Дискретные изображения. Что такое дискретное изображение? и что такое аппаратное разрешение

В предыдущей главе мы изучали линейные пространственно-инвариантные системы в непрерывной двумерной области. На практике мы имеем дело с изображениями, которые имеют ограниченные размеры и в то же время отсчитываются в дискретном наборе точек. Поэтому методы, разработанные до сих пор, необходимо приспособить, расширить и модифицировать так, чтобы их можно было применить и в такой области. Возникает также и несколько новых моментов, требующих аккуратного рассмотрения.

Теорема отсчетов говорит о том, при каких условиях по дискретному набору значений можно точно восстановить непрерывное изображение. Мы также узнаем, что происходит, когда условия ее применимости не выполняются. Все это имеет прямое отношение к разработке зрительных систем.

Методы, требующие перехода к частотной области, стали популярными частично благодаря алгоритмам быстрого вычисления дискретного преобразования Фурье. Однако нужно соблюдать осторожность, поскольку эти методы предполагают наличие периодического сигнала. Мы обсудим, как можно удовлетворить этому требованию и к чему приводит его нарушение.

7.1. Ограничение размеров изображения

На практике изображения всегда имеют конечные размеры. Рассмотрим прямоугольное изображение шириной и высотой Я. Теперь нет необходимости брать интегралы в преобразовании Фурье в бесконечных пределах:

Любопытно, что для восстановления функции нам необязательно знать на всех частотах. Знание того, что при представляет собой жесткое ограничение. Иными словами, функция, отличная от нуля только в ограниченной области плоскости изображения, содержит гораздо меньше информации, чем функция, не обладающая этим свойством.

Чтобы в этом убедиться, представим, что плоскость экрана покрыта копиями заданного изображения. Иными словами, мы расширяем наше изображение до периодической в обоих направлениях функции

Здесь - наибольшее целое число, не превосходящее х. Преобразование Фурье такого размноженного изображения имеет вид

С помощью подходящим образом подобранных множителей сходимости в упр. 7.1 доказывается, что

Следовательно,

откуда мы видим, что равна нулю всюду, кроме дискретного набора частот Таким образом, чтобы найти нам достаточно знать в этих точках. Однако функция получается из простым отсечением участка, для которого . Поэтому, чтобы восстановить нам достаточно знать лишь для всех Это - счетное множество чисел.

Обратите внимание на то, что преобразование периодической функции оказывается дискретным. Обратное преобразование можно представить в виде ряда, поскольку

Аналоговое и дискретное предоставление графической информации Человек способен воспринимать и хранить информацию в форме образов (зрительных, звуковых, осязательных, вкусовых и обонятельных). Зрительные образы могут быть сохранены в виде изображений (рисунков, фотографий и так далее), а звуковые - зафиксированы на пластинках, магнитных лентах, лазерных дисках и так далее.

Информация, в том числе графическая и звуковая, может быть представлена в аналоговой или дискретной форме. При аналоговом представлении физическая величина принимает бесконечное множество значений, причем ее значения изменяются непрерывно. При дискретном представлении физическая величина принимает конечное множество значений, причем ее величина изменяется скачкообразно.

Приведем пример аналогового и дискретного представления информации. Положение тела на наклонной плоскости и на лестнице задается значениями координат X и Y. При движении тела по наклонной плоскости его координаты могут принимать бесконечное множество непрерывно изменяющихся значений из определенного диапазона, а при движении по лестнице - только определенный набор значений, причем меняющихся скачкообразно

Примером аналогового представления графической информации может служить, например, живописное полотно, цвет которого изменяется непрерывно, а дискретного - изображение, напечатанное с помощью струйного принтера и состоящее из отдельных точек разного цвета. Примером аналогового хранения звуковой информации является виниловая пластинка (звуковая дорожка изменяет свою форму непрерывно), а дискретного - аудиокомпакт-диск (звуковая дорожка которого содержит участки с различной отражающей способностью).

Преобразование графической и звуковой информации из аналоговой формы в дискретную производится путем дискретизации, то есть разбиения непрерывного графического изображения и непрерывного (аналогового) звукового сигнала на отдельные элементы. В процессе дискретизации производится кодирование, то есть присвоение каждому элементу конкретного значения в форме кода.

