Вводные замечания

В данном разделе будет рассмотрено представление периодических сигналов при помощи ряда Фурье. Ряды Фурье являются основой теории спектрального анализа, потому что, как мы увидим позже, преобразование Фурье непериодического сигнала можно получить как предельный переход ряда Фурье при бесконечном периоде повторения. В результате свойства ряда Фурье также справедливы и для преобразования Фурье непериодических сигналов.

Мы рассмотрим выражения ряда Фурье в тригонометрической и комплексной форме, а также уделим внимание условиям Дирихле сходимости ряда Фурье. Кроме того, мы подробно остановимся на пояснении такого понятия как отрицательная частота спектра сигнала, которое часто вызывает сложность при знакомстве с теорией спектрального анализа.

Периодический сигнал. Тригонометрический ряд Фурье

Пусть имеется периодический сигнал непрерывного времени , который повторяется с периодом с, т.е. , где — произвольное целое число.

В качестве примера на рисунке 1 показана последовательность прямоугольных импульсов длительности c, повторяющиеся с периодом с.

Рисунок 1. Периодическая последовательность

Прямоугольных импульсов

Из курса математического анализа известно , что система тригонометрических функций

с кратными частотами , где рад/с, — целое число, образует ортонормированный базис для разложения периодических сигналов с периодом , удовлетворяющих условиям Дирихле .

Условия Дирихле сходимости ряда Фурье требуют, чтобы периодический сигнал был задан на сегменте , при этом удовлетворял следующим условиям:

Например, периодическая функция не удовлетворяет условиям Дирихле, потому что функция имеет разрывы второго рода и принимает бесконечные значения при , где — произвольное целое. Таким образом, функция не может быть представлена рядом Фурье. Также можно привести пример функции , которая является ограниченной, но также не удовлетворяет условиям Дирихле, поскольку имеет бесконечное число точек экстремума при приближении к нулю. График функции показан на рисунке 2.

Рисунок 2. График функции :

А — два периода повторения; б — в окрестности

На рисунке 2а показано два периода повторения функции , а на рисунке 2б — область в окрестности . Можно видеть, что при приближении к нулю, частота колебаний бесконечно возрастает, и такая функция не может быть представлена рядом Фурье, потому что она не является кусочно-монотонной.

Необходимо заметить, что на практике не бывает сигналов с бесконечными значениями тока или напряжения. Функции с бесконечным числом экстремумов типа также в прикладных задачах не встречаются. Все реальные периодические сигналы удовлетворяют условиям Дирихле и могут быть представлены бесконечным тригонометрическим рядом Фурье вида:

В выражении (2) коэффициент задает постоянную составляющую периодического сигнала .

Во всех точках, где сигнал непрерывен, ряд Фурье (2) сходится к значениям данного сигнала, а в точках разрыва первого рода — к среднему значению , где и — пределы слева и справа от точки разрыва соответственно.

Также из курса математического анализа известно , что использование усеченного ряда Фурье, содержащего только первых членов вместо бесконечной суммы, приводит к приближенному представлению сигнала :

при котором обеспечивается минимум среднего квадрата ошибки. Рисунок 3 иллюстрирует приближение периодической последовательности прямоугольных импульсов и периодического пилообразного сигнала при использовании различного количества членов ряда Фурье .

Рисунок 3. Приближение сигналов усеченным рядом Фурье:

А — прямоугольных импульсов; б — пилообразного сигнала

Ряд Фурье в комплексной форме

В предыдущем параграфе мы рассмотрели тригонометрический ряд Фурье для разложения произвольного периодического сигнала , удовлетворяющего условиям Дирихле. Применив формулу Эйлера, можно показать:
Тогда тригонометрический ряд Фурье (2) с учетом (4):

Таким образом, периодический сигнал может быть представлен суммой постоянной составляющей и комплексных экспонент, вращающихся с частотами с коэффициентами для положительных частот , и для комплексных экспонент, вращающихся с отрицательными частотами .

Рассмотрим коэффициенты для комплексных экспонент, вращающихся с положительными частотами :

Выражения (6) и (7) совпадают, кроме того постоянную составляющую также можно записать через комплексную экспоненту на нулевой частоте:

Таким образом, (5) с учетом (6)-(8) можно представить как единую сумму при индексации от минус бесконечности до бесконечности:

Выражение (9) представляет собой ряд Фурье в комплексной форме. Коэффициенты ряда Фурье в комплексной форме связаны с коэффициентами и ряда в тригонометрической форме, и определяются как для положительных, так и для отрицательных частот . Индекс в обозначении частоты указывает номер дискретной гармоники, причем отрицательные индексы соответствуют отрицательным частотам .

