínus v opačnom prípade.
komentár: Vysvetlime si túto definíciu na príklade determinantu tretieho rádu, pre ktorý je už známy výpočtový vzorec.
.
1) "algebraický súčet členov" -. A áno, skutočne existuje šesť termínov.
2) „pojmy sú všetky možné produkty prvkov matice, prevzaté jeden po druhom z každého riadku a každého stĺpca“ - zvážte napríklad pojem. Jeho prvý multiplikátor sa vyberie z druhého radu, druhý z prvého a tretí z tretieho. To isté so stĺpcami - prvý násobiteľ z prvého stĺpca, druhý z tretieho a posledný z druhého.
3) „navyše výraz sa berie so znamienkom plus, ak jeho indexy tvoria párnu substitúciu, a so znamienkom mínus - inak“ - zvážte napríklad výrazy (so znamienkom plus) a (so znamienkom mínus ).

Permutácie skladáme tak, že prvý riadok obsahuje čísla riadkov faktorov a druhý - čísla stĺpcov.
Pre výraz: (prvý stĺpec je index prvého faktora atď.)
Pre termín: .
Definujeme paritu týchto permutácií:
a) - prvky v prvom riadku sú v poradí. Druhý riadok obsahuje dvojice mimo poradia:
2 vľavo od 1 - jeden pár,
3 vľavo od 1 - jeden pár.
Spolu dva páry, t.j. počet párov je párny, teda permutácia je párna, čo znamená, že sčítanec musí byť zahrnutý do súčtu so znamienkom plus (ako to v skutočnosti je).
b) - prvky v prvom rade sú v poradí. Druhý riadok obsahuje dvojice mimo poradia:
2 vľavo od 1 - jeden pár.
Celkovo je počet dvojíc čísel stojacich tak, že väčšie je naľavo od menšieho, 1, t.j. nepárne, čo znamená, že permutácia sa nazýva nepárna a príslušný výraz musí byť zahrnutý do súčtu so znamienkom mínus (áno, je).
Príklad(„Zbierka problémov v algebre“, editoval A.I. Kostrikin, č. 1001):

Zistite, ktoré z nasledujúcich produktov sú zahrnuté v rozšírenom vyjadrení determinantov zodpovedajúcich rádov a s akými znakmi.
a)
Všimnite si časť definície „jeden z každého riadku a každého stĺpca“. Všetky prvé indexy faktorov sa líšia od 1 do 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Všetky druhé indexy faktorov sa líšia od 1 do 6 (3, 2, 1, 4, 5, 6).
Záver - tento produkt je zahrnutý v rozšírenom vyjadrení determinantu 6. rádu.

3 vľavo od 2, 1 - dva páry,
2 vľavo od 1 - jeden pár,
6 vľavo od 5, 4 - dva páry,
5 vľavo od 4 - jeden pár.
Spolu 6 párov, t.j. permutácia je párna a člen je zahrnutý v rozšírenom zápise determinantu so znamienkom plus.

b)
Všetky prvé indexy faktorov sa líšia od 1 do 5 (3, 1, 5, 4, 2). Všetky druhé indexy faktorov sa líšia od 1 do 5 (1, 3, 2, 5, 4).
Záver - tento produkt je zahrnutý v rozšírenom vyjadrení determinantu 5. rádu.
Určujeme znamienko tohto pojmu, preto zostavíme permutáciu indexov faktorov:

Usporiadajte stĺpce tak, aby čísla v prvom riadku boli v poradí od najmenšieho po najväčšie.

3 vľavo od 1, 2 - dva páry.
4 naľavo od 1, 2 - dvoch párov,
5 vľavo od 2 - jeden pár.
Spolu 5 párov, t.j. permutácia je nepárna a člen je zahrnutý v rozšírenom zápise determinantu so znamienkom mínus.
v) - dajme pozor na prvý a šiesty faktor: a . Obidva sú prevzaté zo 4. stĺpca, čo znamená, že tento produkt nemožno zahrnúť do rozšíreného výrazu determinantu 7. rádu.