Ako nájsť maticu v Exceli. Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc v Exceli

Metóda 1

Zvážte maticu ALE rozmer 3x4. Vynásobte túto maticu číslom k. Pri vynásobení matice číslom sa získa matica rovnakého rozmeru ako pôvodná, pričom každý prvok matice ALE vynásobený číslom k.

Zavedme maticové prvky do rozsahu B3:E5 a číslo k- v cele H4. V rozsahu K3:N5 vypočítať maticu AT získaná vynásobením matice ALE za číslo k: B=A*k. Na tento účel zavedieme vzorec =B3*$H$4 do bunky K3 , kde AT 3- prvok 11 matice ALE.

Poznámka: adresa bunky H4 zadajte ho ako absolútny odkaz, aby sa pri kopírovaní vzorca odkaz nezmenil.

Pomocou rukoväte automatického dopĺňania skopírujte vzorec bunky K3 AT.

Maticu sme teda vynásobili ALE v Exceli a získajte maticu AT.

Pre maticové delenie ALE na počet k na bunku K3 uvádzame vzorec =B3/$H$4 AT.

Metóda 2

Táto metóda sa líši tým, že výsledkom násobenia/delenia matice číslom je samotné pole. V tomto prípade nemôžete odstrániť prvok poľa.

Ak chcete rozdeliť maticu číslom týmto spôsobom, vyberte rozsah, v ktorom sa bude výsledok počítať, zadajte znak „=“, vyberte rozsah obsahujúci pôvodnú maticu A, stlačte na klávesnici znak násobenia (*) a vyberte bunka s číslom k ctrl+Shift+Zadajte

Ak chcete vykonať delenie v tomto príklade, zadajte do rozsahu vzorec =B3:E5/H4, t.j. znak "*" sa zmení na "/".

Sčítanie a odčítanie matice v Exceli

Metóda 1

Je potrebné poznamenať, že matice rovnakej dimenzie možno sčítať a odčítať (rovnaký počet riadkov a stĺpcov pre každú z matíc). Navyše každý prvok výslednej matice OD sa bude rovnať súčtu zodpovedajúcich prvkov matíc ALE a AT, t.j. s ij =a ij + bij.

Zvážte matice ALE a AT rozmer 3x4. Vypočítajme súčet týchto matíc. Ak to chcete urobiť, v bunke N3 uvádzame vzorec =B3+H3, kde B3 a H3- prvé prvky matíc ALE a AT resp. V tomto prípade vzorec obsahuje relatívne odkazy ( AT 3 a H3 ) tak, že pri kopírovaní vzorca do celého rozsahu matice OD možno sa zmenili.

Pomocou značky automatického dopĺňania skopírujte vzorec z bunky N3 dole a vpravo pre celý rozsah matice OD.

Na odčítanie matice AT z matrice ALE (C=A - B) do bunky N3 uvádzame vzorec =B3 - H3 a skopírujte ho do celého rozsahu matice OD.

Metóda 2

Táto metóda sa líši v tom, že výsledkom sčítania/odčítania matice je samotné pole. V tomto prípade nemôžete odstrániť prvok poľa.

Ak chcete rozdeliť maticu číslom týmto spôsobom, vyberte rozsah, v ktorom sa vypočíta výsledok, zadajte znak „=“, vyberte rozsah obsahujúci prvú maticu ALE, stlačte znamienko sčítania (+) na klávesnici a vyberte druhú maticu AT. Po zadaní vzorca stlačte klávesovú skratku ctrl+Shift+Zadajte na vyplnenie celého rozsahu hodnotami.

Násobenie matice v Exceli

Je potrebné poznamenať, že matice je možné násobiť iba vtedy, ak je počet stĺpcov prvej matice ALE sa rovná počtu riadkov druhej matice AT.

Zvážte matice ALE rozmer 3x4 a AT rozmer 4x2. Vynásobením týchto matíc vznikne matica OD rozmer 3x2.

Vypočítame súčin týchto matíc C=A*B pomocou vstavanej funkcie =MULTI(). Ak to chcete urobiť, vyberte rozsah L3: M5 - bude obsahovať prvky matice OD získané v dôsledku násobenia. Na karte Vzorce vyberte si Vložiť funkciu.

V dialógovom okne Vložiť funkcie vybrať kategóriu Matematické- funkcia MUMNOZH — OK.