Из выражения (2) следует, что для вещественного сигнала коэффициенты и ряда (2) также являются вещественными. Однако (9) ставит в соответствие вещественному сигналу , набор комплексно-сопряженных коэффициентов , относящихся как положительным, так и к отрицательным частотам .

Некоторые пояснения к ряду Фурье в комплексной форме

В предыдущем параграфе мы осуществили переход от тригонометрического ряда Фурье (2) к ряду Фурье в комплексной форме (9). В результате, вместо разложения периодических сигналов в базисе вещественных тригонометрических функций, мы получили разложение в базисе комплексных экспонент, с комплексными коэффициентами , да еще и появились отрицательные частоты в разложении! Поскольку данный вопрос часто встречает непонимание, то необходимо дать некоторые пояснения.

Во-первых, работать с комплексными экспонентами в большинстве случаев проще, чем с тригонометрическими функциями. Например, при умножении и делении комплексных экспонент достаточно лишь сложить (вычесть) показатели, в то время как формулы умножения и деления тригонометрических функций более громоздкие.

Дифференцировать и интегрировать экспоненты, пусть даже комплексные, также проще, чем тригонометрические функции, которые постоянно меняются при дифференцировании и интегрировании (синус превращается в косинус и наоборот).

Если сигнал периодический и вещественный, то тригонометрический ряд Фурье (2) кажется более наглядным, потому что все коэффициенты разложения , и остаются вещественными. Однако, часто приходится иметь дело с комплексными периодическими сигналами (например, при модуляции и демодуляции используют квадратурное представление комплексной огибающей). В этом случае при использовании тригонометрического ряда Фурье все коэффициенты , и разложения (2) станут комплексными, в то время как при использовании ряда Фурье в комплексной форме (9) будет использованы одни и те же коэффициенты разложения как для вещественных, так и для комплексных входных сигналов.

Ну и наконец, необходимо остановится на пояснении отрицательных частот, которые появились в (9). Этот вопрос часто вызывает непонимание. В повседневной жизни мы не сталкиваемся с отрицательными частотами. Например, мы никогда не настраиваем свой радиоприемник на отрицательную частоту. Давайте рассмотрим следующую аналогию из механики. Пусть имеется механический пружинный маятник, который совершает свободные колебания с некоторой частотой . Может ли маятник колебаться с отрицательной частотой ? Конечно нет. Как не бывает радиостанций, выходящих в эфир на отрицательных частотах, так и частота колебаний маятника не может быть отрицательной. Но пружинный маятник — одномерный объект (маятник совершает колебания вдоль одной прямой).

Мы можем также привести еще одну аналогию из механики: колесо, вращающееся с частотой . Колесо, в отличие от маятника вращается, т.е. точка на поверхности колеса перемещается в плоскости, а не просто совершает колебания вдоль одной прямой. Поэтому для однозначного задания вращения колеса, задать частоту вращения недостаточно, потому что необходимо задать также направление вращения. Вот именно для этого мы и можем использовать знак частоты.

Так, если колесо вращается с частотой рад/с против часовой стрелки, то считаем, что колесо вращается с положительной частотой, а если по направлению часовой стрелки, то частота вращения будет отрицательной. Таким образом, для задания вращения отрицательная частота перестает быть бессмыслицей и указывает направление вращения.

А теперь самое главное, что мы должны понять. Колебание одномерного объекта (например, пружинного маятника) может быть представлено как сумма вращений двух векторов, показанных на рисунке 4.

Рисунок 4. Колебание пружинного маятника

Как сумма вращений двух векторов

на комплексной плоскости

Маятник совершает колебания вдоль вещественной оси комплексной плоскости с частотой по гармоническому закону . Движение маятника показано горизонтальным вектором. Верхний вектор совершает вращения на комплексной плоскости с положительной частотой (против часовой стрелки), а нижний вектор вращается с отрицательной частотой (по направлению часовой стрелки). Рисунок 4 наглядно иллюстрирует хорошо известное из курса тригонометрии соотношение:

Таким образом, ряд Фурье в комплексной форме (9) представляет периодические одномерные сигналы как сумму векторов на комплексной плоскости, вращающихся с положительными и отрицательными частотами. При этом обратим внимание, что в случае вещественного сигнала согласно (9) коэффициенты разложения для отрицательных частот являются комплексно-сопряженными соответствующим коэффициентам для положительных частот . В случае комплексного сигнала это свойство коэффициентов не выполняется ввиду того, что и также являются комплексными.