Дискретизация - это преобразование непрерывных изображений и звука в набор дискретных значений в форме кодов.

Звук в памяти компьютера

Основные понятия: аудиоадаптер, частота дискретизации, разрядность регистра, звуковой файл.

Физическая природа звука – колебания в определенном диапазоне частот, передаваемые звуковой волной через воздух (или другую упругую среду). Процесс преобразования звуковых волн в двоичный код в памяти компьютера: звуковая волна -> микрофон -> переменный электрический ток -> аудиоадаптер -> двоичный код-> память ЭВМ .

Процесс воспроизведения звуковой информации, сохраненной в памяти ЭВМ:
память ЭВМ -> двоичный код -> аудиоадаптер -> переменный электрический ток -> динамик -> звуковая волна.

Аудиоадаптер (звуковая плата) – специальное устройство, подключаемое к компьютеру, предназначенное для преобразования электрических колебаний звуковой частоты в числовой двоичный код при вводе звука и для обратного преобразования (из числового кода в электрические колебания) при воспроизведении звука.

В процессе записи звука аудиоадаптер с определенным периодом измеряет амплитуду электрического тока и заносит в регистр двоичный код полученной величины. Затем полученный код из регистра переписывается в оперативную память компьютера. Качество компьютерного звука определяется характеристиками аудиоадаптера: частотой дискретизации и разрядностью.

Частота дискретизации – это количество измерений входного сигнала за 1 секунду. Частота измеряется в герцах (Гц). Одно измерение за одну секунду соответствует частоте 1 Гц. 1000 измерений за одну секунду -1 килогерц (кГц). Характерные частоты дискетизации аудиоадаптеров: 11 кГц, 22 кГц, 44,1 кГц и др.

Разрядность регистра – число бит в регистре аудиоадаптера. Разрядность определяет точность измерения входного сигнала. Чем больше разрядность, тем меньше погрешность каждого отдельного преобразования величины электрического сигнала в число и обратно. Если разрядность равна 8(16), то при измерении входного сигнала может быть получено 2 8 =256 (2 16 =65536) различных значений. Очевидно, 16-разрядный аудиоадаптер точнее кодирует и воспроизводит звук, чем 8-разрядный.

Звуковой файл – файл, хранящий звуковую информацию в числовой двоичной форме. Как правило, информация в звуковых файлах подвергается сжатию.

Примеры решенных задач.

Пример №1.
Определить размер (в байтах) цифрового аудиофайла, время звучания которого составляет 10 секунд при частоте дискретизации 22,05 кГц и разрешении 8 бит. Файл сжатию не подвержен.

Решение.
Формула для расчета размера (в байтах) цифрового аудиофайла (монофоническое звучание): (частота дискретизации в Гц)*(время записи в секундах)*(разрешение в битах)/8.

Таким образом файл вычисляется так: 22050*10*8/8 = 220500 байт.

Задания для самостоятельной работы

№1. Определить объем памяти для хранения цифрового аудиофайла, время звучания которого составляет две минуты при частоте дискретизации 44,1 кГц и разрешении 16 бит.

№2. В распоряжении пользователя имеется память объемом 2,6 Мб. Необходимо записать цифровой аудиофайл с длительностью звучания 1 минута. Какой должна быть частота дискретизации и разрядность?

№3. Объем свободной памяти на диске – 5,25 Мб, разрядность звучания платы – 16. Какова длительность звучания цифрового аудиофайла, записанного с частотой дискретизации 22,05 кГц?

№4. Одна минута цифрового аудиофайла занимает на диске 1,3 Мб, разрядность звуковой платы – 8. С какой частотой дискретизации записан звук?

№5. Две минуты записи цифрового аудиофайла занимает на диске 5,1 Мб. Частота дискретизации – 22050 Гц. Какова разрядность аудиоадаптера? №6. Объем свободой памяти на диске – 0,01 Гб, разрядность звуковой платы – 16. Какова длительность звучания цифрового аудиофайла, записанного с частотой дискретизации 44100 Гц?

Представление графической информации.

Растровое представление.