V dialógovom okne Funkcia Argumenty vyberte rozsahy obsahujúce matice ALE a AT. Ak to chcete urobiť, oproti poľa1 kliknite na červenú šípku.

ALE(názov rozsahu sa zobrazí v riadku argumentov) a kliknite na červenú šípku.

Pre pole2 urobte to isté. Kliknite na šípku vedľa položky array2.

Vyberte rozsah obsahujúci prvky matice AT a kliknite na červenú šípku.

V dialógovom okne sa vedľa vstupných riadkov pre rozsahy matice objavia prvky matice a pod nimi - prvky matice OD. Po zadaní hodnôt stlačte kombináciu klávesov na klávesnici Shift+ ctrl OK.

DÔLEŽITÉ. Ak len stlačíte OK OD.

Dostaneme výsledok násobenia matice ALE a AT.

Môžeme zmeniť hodnoty maticových buniek ALE a AT, maticové hodnoty OD sa automaticky zmení.

Maticová transpozícia v Exceli

Maticová transpozícia je operácia na matici, v ktorej sú stĺpce nahradené riadkami so zodpovedajúcimi číslami. Označte transponovanú maticu A T.

Nechajte maticu ALE rozmer 3x4 pomocou funkcie =TRANSPOSE() vypočítajte transponovanú maticu A T a rozmer tejto matice bude 4x3.

Vyberte rozsah H3:J6 , do ktorého budú zadané hodnoty transponovanej matice.

Na karte Vzorce vyberte si funkcia vloženia, vyberte kategóriu Referencie a polia- funkcia TRANSP — OK.

V dialógovom okne Funkcia Argumenty zadajte rozsah poľa B3:E5 ALE Shift+ ctrl a kliknite ľavým tlačidlom myši na tlačidlo OK.

DÔLEŽITÉ. Ak len stlačíte OK, potom program vypočíta hodnotu len prvej bunky rozsahu matice A T.

klikni na zväčšenie

Máme transponovanú maticu.

Hľadanie inverznej matice v Exceli

Matrix A -1 sa nazýva inverzia matice ALE, ak ALEž A-1 = A-1ž A=E, kde E je matica identity. Treba poznamenať, že inverznú maticu možno nájsť iba pre štvorcovú maticu (rovnaký počet riadkov a stĺpcov).

Nechajte maticu ALE rozmer 3x3, nájdite pre ňu inverznú maticu pomocou funkcie =MOBR().

Ak to chcete urobiť, vyberte rozsah G3: ja5 , ktorý bude obsahovať prvky inverznej matice, na karte Vzorce vyberte si Vložiť funkciu.

V dialógovom okne Vložiť funkcie vyberte kategóriu Matematické- funkcia MOBR — OK.

V dialógovom okne Funkcia Argumenty zadajte rozsah poľa O 3:D5 , obsahujúci prvky matice ALE. Stlačte kombináciu klávesov na klávesnici Shift+ ctrl a kliknite ľavým tlačidlom myši na tlačidlo OK.

DÔLEŽITÉ. Ak len stlačíte OK, potom program vypočíta hodnotu len prvej bunky rozsahu matice A -1.

klikni na zväčšenie

Máme inverznú maticu.

Nájdenie determinantu matice v Exceli

Determinant matice je číslo, ktoré je dôležitou charakteristikou štvorcovej matice.

Ako nájsť identifikačné matice v Exceli

Nechajte maticu ALE rozmer 3x3, vypočítajte pre ňu determinant pomocou funkcie =MOPRED().

Ak to chcete urobiť, vyberte bunku H4, vypočíta sa v nej determinant matice, na tab Vzorce vyberte si Vložiť funkciu.

V dialógovom okne Vložiť funkcie vyberte kategóriu Matematické- funkcia MOPRED — OK.

V dialógovom okne Funkcia Argumenty zadajte rozsah poľa O 3:D5 , obsahujúci prvky matice ALE. Kliknite OK.

klikni na zväčšenie

Vypočítali sme determinant matice ALE.

Na záver venujme pozornosť dôležitému bodu. Týka sa tých operácií s maticami, na ktoré sme použili funkcie zabudované v programe a výsledkom je nová matica (násobenie matice, hľadanie inverzných a transponovaných matíc). V matrici, ktorá bola získaná ako výsledok operácie, nie je možné odstrániť niektoré prvky. Tie. ak vyberieme napríklad jeden prvok matice a stlačíme Del, program vydá varovanie: Nemôžete zmeniť časť poľa.

klikni na zväčšenie

Môžeme iba odstrániť všetky prvky tejto matice.