Спектр периодических сигналов

Ряд Фурье в комплексной форме представляет собой разложение периодического сигнала в сумму комплексных экспонент, вращающихся с положительными и отрицательными частотами кратными рад/c с соответствующими комплексными коэффициентами , которые определяют спектр сигнала . Комплексные коэффициенты могут быть представлены по формуле Эйлера как , где — амплитудный спектр, a — фазовый спектр.

Поскольку периодические сигналы раскладываются в ряд только на фиксированной сетке частот , то спектр периодических сигналов является линейчатым (дискретным).

Рисунок 5. Спектр периодической последовательности

Прямоугольных импульсов:

А — амплитудный спектр; б — фазовый спектр

На рисунке 5 приведен пример амплитудного и фазового спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов (см. рисунок 1) при с, длительности импульса c и амплитуде импульсов В.

Амплитудный спектр исходного вещественного сигнала является симметричным относительно нулевой частоты, а фазовый спектр — антисимметричным. При этом заметим, что значения фазового спектра и соответствуют одной и той же точке комплексной плоскости .

Можно сделать вывод, что все коэффициенты разложения приведенного сигнала являются чисто вещественными, и фазовый спектр соответствует отрицательным коэффициентам .

Обратим внимание, что размерность амплитудного спектра совпадает с размерностью сигнала . Если описывает изменение напряжения во времени, измеряемое в вольт, то амплитуды гармоник спектра также будут иметь размерность вольт.

Выводы

В данном разделе рассмотрено представление периодических сигналов при помощи ряда Фурье. Приведены выражения для ряда Фурье в тригонометрической и комплексной формах. Мы уделили особое внимание условиям Дирихле сходимости ряда Фурье и были приведены примеры функций, для которых ряд Фурье расходится.

Мы подробно остановились на выражении ряда Фурье в комплексной форме и показали, что периодические сигналы как вещественные, так и комплексные представляются рядом комплексных экспонент с положительными и отрицательными частотами. При этом коэффициенты разложения являются также комплексными и характеризуют амплитудный и фазовый спектр периодического сигнала.

В следующем разделе мы более детально рассмотрим свойства спектров периодических сигналов.

Программная реализация в библиотеке DSPL

Дёч, Г. Руководство по практическому применению преобразования Лапласа. Москва, Наука, 1965, 288 c.

2.1. Спектры периодических сигналов

Периодическим сигналом (током или напряжением) называют такой вид воздействия, когда форма сигнала повторяется через некоторый интервал времени T , который называется периодом. Простейшей формой периодического сигнала является гармонический сигнал или синусоида, которая характеризуется амплитудой, периодом и начальной фазой. Все остальные сигналы будут негармоническими или несинусоидальными . Можно показать, и практика это доказывает, что, если входной сигнал источника питания является периодическим, то и все остальные токи и напряжения в каждой ветви (выходные сигналы) также будут периодическими. При этом формы сигналов в разных ветвях будут отличаться друг от друга.

Существует общая методика исследования периодических негармонических сигналов (входных воздействий и их реакций) в электрической цепи, которая основана на разложении сигналов в ряд Фурье. Данная методика состоит в том, что всегда можно подобрать ряд гармонических (т.е. синусоидальных) сигналов с такими амплитудами, частотами и начальными фазами, алгебраическая сумма ординат которых в любой момент времени равна ординате исследуемого несинусоидального сигнала. Так, например, напряжение u на рис. 2.1. можно заменить суммой напряжений и , поскольку в любой момент времени имеет место тождественное равенство: . Каждое из слагаемых представляет собой синусоиду, частота колебания которой связана с периодом T целочисленными соотношениями.

Для рассматриваемого примера имеем период первой гармоники совпадающим с периодом негармонического сигнала T 1 = T , а период второй гармоники в два раза меньшим T 2 = T /2, т.е. мгновенные значения гармоник должны быть записаны в виде:

Здесь амплитуды колебаний гармоник равны между собой ( ), а начальные фазы равны нулю.