Основные понятия: Компьютерная графика, пиксель, растр, разрешающая способность экрана, видеоинформация, видеопамять, графический файл, битовая глубина, страница видеопамяти, код цвета пикселя, графический примитив, система графических координат.

Компьютерная графика – раздел информатики, предметом которого является работа на компьютере с графическими изображениями (рисунками, чертежами, фотографиями, видеокадрами и пр.).

Пиксель – наименьший элемент изображения на экране (точка на экране).

Растр – прямоугольная сетка пикселей на экране.

Разрешающая способность экрана – размер сетки растра, задаваемого в виде произведения M*N, где M – число точек по горизонтали, N – число точек по вертикали (число строк).

Видеоинформация – информация об изображении, воспроизводимом на экране компьютера, хранящаяся в компьютерной памяти.

Видеопамять – оперативная память, хранящая видеоинформацию во время ее воспроизведения в изображение на экране.

Графический файл – файл, хранящий информацию о графическом изображении.

Число цветов, воспроизводимых на экране дисплея (K), и число бит, отводимых в видеопамяти под каждый пиксель (N), связаны формулой: K=2 N

Величину N называют битовой глубиной .

Страница – раздел видеопамяти, вмещающий информацию об одном образе экрана (одной «картинке» на экране). В видеопамяти могут размещаться одновременно несколько страниц.

Все многообразие красок на экране получается путем смешивания трех базовых цветов: красного, синего и зеленого. Каждый пиксель на экране состоит из трех близко расположенных элементов, светящихся этими цветами. Цветные дисплеи, использующие такой принцип, называются RGB (Red-Green-Blue)-мониторами.

Код цвета пикселя содержит информацию о доле каждого базового цвета.
Если все три составляющие имеют одинаковую интенсивность (яркость), то из их сочетаний можно получить 8 различных цветов (2 3). Следующая таблица показывает кодировку 8-цветной палитры с помощью трехразрядного двоичного кода. В ней наличие базового цвета обозначено единицей, а отсутствие нулем.

Двоичный код

К	З	С	Цвет
0	0	0	Черный
0	0	1	Синий
0	1	0	Зеленый
0	1	1	Голубой
1	0	0	Красный
1	0	1	Розовый
1	1	0	Коричневый
1	1	1	Белый

Шестнадцатицветная палитра получается при использовании 4-разрядной кодировки пикселя: к трем битам базовых цветов добавляется один бит интенсивности. Этот бит управляет яркостью всех трех цветов одновременно. Например, если в 8-цветной палитре код 100 обозначает красный цвет, то в 16-цветной палитре: 0100 – красный, 1100 – ярко-красный цвет; 0110 – коричневый, 1110 – ярко-коричневый (желтый).

Большое количество цветов получается при раздельном управлении интенсивностью базовых цветов. Причем интенсивность может иметь более двух уровней, если для кодирования каждого из базовых цветов выделять более одного бита.

При использовании битовой глубины 8 бит/пиксель количество цветов: 2 8 =256. Биты такого кода распределены следующим образом: КККЗЗСС.

Это значит, что под красную и зеленую компоненты выделяется по 3 бита, под синюю – 2 бита. Следовательно, красная и зеленая компоненты имеют по 2 3 =8 уровней яркости, а синяя – 4 уровня.

Векторное представление.

При векторном подходе изображение рассматривается как совокупность простых элементов: прямых линий, дуг, окружностей, эллипсов, прямоугольников, закрасок и пр., которые называются графическими примитивами . Графическая информация – это данные, однозначно определяющие все графические примитивы, составляющие рисунок.

Положение и форма графических примитивов задаются в системе графических координат , связанных с экраном. Обычно начало координат расположено в верхнем левом углу экрана. Сетка пикселей совпадает с координатной сеткой. Горизонтальная ось X направлена слева направо; вертикальная ось Y – сверху вниз.

Отрезок прямой линии однозначно определяется указанием координат его концов; окружность – координатами центра и радиусом; многогранник – координатами его углов, закрашенная область – граничной линией и цветом закраски и пр.