Video tutoriál

Učiteľ fyziky, informatiky a IKT, MKOU „Stredná škola“, s. Savolenka, okres Yukhnovsky, región Kaluga. Autor a učiteľ dištančných kurzov základov počítačovej gramotnosti, kancelárskych programov. Autor článkov, videonávodov a vývoja.

Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc v Exceli Metódy riešenia sústav lineárnych algebraických rovníc sú dobre popísané v učebnici "Základy výpočtovej matematiky. Demidovich BP, Maron IA 1966". Sťahovanie - 11 Mb

1. Metóda inverznej matice (riešenie v Exceli)

Vzhľadom na rovnicu:
A*X = B, kde A je štvorcová matica, X,B sú vektory;
kde B je známy vektor (t. j. stĺpec čísel), X je neznámy vektor,
potom riešenie X možno zapísať ako:
X = A-1*B, kde A-1 je inverzia matice A.
V MS Excel je inverzná matica vypočítaná funkciou MIN() a matice (alebo matica vektorom) sú vynásobené funkciou MMUM().

Existujú „jemnosti“ používania týchto maticových akcií v programe Excel. Takže na výpočet inverznej matice z matice A potrebujete:

1. Pomocou myši vyberte štvorcovú oblasť buniek, kde bude umiestnená inverzná matica. 2. Začnite zadávať vzorec =MOBR(3. Vyberte myšou maticu A. V tomto prípade sa zodpovedajúci rozsah buniek zmestí napravo od zátvorky. 4. Zatvorte zátvorku, stlačte kombináciu klávesov: Ctrl-Shift -Zadajte 5. Inverzná matica by sa mala vypočítať a vyplniť plochu na to určenú Vynásobenie matice vektorom: 1. Pomocou myši vyberte oblasť buniek, do ktorej sa umiestni výsledok násobenia 2. Začnite zadanie vzorca =MULTIPLE(3. Pomocou myši vyberte maticu - prvý násobiteľ. V tomto prípade sa napravo od zátvorky zadá príslušný rozsah buniek. 4. Zadajte oddeľovač z klávesnice ; (bodkočiarka) 5. Vyberte myšou faktor vektorovej sekundy. V tomto prípade sa zodpovedajúci rozsah buniek zmestí napravo od zátvorky 6. Zatvorte zátvorku, stlačte kombináciu klávesov: Ctrl-Shift-Enter 7. produkt by sa mal vypočítať a vyplniť oblasť na to určenú.a iným spôsobom, ktorý používa tlačidlo Excel function builder.4th order SLAE príklad

Stiahnite si dokument programu Excel, v ktorom je tento príklad vyriešený rôznymi metódami.

2. Gaussova metóda

Gaussova metóda sa detailne (po krokoch) vykonáva len na vzdelávacie účely, kedy potrebujete ukázať, že to dokážete. A na vyriešenie skutočného SLAE je lepšie použiť metódu inverznej matice v Exceli alebo použiť špeciálne programy, napríklad toto

Stručný opis.

3. Jacobiho metóda (metóda jednoduchých iterácií)

Pre aplikáciu Jacobiho metódy (a Seidelovej metódy) je potrebné, aby diagonálne zložky matice A boli väčšie ako súčet zostávajúcich zložiek toho istého riadku. Daný systém túto vlastnosť nemá, preto vykonávam predbežné transformácie.

(1)' = (1) + 0,43 * (2) - 0,18 * (3) - 0,96 * (4) (2)' = (2) + 0,28 * (1) - 1,73 * (3) + 0,12 *(4) (3)' = (3) – 0,27*(1) – 0,75*(2) + 0,08*(4) (4)' = (4) + 0,04*(1) – 6,50*(2) + 8,04*(3) Poznámka: koeficienty boli vybrané na hárku "Analýza". Riešia sa sústavy rovníc, ktorých účelom je vynulovať mimodiagonálne prvky. Koeficienty sú zaokrúhlené výsledky riešenia takýchto sústav rovníc. Samozrejme, nie je to tak. V dôsledku toho dostanem systém rovníc:
Ak chcete použiť Jacobiho metódu, systém rovníc sa musí transformovať do tvaru:
X = B2 + A2*X

Ďalej vydelím každý riadok faktorom ľavého stĺpca, teda 16, 7, 3, 70, resp. Potom má matica A2 tvar:


A vektor B2:

Jednou z bežných operácií, ktorá sa vykonáva pri práci s maticami, je násobenie jednej z nich druhou. Excel je výkonný tabuľkový procesor, ktorý je určený okrem iného aj na prácu s maticami. Preto má nástroje, ktoré vám umožňujú ich medzi sebou množiť. Poďme zistiť, ako sa to dá urobiť rôznymi spôsobmi.