Рис. 2.1. Пример сложения первой и второй гармоники

негармонического сигнала

В электротехнике гармоническая составляющая, период которой равен периоду негармонического сигнала, называется первой или основной гармоникой сигнала. Все остальные составляющие называются высшими гармоническими составляющими. Гармоника, частота которой в k раз больше первой гармоники (а период, соответственно, в k раз меньше), называется

k - ой гармоникой. Выделяют также среднее значение функции за период, которое называют нулевой гармоникой. В общем случае ряд Фурье записывают в виде суммы бесконечного числа гармонических составляющих разных частот:

(2.1)

где k - номер гармоники; - угловая частота k - ой гармоники;

ω 1 = ω =2 π / T - угловая частота первой гармоники; - нулевая гармоника.

Для сигналов часто встречающихся форм разложение в ряд Фурье можно найти в специальной литературе. В таблице 2 приведены разложения для восьми форм периодических сигналов. Следует отметить, что приведенные в таблице 2 разложения будут иметь место, если начало системы координат выбраны так, как это указано на рисунках слева; при изменении начала отсчета времени t будут изменяться начальные фазы гармоник, амплитуды гармоник при этом останутся такими же. В зависимости от типа исследуемого сигнала под V следует понимать либо величину, измеряемую в вольтах, если это сигнал напряжения, либо величину, измеряемую в амперах, если это сигнал тока.

Разложение в ряд Фурье периодических функций

Таблица 2

График f (t )	Ряд Фурье функции f (t )	Примечание
		k=1,3,5,...
		k=1,3,5,...
		k=1,3,5,...
		k=1,2,3,4,5
		k=1,3,5,...
		k=1,2,3,4,5
		S=1,2,3,4,..
		k=1,2,4,6,..

Сигналы 7 и 8 формируются из синусоиды посредством схем, использующих вентильные элементы.

Совокупность гармонических составляющих, образующих сигнал несинусоидальной формы, называется спектром этого негармонического сигнала. Из этого набора гармоник выделяют и различают амплитудный и фазовый спектр. Амплитудным спектром называют набор амплитуд всех гармоник, который обычно представляют диаграммой в виде набора вертикальных линий, длины которых пропорциональны (в выбранном масштабе) амплитудным значениям гармонических составляющих, а место на горизонтальной оси определяется частотой (номером гармоники) данной составляющей. Аналогично рассматривают фазовые спектры как совокупность начальных фаз всех гармоник; их также изображают в масштабе в виде набора вертикальных линий.

Следует заметить, что начальные фазы в электротехнике принято измерять в пределах от –180 0 до +180 0 . Спектры, состоящие из отдельных линий, называют линейчатыми или дискретными . Спектральные линии находятся на расстоянии f друг от друга, где f - частотный интервал, равный частоте первой гармоники f .Таким образом, дискретные спектры периодических сигналов имеют спектральные составляющие с кратными частотами - f , 2f , 3f , 4f , 5f и т.д.

Пример 2.1. Найти амплитудный и фазовый спектр для сигнала прямоугольной формы, когда длительности положительного и отрицательного сигнала равны, а среднее значение функции за период равно нулю

u (t ) = Vпри0<t <T /2

u (t ) = -VприT /2<t <T

Для сигналов простыхчасто используемых форм решение целесообразно находить с помощью таблиц.

Рис. 2.2. Линейчатый амплитудный спектр прямоугольного сигнала

Из разложения в ряд Фурье сигнала прямоугольной формы (см. табл.2 - 1) следует, что гармонический ряд содержит только нечетные гармоники, при этом амплитуды гармоник убывают пропорционально номеру гармоники. Амплитудный линейчатый спектр гармоник представлен на рис. 2.2. При построении принято, что амплитуда первой гармоники (здесь напряжения) равна одному вольту: B; тогда амплитуда третьей гармоники будет равна B, пятой - B и т.д. Начальные фазы всех гармоник сигнала равны нулю, следовательно, фазовый спектр имеет только нулевые значения ординат.

Задача решена.

Пример 2.2. Найти амплитудный и фазовый спектр для напряжения, изменяющегося по закону: при -T /4<t <T /4; u (t ) = 0 при T /4<t <3/4T . Такой сигнал формируется из синусоиды посредством исключения (схемным путем с использованием вентильных элементов) отрицательной части гармонического сигнала.

а)б)

Рис. 2.3. Линейчатый спектр сигнала однополупериодного выпрямления: а)амплитудный; б)фазовый

Для сигнала однополупериодного выпрямления синусоидального напряжения (см. табл.2 - 8) ряд Фурье содержит постоянную составляющую (нулевую гармонику), первую гармонику и далее набор только четных гармоник, амплитуды которых быстро убывают с ростом номера гармоники. Если, например, положить величину V = 100 B, то, умножив каждое слагаемое на общий множитель 2V/π , найдем (2.2)

Амплитудный и фазовый спектры этого сигнала изображены на рис.2.3а,б.