Команда	Действие
Линия к X1,Y1	Нарисовать линию от текущей позиции в позицию (X1, Y1).
Линия X1, Y1, X2, Y2	Нарисовать линию с координатами начала X1, Y1 и координатами конца X2, Y2. Текущая позиция не устанавливается.
Окружность X, Y, R	Нарисовать окружность: X, Y – координаты центра, R – длина радиуса в шагах растровой сетки.
Эллипс X1, Y1, X2, Y2	Нарисовать эллипс, ограниченный прямоугольником; (X1, Y1) – координаты левого верхнего, а (X2, Y2) – правого нижнего угла этого прямоугольника.
Прямоугольник X1, Y1, X2, Y2	Нарисовать прямоугольник; (X1, Y1) – координаты левого верхнего угла, а (X2, Y2) – правого нижнего угла этого прямоугольника.
Цвет рисования ЦВЕТ	Установить текущий цвет рисования.
Цвет закраски ЦВЕТ	Установить текущий цвет закраски.
Закрасить X, Y, ЦВЕТ ГРАНИЦЫ	Закрасить произвольную замкнутую фигуру; X, Y – координаты любой точки внутри замкнутой фигуры, ЦВЕТ ГРАНИЦЫ – цвет граничной линии.

Примеры решенных задач.

Пример №1.
Для формирования цвета используются 256 оттенков красного, 256 оттенков зеленого и 256 оттенков синего. Какое количество цветов может быть отображено на экране в этом случае?

Решение:
256*256*256=16777216.

Пример №2.
На экране с разрешающей способностью 640*200 высвечиваются только двухцветные изображения. Какой минимальный объем видеопамяти необходим для хранения изображения?

Решение.
Так как битовая глубина двухцветного изображения равна 1, а видеопамять, как минимум, должна вмещать одну страницу изображения, то объем видеопамяти равен: 640*200*1=128000 бит =16000 байт.

Пример №3.
Какой объем видеопамяти необходимы для хранения четырех страниц изображения, если битовая глубина равна 24, а разрешающая способность дисплея – 800*600 пикселей?

Решение.
Для хранения одной страницы необходимо

800*600*24 = 11 520 000 бит = 1 440 000 байт. Для 4 соответственно 1 440 000 * 4 = 5 760 000 байт.

Пример №4.
Битовая глубин равна 24. Сколько различных оттенков серого цвета может быть отображено на экране?
Замечание: Оттенок серого цвета получается при равных значениях уровней яркости всех трех составляющих. Если все три составляющие имеют максимальный уровень яркости, то получается белый цвет; отсутствие всех трех составляющих представляет черный цвет.

Решение.
Так как для получения серых оттенков составляющие RGB одинаковы, то глубина равна 24/3=8. Получаем количество цветов 2 8 =256.

Пример №5.
Дана растровая сетка 10*10. Описать буку «К» последовательностью векторных команд.

Решение:
В векторном представлении буква «К» - это три линии. Всякая линия описывается указанием координат ее концов в виде: ЛИНИЯ (X1,Y1,X2,Y2). Изображение буквы «К» будет описываться следующим образом:

ЛИНИЯ (4,2,4,8)
ЛИНИЯ (5,5,8,2)
ЛИНИЯ (5,5,8,8)

Задачи для самостоятельной работы.

№1. Какой объем видеопамяти необходим для хранения двух страниц изображения при условии, что разрешающая способность дисплея равна 640*350 пикселей, а количество используемых цветов – 16?

№2. Объем видеопамяти равен 1 Мб. Разрешающая способность дисплея – 800*600. Какое максимальное количество цветов можно использовать при условии, что видеопамять делится на две страницы?

№3. Битовая глубина равна 24. Опишите несколько вариантов двоичного представления светло-серых и темно-серых оттенков.

№4. На экране компьютера необходимо получить 1024 оттенка серого цвета. Какой должна быть битовая глубина?

№5. Для изображения десятичных цифр в стандарте почтового индекса (как пишут на конвертах) получить векторное и растровое представление. Размер растровой сетки выбрать самостоятельно.

№6. Воспроизвести на бумаге рисунки, используя векторные команды. Разрешающая способность 64*48.