Hneď treba povedať, že nie všetky matice sa dajú násobiť medzi sebou, ale len tie, ktoré spĺňajú určitú podmienku: počet stĺpcov jednej matice sa musí rovnať počtu riadkov inej matice a naopak. Okrem toho je vylúčená prítomnosť prázdnych prvkov v matriciach. V tomto prípade zlyhá aj požadovaná operácia.

V Exceli stále nie je toľko spôsobov, ako násobiť matice - iba dva. A obe zahŕňajú používanie vstavaných funkcií programu Excel. Pozrime sa podrobne na každú z týchto možností.

Metóda 1: Funkcia MULT

Najjednoduchšou a najobľúbenejšou možnosťou medzi používateľmi je použitie funkcie MUMNOZH. Operátor MUMNOZH sa vzťahuje na matematickú skupinu funkcií. Jeho bezprostrednou úlohou je nájsť súčin dvoch maticových polí. Syntax MUMNOZH vyzerá takto:

MULT(pole1; pole2)

Tento operátor má teda dva argumenty, ktoré sú odkazmi na rozsahy dvoch matíc, ktoré sa majú vynásobiť.

Teraz sa pozrime, ako sa funkcia používa MUMNOZH na konkrétnom príklade. Existujú dve matice, z ktorých počet riadkov jednej zodpovedá počtu stĺpcov v druhej a naopak. Tieto dva prvky musíme znásobiť.

Metóda 2: Použitie zloženého vzorca

Okrem toho existuje ďalší spôsob, ako vynásobiť dve matice. Je zložitejšia ako predchádzajúca, ale zaslúži si zmienku aj ako alternatívu. Táto metóda zahŕňa použitie vzorca zloženého poľa, ktorý bude pozostávať z funkcie SUMPRODUCT a vnorené v ňom ako argument operátora TRANSP.

1. Tentoraz vyberieme len ľavý horný prvok poľa prázdnych buniek na hárku, ktorý predpokladáme použiť na zobrazenie výsledku. Kliknite na ikonu "Vložiť funkciu".



2. Sprievodca funkciou začína. Presun do bloku výpisov "matematický", ale tentoraz vyberáme názov SUMPRODUCT. Kliknite na tlačidlo OK.



3. Otvorí sa okno argumentov vyššie uvedenej funkcie. Tento operátor je navrhnutý tak, aby násobil rôzne polia navzájom. Jeho syntax je nasledovná:

   SUMPRODUCT(pole1, pole2,…)

   Ako argumenty zo skupiny "Pole" používa sa odkaz na špecifický rozsah, ktorý sa má vynásobiť. Celkovo možno použiť od 2 do 255 takýchto argumentov. Ale v našom prípade, keďže máme čo do činenia s dvoma maticami, potrebujeme len dva argumenty.

   Umiestnite kurzor do poľa "Pole1". Tu budeme musieť zadať adresu prvého riadku prvej matice. Ak to chcete urobiť, podržte ľavé tlačidlo myši, stačí ho vybrať na hárku pomocou kurzora. Súradnice tohto rozsahu sa okamžite zobrazia v príslušnom poli okna argumentov. Potom by sa súradnice prijatého odkazu mali fixovať v stĺpcoch, to znamená, že tieto súradnice by mali byť absolútne. Aby sme to dosiahli, pred písmenami vo výraze, ktorý je zadaný do poľa, nastavíme znak dolára ( $ ). Toto by sa nemalo robiť pred zobrazením súradníc v číslach (reťazcoch). Prípadne môžete namiesto toho vybrať celý výraz v poli a trikrát stlačiť funkčné tlačidlo F4. V tomto prípade sa tiež stanú absolútnymi iba súradnice stĺpcov.



4. Potom nastavte kurzor do poľa "Pole2". S týmto argumentom to bude ťažšie, keďže podľa pravidiel násobenia matíc treba druhú maticu „preklopiť“. Na to používame vnorenú funkciu TRANSP.