Задача решена.

В соответствии с теорией рядов Фурье точное равенство негармонического сигнала сумме гармоник имеет место только при бесконечно большом числе гармоник. Расчет гармонических составляющих на ЭВМ позволяет анализировать любое число гармоник, которое определяется целью расчета, точностью и формой негармонического воздействия. Если длительность сигнала t независимо от его формы много меньше периода T , то амплитуды гармоник будут убывать медленно, и для более полного описания сигнала приходится учитывать большое число членов ряда. Эту особенность можно проследить для сигналов, представленных в таблице 2 - 5 и 6, при выполнении условия τ <<T . Если негармонический сигнал по форме близок к синусоиде (например, сигналы 2 и 3 в табл.2), то гармоники убывают быстро, и для точного описания сигнала достаточно ограничиться тремя - пятью гармониками ряда.

Среди разнообразных систем ортогональных функций, которые могут использоваться в качестве базисов для представления радиотехнических сигналов, исключительное место занимают гармонические (синусоидальные и косинусоидальные) функции. Значение гармонических сигналов для радиотехники обусловлено рядом причин.

В частности:

1. Гармонические сигналы инвариантны относительно преобразований, осуществляемых стационарными линейными электрическими цепями. Если такая цепь возбуждена источником гармонических колебаний, то сигнал на выходе цепи остается гармоническим с той же частотой, отличаясь от входного сигнала лишь амплитудой и начальной фазой.

2. Техника генерирования гармонических сигналов относительно проста.

Если какой-либо сигнал представлен в виде суммы гармонических колебаний с различными частотами, то говорят, - что осуществлено спектральное разложение этого сигнала. Отдельные гармонические компоненты сигнала образуют его спектр.

2.1. Периодические сигналы и ряды Фурье

Математической моделью процесса, повторяющегося во времени, является периодический сигнал со следующим свойством:

Здесь Т - период сигнала.

Ставится задача найти спектральное разложение такого сигнала.

Ряд Фурье.

Зададим на отрезке времени рассмотренный в гл. I ортонормированцый базис, образованный гармоническими функциями с кратными частотами;

Любая функция из этого базиса удовлетворяет условию периодичности (2.1). Поэтому, - выполнив ортогональное разложение сигнала в этом базисе, т. е. вычислив коэффициенты

получим спектральное разложение

справедливое на всей бесконечности оси времени.

Ряд вида (2.4) называется рядом Фурье даннрго сигнала. Введем основную частоту последовательности, образующей периодический сигнал. Вычисляя коэффициенты разложения по формуле (2.3), запишем ряд Фурье для периодического сигнала

с коэффициентами

(2.6)

Итак, в общем случае периодический сигнал содержит не зависящую от времени постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний, так называемых гармоник с частотами кратными основной частоте последовательности.

Каждую гармонику можно описать ее амплитудой и начальной фазой Для этого коэффициенты ряда Фурье следует записать в виде

Подставив эти выражения в (2.5), получим другую, - эквивалентную форму ряда Фурье:

которая иногда оказывается удобнее.

Спектральная диаграмма периодического сигнала.

Так принято называть графическое изображение коэффициентов ряда Фурье для конкретного сигнала. Различают амплитудные и фазовые спектральные диаграммы (рис. 2.1).

Здесь по горизонтальной оси в некотором масштабе отложены частоты гармоник, а по вертикальной оси представлены их амплитуды и начальные фазы.

Рис. 2.1. Спектральные диаграммы некоторого периодического сигнала: а - амплитудная; б - фазовая

Особо интересуются амплитудной диаграммой, которая позволяет судить о процентном содержании тех или иных гармоник в спектре периодического сигнала.

Изучим несколько конкретных примеров.

Пример 2.1. Ряд Фурье периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов с известными параметрами , четной относительно точки t = 0.

В радиотехнике отношение называют скважностью последовательности. По формулам (2.6) находим

Окончательную формулу ряда Фурье удобно записать в виде

На рис. 2.2 представлены амплитудные диаграммы рассматриваемой последовательности в двух крайних случаях.

Важно отметить, что последовательность коротких импульсов, следующих друг за другом достаточно редко , обладает богатым спектральным составом.