А)
Цвет рисования Красный
Цвет закраски Желтый
Окружность 16, 10, 2
Закрасить 16, 10, Красный
Установить 16, 12
Линия к 16, 23
Линия к 19, 29
Линия к 21, 29
Линия 16, 23, 13, 29
Линия 13, 29, 11, 29
Линия 16, 16, 11, 12
Линия 16, 16, 21, 12

Б)
Цвет рисования Красный
Цвет закраски Красный
Окружность 20, 10, 5
Окружность 20, 10, 10
Закрасить 25, 15, Красный
Окружность 20, 30, 5
Окружность 20, 30, 10
Закрасить 28, 32, Красный

Человек способен воспринимать и хранить информацию в форме образов (зрительных, звуковых, осязательных, вкусовых и обонятельных). Зрительные образы могут быть сохранены в виде изображений (рисунков, фотографий и так далее), а звуковые - зафиксированы на пластинках, магнитных лентах, лазерных дисках и так далее.

Информация, в том числе графическая и звуковая, может быть представлена в аналоговой или дискретной форме. При аналоговом представлении физическая величина принимает бесконечное множество значений, причем ее значения изменяются непрерывно. При дискретном представлении физическая величина принимает конечное множество значений, причем ее величина изменяется скачкообразно.

Примером аналогового представления графической информации может служить, например, живописное полотно, цвет которого изменяется непрерывно, а дискретного– изображение, напечатанное с помощью струйного принтера и состоящее из отдельных точек разного цвета. Примером аналогового хранения звуковой информации является виниловая пластинка (звуковая дорожка изменяет свою форму непрерывно), а дискретного– аудиокомпакт-диск (звуковая дорожка которого содержит участки с различной отражающей способностью).

Преобразование графической и звуковой информации из аналоговой формы в дискретную производится путем дискретизации, то есть разбиения непрерывного графического изображения и непрерывного (аналогового) звукового сигнала на отдельные элементы. В процессе дискретизации производится кодирование, то есть присвоение каждому элементу конкретного значения в форме кода.

Дискретизация – это преобразование непрерывных изображений и звука в набор дискретных значений в форме кодов.

Кодирование изображений

Создавать и хранить графические объекты в компьютере можно двумя способами – как растровое или как векторное изображение. Для каждого типа изображений используется свой способ кодирования.

Кодирование растровых изображений

Растровое изображение представляет собой совокупность точек (пикселей) разных цветов. Пиксель– минимальный участок изображения, цвет которого можно задать независимым образом.

В процессе кодирования изображения производится его пространственная дискретизация. Пространственную дискретизацию изображения можно сравнить с построением изображения из мозаики (большого количества маленьких разноцветных стекол). Изображение разбивается на отдельные маленькие фрагменты (точки), причем каждому фрагменту присваивается значение его цвета, то есть код цвета (красный, зеленый, синий и так далее).

Для черно-белого изображения информационный объем одной точки равен одному биту (либо черная, либо белая – либо 1, либо 0).

Для четырех цветного – 2 бита.

Для 8 цветов необходимо – 3 бита.

Для 16 цветов – 4 бита.

Для 256 цветов – 8 бит (1 байт).

Качество изображения зависит от количества точек (чем меньше размер точки и, соответственно, больше их количество, тем лучше качество) и количества используемых цветов (чем больше цветов, тем качественнее кодируется изображение).

Для представления цвета в виде числового кода используются две обратных друг другу цветовые модели: RGB или CMYK . Модель RGB используется в телевизорах, мониторах, проекторах, сканерах, цифровых фотоаппаратах… Основные цвета в этой модели: красный (Red), зеленый (Green), синий (Blue). Цветовая модель CMYK используется в полиграфии при формировании изображений, предназначенных для печати на бумаге.

Цветные изображения могут иметь различную глубину цвета, которая задается количеством битов, используемых для кодирования цвета точки.

Если кодировать цвет одной точки изображения тремя битами (по одному биту на каждый цвет RGB), то мы получим все восемь различных цветов.

			Цвет
			Пурпурный

На практике же, для сохранения информации о цвете каждой точки цветного изображения в модели RGB обычно отводится 3 байта (то есть 24 бита) - по 1 байту (то есть по 8 бит) под значение цвета каждой составляющей. Таким образом, каждая RGB-составляющая может принимать значение в диапазоне от 0 до 255 (всего 2 8 =256 значений), а каждая точка изображения, при такой системе кодирования может быть окрашена в один из 16 777 216 цветов. Такой набор цветов принято называть True Color (правдивые цвета), потому что человеческий глаз все равно не в состоянии различить большего разнообразия.