   Ak chcete prejsť na ňu, kliknite na ikonu vo forme trojuholníka nasmerovaného ostrým uhlom nadol, ktorý sa nachádza naľavo od riadku vzorcov. Otvorí sa zoznam naposledy použitých vzorcov. Ak nájdete meno "TRANSP" a potom naň kliknite. Ak ste tohto operátora používali dlho alebo ste ho nikdy nepoužívali, potom v tomto zozname nenájdete zadané meno. V tomto prípade musíte kliknúť na položku "Viac funkcií...".



5. Otvorí sa dobre známe okno Funkcionári. Tentokrát sa presúvame do kategórie "Referencie a polia" a vyberte meno "TRANSP". Kliknutím na tlačidlo OK.



6. Spustí sa okno argumentov funkcie TRANSP. Tento operátor je určený na transponovanie tabuliek. To znamená, že jednoducho vymieňa stĺpce a riadky. To je to, čo musíme urobiť pre druhý argument operátora SUMPRODUCT. Syntax funkcie TRANSP veľmi jednoduché:

   TRANSPOSE(pole)

   To znamená, že jediným argumentom tohto operátora je odkaz na pole, ktoré by malo byť „prevrátené“. Alebo skôr v našom prípade ani nie pre celé pole, ale len pre jeho prvý stĺpec.

   Nastavíme teda kurzor do poľa "Pole" a vyberte prvý stĺpec druhej matice na hárku so stlačeným ľavým tlačidlom myši. Adresa sa zobrazí v poli. Rovnako ako v predchádzajúcom prípade, aj tu musíte urobiť určité súradnice absolútne, ale tentoraz nie súradnice stĺpcov, ale adresy riadkov. Preto pred čísla v odkaze, ktorý sa zobrazuje v poli, dávame znak dolára. Môžete tiež vybrať celý výraz a dvakrát kliknúť na kláves F4. Potom, čo potrebné prvky začali mať absolútne vlastnosti, neklikajte na tlačidlo OK, a rovnako ako v predchádzajúcej metóde používame stlačenie kombinácie klávesov Ctrl+Shift+Enter.



7. Tentokrát sme však nevyplnili pole, ale iba jednu bunku, ktorú sme predtým vybrali pri volaní Funkcionári.



8. Potrebujeme naplniť údajmi rovnako veľké pole ako v prvej metóde. Za týmto účelom skopírujte vzorec získaný v bunke do ekvivalentného rozsahu, ktorý sa bude rovnať počtu riadkov prvej matice a počtu stĺpcov druhej matice. V našom konkrétnom prípade dostaneme tri riadky a tri stĺpce.

   Na kopírovanie sa uchýlime k použitiu značky výplne. Presuňte kurzor do pravého dolného rohu bunky, kde sa nachádza vzorec. Kurzor sa zmení na čierny krížik. Toto je značka výplne. Podržte ľavé tlačidlo myši a potiahnite kurzor cez celý rozsah vyššie. Počiatočná bunka so samotným vzorcom by sa mala stať ľavým horným prvkom tohto poľa.



9. Ako vidíte, vybraný rozsah je vyplnený údajmi. Ak ich porovnáme s výsledkom, ktorý sme dostali vďaka použitiu operátora MUMNOZH, uvidíme, že hodnoty sú úplne totožné. To znamená, že násobenie dvoch matíc je vykonané správne.

Ako vidíte, napriek tomu, že ste získali ekvivalentný výsledok, použite funkciu na násobenie matíc MUMNOZH oveľa jednoduchšie ako použitie zloženého vzorca operátorov na rovnaké účely SUMPRODUCT a TRANSP. Túto alternatívu však nemožno ignorovať pri štúdiu všetkých možností násobenia matíc v programe Microsoft Excel.