Рис. 2.2. Амплитудный спектр периодической последовательности ррямоугольных видеоимпульсов: а - при большой скважности; б - при малой скважности

Пример 2.2. Ряд Фурье периодической последовательности импульсов, образованной гармоническим сигналом вида ограниченным на уровне (предполагается, что ).

Введем специальный параметр - угол отсечки , определяемый из соотношения откуда

В соотаетствии с этим величина равна длительности одного импульса, выраженной в угловой мере:

Аналитическая запись импульса, порождающего рассматриваемую последовательность, имеет вид

Постоянная составляющая последовательности

Амплитудный коэффициент первой гармоники

Аналогично вычисляют амплитуды - гармонических составляющих при

Полученные результаты обычно записывают так:

где так называемые функции Берга:

Графики некоторых функций Берга приведены на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Графики нескольких первых функций Берга

Комплексная форма ряда Фурье.

Спектральное разложение периодического сигнала можно выполнить и несколько ионному, используя систему базисных функций, состоящую из экспонент с мнимыми показателями:

Легко видеть, что функции этой системы периодичны с периодом ортонормированы на отрезке времени так как

Ряд Фурье произвольного периодического сигнала в данном случае принимает вид

с коэффициентами

Обычно используют следующую форму записи:

Выражение (2.11) представляет собой ряд Фурье в комплексной форме.

Спектр сигнала в соответствии с формулой (2.11) содержит компоненты на отрицательной полуоси частот, причем . В ряде (2.11) слагаемые с положительными и отрицательными частотами объединяются в пары, например: и строят суммы векторов - в сторону увеличения фазового угла, в то время как векторы вращаются в противоположном направлении. Конец результирующего вектора в каждый момент времени определяет текущее значение сигнала.

Такая наглядная интерпретация спектрального разложения периодического сигнала будет использована в последующем параграфе.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

РАЗЛОЖЕНИЯ СИГНАЛОВ В РЯД ФУРЬЕ

Цель задания

Ознакомиться с примерами разложения сигналов в ряд Фурье и практически реализовать разложение различного вида сигналов в системе MatLab.

Постановка задачи

Осуществить разложения сигналов различного вида в ряд Фурье. Разложению подлежат следующие сигналы: последовательность прямоугольных импульсов, меандр, пилообразный сигнал и последовательность треугольных импульсов.

Для каждого варианта и каждого вида сигнала заданы параметры:

для последовательности прямоугольных импульсов – амплитуда, период повторения и длительность импульсов;

для меандра, пилообразного сигнала и последовательности треугольных импульсов – амплитуда и период повторения импульсов.

Для всех видов сигналов задано число ненулевых гармоник.

Cоставить программы в системеMatLabи построить графики.

Постановка задачи.

Код программ для разложения последовательности прямоугольных импульсов, меандр, пилообразного сигнала и последовательности треугольных импульсов.

Результаты выполнения программ – графики промежуточных стадий суммирования.

Методические указания

Ряд Фурье

Разложению в ряд Фурье могут подвергаться периодические сигналы. При этом они представляются в виде суммы гармонических функций либо комплексных экспонент с частотами, образующими арифметическую прогрессию.

Ряд Фурье может быть применен для представления не только периодических сигналов, но и сигналов конечной длительности. При этом оговаривается временной интервал, для которого строится ряд Фурье, а в остальные моменты времени сигнал считается равным нулю. Для расчета коэффициентов ряда такой подход фактически означает периодическое продолжение сигнала за границами рассматриваемого интервала.

Синусно-косинусная форма

В этом варианте ряд Фурье имеет следующий вид:

Здесь
– круговая частота, соответствующая периоду повторения сигнала, равному. Входящие в формулу кратные ей частоты
называются гармониками, гармоники нумеруются в соответствии с индексом ; частота
называется –й гармоникой сигнала. Коэффициенты ряда ирассчитываются по формулам:

,

.

Константа рассчитывается по общей формуле для. Само же это слагаемое представляет собой среднее значение сигнала на периоде:

.

Если
является четной функцией, то всебудут равны нулю и в формуле ряда Фурье будут присутствовать только косинусные слагаемые. Если
является нечетной функцией, равны нулю будут, наоборот, косинусные коэффициентыи в формуле останутся лишь синусные слагаемые.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ

Последовательность прямоугольных импульсов с амплитудой , длительностьюи периодом повторения.