V časti o otázke Ako vytvoriť maticu v Exceli???? daný autorom Máša Kalganová najlepšia odpoveď je Čo presne je potrebné urobiť?
Excelový dokument je bezrozmerná (celorozmerná) matica, ktorej každý prvok môže byť číslo, text alebo akákoľvek iná hodnota. Áno, dokonca aj vzorec.
Ak vytlačíte 3 čísla za sebou, pod nimi ešte 3 za sebou, pod nimi ešte 3 za sebou, dostaneme štvorcovú maticu 3x3.
Aká je otázka?
Vynásobte maticu číslom v Exceli
písať vzorce?
V ľavej hornej bunke novej matice
\u003d ľavá horná bunka starej matice * bunka s číslom (kliknutím myšou), stlačením F4 sa zmeníte na $x$y, kde x,y sú súradnice bunky. Tým sa bunka pri kopírovaní opraví. Potom stlačte Enter a skopírujte obsah bunky do 2 susedných buniek v rade. Potom skopírujte tieto 3 bunky do ďalších 3 riadkov a získajte rovnaký výsledok, aký mám na obrázku. To znamená vynásobenie matice číslom.
Sakra, oni nevedia matematiku, ale lezú po internete!

Vypočítajte determinant (determinant) matice pomocou funkcie MOPRED() alebo angličtiny. MDETERM, riadkový/stĺpcový rozklad (pre 3 x 3) a podľa definície (do 6. rádu).

Maticový determinant (det) je možné vypočítať len pre štvorcové matice, t.j. ktorých počet riadkov sa rovná počtu stĺpcov.

Na výpočet determinantu v MS EXCEL existuje špeciálna funkcia MOPRED() . V argumente funkcie musíte zadať odkaz na rozsah buniek (pole) obsahujúcich prvky matice (pozri vzorový súbor ).

Pole môže byť špecifikované nielen ako interval buniek, napr A7:B8 , ale aj ako , napríklad =MOPRED((5;4:3;2)) . Zápis pomocou poľa konštánt vám umožňuje nešpecifikovať prvky v samostatných bunkách, ale umiestniť ich do bunky spolu s funkciou. V tomto prípade je pole špecifikované riadok po riadku: napríklad prvý riadok je 5;4, potom sa ďalší riadok 3;2 zapíše cez dvojbodku. Prvky sú oddelené bodkočiarkami.

Pre matice rádu 2 možno determinant vypočítať bez použitia funkcie MOPRED(). Napríklad pre vyššie uvedenú maticu výraz =A7*B8-B7*A8 vráti rovnaký výsledok.

Pre maticu rádu 3, napríklad umiestnenú v rozsahu A16:C18 , výraz sa stáva komplikovanejším =A16*(B17*C18-C17*B18)-B16*(A17*C18-C17*A18)+C16*(A17*B18-B17*A18)(rozširovanie strún).

Vo vzorovom súbore pre maticu 3 x 3 sa determinant vypočíta aj pomocou rozšírenia stĺpca a Sarrusovho pravidla.

Vlastnosti určujúce

Teraz o niektorých vlastnostiach determinantu (pozri vzorový súbor):

• Determinant sa rovná determinantu pôvodnej matice
• Ak sú v matici všetky prvky aspoň jedného z riadkov (alebo stĺpcov) nulové, determinant takejto matice je nula
• Ak vymeníte ľubovoľné dva riadky (stĺpce), determinant výslednej matice bude opačný ako pôvodný (to znamená, že sa zmení znamienko)
• Ak sú všetky prvky jedného z riadkov (stĺpca) vynásobené rovnakým číslom k, potom bude determinantom výslednej matice sa rovná determinantu pôvodnej matice vynásobenému k
  
• Ak matica obsahuje riadky (stĺpce), ktoré sú lineárnou kombináciou iných riadkov (stĺpcov), potom determinant = 0
• det(A)=1/det(A -1), kde A -1 - matica A (A je štvorcová nesingulárna matica).

Výpočet maticového determinantu podľa definície (do 6. rádu vrátane)

RADY: Túto časť by si mali prečítať iba pokročilí používatelia MS EXCEL. Okrem toho je materiál len akademickým záujmom, pretože. existuje funkcia MOPRED() .

Ako je uvedené vyššie, existujú pomerne jednoduché vzorce a pravidlá na výpočet matíc rádu 2 a 3. Ak chcete vypočítať determinant matíc vyššieho rádu (bez použitia funkcie MOPRED()), budete si musieť zapamätať definíciu:

Determinant štvorcovej matice rádu n x n je súčet obsahujúci n! podmienky (=FACTOR(n) ). Každý člen je súčinom n prvkov matice a každý súčin obsahuje prvok z každého riadka a z každého stĺpca matice A. Koeficient (-1) sa objaví pred k-tým členom, ak sú prvky matice A v súčine zoradené podľa čísla riadku a počet inverzií v k-tej permutácii množiny čísel stĺpcov je nepárny.

kde (α 1 ,α 2 ,...,α n ) je permutácia čísel od 1 do n , N(α 1 ,α 2 ,...,α n ) je číslo , súčet ide cez všetky možné permutácie rádu n .

Skúsme pochopiť túto náročnú definíciu na príklade matice 3x3.

Pre maticu 3 x 3 je podľa definície počet členov 3!=6 a každý člen pozostáva zo súčinu 3 prvkov matice. Nižšie je uvedených všetkých 6 výrazov potrebných na výpočet determinantu matice 3x3:

• a21*a12*a33
• a21*a32*a13
• a11*a32*a23
• a11*a22*a33
• a31*a22*a13
• a31*a12*a23

a21, a12 atď. sú prvky matice. Teraz si vysvetlime, ako sa tvorili indexy prvkov, t.j. prečo je tam napríklad výraz a11*a22*a33, ale nie a11*a22*a13.

Pozrime sa na vzorec uvedený vyššie (pozri definíciu). Predpokladajme, že druhý index každého prvku matice (od 1 do n) zodpovedá číslu stĺpca matice (aj keď to môže byť číslo riadka (nezáleží na tom, pretože determinanty matice sú rovnaké). , druhý index prvého prvku v produkte sa vždy rovná 1, druhý - 2, tretí - 3. Potom prvé indexy prvkov zodpovedajú číslu riadku a v súlade s definíciou sa musia určiť z permutácií čísel od 1 do 3, teda z permutácií množiny (1, 2 , 3).

Teraz je jasné, prečo medzi pojmami nie je a11*a22*a13, pretože podľa definície ( každý produkt obsahuje prvok z každého riadku a z každého stĺpca matice A), a v našom termíne neexistuje žiadny prvok z riadku 3.

Poznámka: Permutácia n čísel množiny (bez opakovaní) je akékoľvek usporiadanie danej množiny, ktoré sa navzájom líši iba poradím svojich prvkov. Napríklad za predpokladu, že množina 3 čísel: 1, 2, 3. Z týchto čísel môžete vytvoriť 6 rôznych permutácií: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 1, 2), (3, 2, 1). Pozri článok

Počet permutácií množiny 3 čísel =3!=6 (čo sa samozrejme rovná počtu členov vo výraze na výpočet determinantu, keďže každý člen má svoju permutáciu). Pre maticu 3x3 sú všetky permutácie uvedené v poznámke vyššie. Dá sa overiť, že v každom člene sa prvé indexy prvkov rovnajú zodpovedajúcim číslam v permutácii. Napríklad pre výraz a21*a12*a33 sa používa permutácia (2, 1, 3).

RADY: Pre maticu rádu 4 sú 4! permutácie, t.j. 26, čo zodpovedá 26 členom, z ktorých každý je súčinom rôznych 4 prvkov matice. Všetkých 26 permutácií nájdete v článku.

Teraz, keď sme sa zaoberali členmi, určíme faktor pred každým členom (môže to byť +1 alebo -1). Násobiteľ je určený z hľadiska parity počtu inverzií zodpovedajúcej permutácie.

Poznámka: O inverziách permutácií (a parite počtu inverzií) si môžete prečítať napríklad v článku

Napríklad prvý člen zodpovedá permutácii (2, 1, 3), ktorá má 1 inverziu (nepárne číslo), a teda -1 na mocninu 1 sa rovná -1. Druhý člen zodpovedá permutácii (2, 3, 1), ktorá má 2 inverzie (párne číslo) a teda -1 na mocninu 2 sa rovná 1 atď.

Pridanie všetkých výrazov: (-1)*(a21*a12*a33)+(+1)*(a21*a32*a13)+(-1)*(a11*a32*a23)+(+1)*( a11 *а22*а33)+(-1)*(а31*а22*а13)+(+1)*(а31*а12*а23) dostaneme hodnotu determinantu.

AT vzorový súbor na hárku 4+, a Zmenou poradia matice pomocou , môžete vypočítať determinant matice až do 6. rádu vrátane.

Treba brať do úvahy, že pri výpočte matice 6. rádu už výraz používa 720 členov (6!). Pre 7. rád by bolo potrebné urobiť tabuľku pre 5040 permutácií a podľa toho vypočítať 5040 členov! Tie. nezaobídete sa bez použitia MOPRED() (dobre, alebo môžete determinant vypočítať manuálne pomocou Gaussovej metódy).