Рис. 1 Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Данный сигнал является четной функцией, поэтому для его представления удобнее использовать синусно-косинусную форму ряда Фурье – в ней будут присутствовать только косинусные слагаемые , равные

.

Отношение периода к длительности импульсов называют скважностью последовательности импульсов и обозначают буквой :
.

Представление последовательности прямоугольных импульсов в виде ряда Фурье:

.

Амплитуды гармонических слагаемых ряда зависят от номера гармоники.

МЕАНДР

Частным случаем предыдущего сигнала является меандр – последовательность прямоугольных импульсов со скважностью, равной двум, когда длительности импульсов и промежутков между ними становятся равными (рис.2).

Рис. 2 Меандр

При
, получим

Здесь m – произвольное целое число.

При разложении в ряд Фурье четные составляющие будут отсутствовать.

ПИЛООБРАЗНЫЙ СИГНАЛ

В пределах периода он описывается линейной функцией:

Рис. 3. Пилообразный сигнал

Данный сигнал является нечетной функцией, поэтому его ряд Фурье в синусно-косинусной форме будет содержать только синусные слагаемые:

.

Сам ряд Фурье для пилообразного сигнала выглядит следующим образом:

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ТРЕУГОЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ

Рис.4. Последовательность треугольных импульсов

Сигнал является четной функцией, поэтому будут присутствовать косинусные составляющие.

Вычислим коэффициенты ряда Фурье:

Сам ряд Фурье имеет следующий вид:

Как видите, в отличие от последовательностей прямоугольных и пилообразных импульсов, для треугольного периодического сигнала амплитуды гармоник убывают пропорционально второй степени номеров гармоник .

Код программы для меандра

N= 8; % число ненулевых гармоник

t= -1:0.01:1; % вектор моментов времени

A= 1; % амплитуда

T= 1; % период

nh= (1:N)*2-1; % номера ненулевых гармоник

harmonics = cos(2*pi*nh"*t/T);

Am= 2/pi./nh; % амплитуды гармоник

Am(2:2:end) = -Am(2:2:end); % чередование знаков

s1 = harmonics .* repmat(Am", 1, length(t));

% строки-частичные суммы гармоник

for k=1:N, subplot(4, 2, k), plot(t, s2(k,:)), end

Р
езультат работы программы

Комментарии :repmat – создание блочной матрицы или многомерного блочного массива из одинаковых блоков.repmat(Am", 1,length(t)) – матрица состоит из 1 блока по вертикали иlength(t) блоков по горизонтали, каждый блок является матрицейAm".

Cumsum – расчет частичных сумм элементов.

Subplot (Rows , Cols , N ) – команда для вывода нескольких графиков. Графическое окно разбивается на клетки в виде матрицы, имеющейRows – строк,Cols – столбцов, иN – клетка становится текущей.

Варианты

№ варианта	Параметры для сигналов
	–амплитуда сигнала	–период повторения сигналов	–длительность сигнала	–число ненулевых гармоник

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

РАЗЛОЖЕНИЯ СИГНАЛОВ В РЯД ФУРЬЕ

Цель задания

Ознакомиться с примерами разложения сигналов в ряд Фурье и практически реализовать разложение различного вида сигналов в системе MatLab.

Постановка задачи

Осуществить разложения сигналов различного вида в ряд Фурье. Разложению подлежат следующие сигналы: последовательность прямоугольных импульсов, меандр, пилообразный сигнал и последовательность треугольных импульсов.

Для каждого варианта и каждого вида сигнала заданы параметры:

для последовательности прямоугольных импульсов – амплитуда, период повторения и длительность импульсов ;

для меандра, пилообразного сигнала и последовательности треугольных импульсов – амплитуда и период повторения импульсов.

Для всех видов сигналов задано число ненулевых гармоник.

Cоставить программы в системе MatLab и построить графики.

Методические указания

Ряд Фурье

Разложению в ряд Фурье могут подвергаться периодические сигналы. При этом они представляются в виде суммы гармонических функций либо комплексных экспонент с частотами, образующими арифметическую прогрессию.

Ряд Фурье может быть применен для представления не только периодических сигналов, но и сигналов конечной длительности. При этом оговаривается временной интервал, для которого строится ряд Фурье, а в остальные моменты времени сигнал считается равным нулю. Для расчета коэффициентов ряда такой подход фактически означает периодическое продолжение сигнала за границами рассматриваемого интервала.

Синусно-косинусная форма

В этом варианте ряд Фурье имеет следующий вид:

Здесь
– круговая частота, соответствующая периоду повторения сигнала , равному . Входящие в формулу кратные ей частоты
называются гармониками, гармоники нумеруются в соответствии с индексом ; частота
называется –й гармоникой сигнала. Коэффициенты ряда и рассчитываются по формулам:

,

.

Константа рассчитывается по общей формуле для . Само же это слагаемое представляет собой среднее значение сигнала на периоде:

.
Если
является четной функцией , то все будут равны нулю и в формуле ряда Фурье будут присутствовать только косинусные слагаемые. Если является нечетной функцией , равны нулю будут, наоборот, косинусные коэффициенты и в формуле останутся лишь синусные слагаемые.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ

Последовательность прямоугольных импульсов с амплитудой , длительностью и периодом повторения .

Рис. 1 Периодическая последовательность прямоугольных импульсов
Данный сигнал является четной функцией , поэтому для его представления удобнее использовать синусно-косинусную форму ряда Фурье – в ней будут присутствовать только косинусные слагаемые , равные

.

Отношение периода к длительности импульсов называют скважностью последовательности импульсов и обозначают буквой :
.

Представление последовательности прямоугольных импульсов в виде ряда Фурье:

.

Амплитуды гармонических слагаемых ряда зависят от номера гармоники.

МЕАНДР

Частным случаем предыдущего сигнала является меандр – последовательность прямоугольных импульсов со скважностью, равной двум, когда длительности импульсов и промежутков между ними становятся равными (рис.2).

Рис. 2 Меандр

При
, получим

Здесь m – произвольное целое число.

При разложении в ряд Фурье четные составляющие будут отсутствовать.

ПИЛООБРАЗНЫЙ СИГНАЛ

В пределах периода он описывается линейной функцией:

Рис. 3. Пилообразный сигнал
Данный сигнал является нечетной функцией, поэтому его ряд Фурье в синусно-косинусной форме будет содержать только синусные слагаемые:

.

Сам ряд Фурье для пилообразного сигнала выглядит следующим образом:

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ТРЕУГОЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ

Рис.4. Последовательность треугольных импульсов
Сигнал является четной функцией, поэтому будут присутствовать косинусные составляющие.

Вычислим коэффициенты ряда Фурье:

Сам ряд Фурье имеет следующий вид:

Как видите, в отличие от последовательностей прямоугольных и пилообразных импульсов, для треугольного периодического сигнала амплитуды гармоник убывают пропорционально второй степени номеров гармоник .

Код программы для меандра

N = 8; % число ненулевых гармоник

t = -1:0.01:1; % вектор моментов времени

A = 1; % амплитуда

harmonics = cos(2*pi*nh"*t/T);

Am = 2/pi./nh; % амплитуды гармоник

Am(2:2:end) = -Am(2:2:end); % чередование знаков

s1 = harmonics .* repmat(Am", 1, length(t));

% строки-частичные суммы гармоник

s2 = cumsum(s1);

for k=1:N, subplot(4, 2, k), plot(t, s2(k,:)), end

Р
езультат работы программы

Комментарии : repmat – создание блочной матрицы или многомерного блочного массива из одинаковых блоков. repmat(Am", 1, length(t)) – матрица состоит из 1 блока по вертикали и length(t) блоков по горизонтали, каждый блок является матрицей Am".

Cumsum – расчет частичных сумм элементов.

Subplot (Rows , Cols , N ) – команда для вывода нескольких графиков. Графическое окно разбивается на клетки в виде матрицы, имеющей Rows – строк, Cols – столбцов, и N – клетка становится текущей.

Варианты

№ варианта	Параметры для сигналов
	– амплитуда сигнала	– период повторения сигналов	– длительность сигнала	– число ненулевых гармоник
1	7	3	2	10
2	5	4	3	12
3	4	5	4	14
4	3	6	5	16
5	2	8	6	18
6	5	3	2	14
7	4	4	3	16
8	3	5	4	18
9	2	6	5	10
10	7	8	6	12
11	4	4	3	18
12	3	5	4	10
13	2	6	5	12
14	7	8	6	14
15	5	3	2	16
16	7	3	2	12
17	5	4	3	14
18	4	5	4	16
19	3	6	5	18
20	2	8	6	10
21	5	3	2	16
22	4	4	3	18
23	3	5	4	10
24	2	6	5	12
25	7	8	6	14
26	4	4	3	10
27	3	5	4	12
28	2	6	5	14
29	7	8	6	16
30	5	3	2	18