Для того чтобы на экране монитора формировалось изображение, информация о каждой точке (код цвета точки) должна храниться в видеопамяти компьютера. Рассчитаем необходимый объем видеопамяти для одного из графических режимов. В современных компьютерах разрешение экрана обычно составляет 1280х1024 точек. Т.е. всего 1280 * 1024 = 1310720 точек. При глубине цвета 32 бита на точку необходимый объем видеопамяти: 32 * 1310720 = 41943040 бит = 5242880 байт = 5120 Кб = 5 Мб.

Растровые изображения очень чувствительны к масштабированию (увеличению или уменьшению). При уменьшении растрового изображения несколько соседних точек преобразуются в одну, поэтому теряется различимость мелких деталей изображения. При увеличении изображения увеличивается размер каждой точки и появляется ступенчатый эффект, который можно увидеть невооруженным глазом.

Замену непрерывного изображения дискретным можно выполнить различными способами. Можно, например, выбрать какую-либо систему ортогональных функций и, вычислив коэффициенты представления изображения по этой системе (по этому базису), заменить ими изображение. Многообразие базисов дает возможность образования различных дискретных представлений непрерывного изображения. Однако наиболее употребительной является периодическая дискретизация, в частности, как упоминалось выше, дискретизация с прямоугольным растром. Такой способ дискретизации может рассматриваться как один из вариантов применения ортогонального базиса, использующего в качестве своих элементов сдвинутые -функции. Далее, следуя, в основном, , подробно рассмотрим основные особенности прямоугольной дискретизации.

Пусть - непрерывное изображение, а - соответствующее ему дискретное, полученное из непрерывного путем прямоугольной дискретизации. Это означает, что связь между ними определяется выражением:

где - соответственно вертикальный и горизонтальный шаги или интервалы дискретизации. Рис.1.1 иллюстрирует расположение отсчетов на плоскости при прямоугольной дискретизации.

Основной вопрос, который возникает при замене непрерывного изображения дискретным, состоит в определении условий, при которых такая замена является полноценной, т.е. не сопровождается потерей информации, содержащейся в непрерывном сигнале. Потери отсутствуют, если, располагая дискретным сигналом, можно восстановить непрерывный. С математической точки зрения вопрос, таким образом, заключается в восстановлении непрерывного сигнала в двумерных промежутках между узлами, в которых его значения известны или, иными словами, в осуществлении двумерной интерполяции. Ответить на этот вопрос можно, анализируя спектральные свойства непрерывного и дискретного изображений.

Двумерный непрерывный частотный спектр непрерывного сигнала определяется двумерным прямым преобразованием Фурье:

которому отвечает двумерное обратное непрерывное преобразование Фурье:

Последнее соотношение верно при любых значениях , в том числе и в узлах прямоугольной решетки . Поэтому для значений сигнала в узлах, учитывая (1.1), соотношение (1.3) можно записать в виде:

Обозначим для краткости через прямоугольный участок в двумерной частотной области . Вычисление интеграла в (1.4) по всей частотной области можно заменить интегрированием по отдельным участкам и суммированием результатов:

Выполняя замену переменных по правилу , добиваемся независимости области интегрирования от номеров и :

Здесь учтено, что при любых целых значениях и . Данное выражение по своей форме очень близко к обратному преобразованию Фурье. Отличие состоит лишь в неправильном виде экспоненциального множителя. Для придания ему необходимого вида введем нормированные частоты и выполним в соответствии с этим замену переменных. В результате получим:

Теперь выражение (1.5) имеет форму обратного преобразования Фурье, следовательно, стоящая под знаком интеграла функция

(1.6)

является двумерным спектром дискретного изображения. В плоскости ненормированных частот выражение (1.6) имеет вид:

(1.7)

Из (1.7) следует, что двумерный спектр дискретного изображения является прямоугольно периодическим с периодами и по осям частот и соответственно. Спектр дискретного изображения образуется в результате суммирования бесконечного количества спектров непрерывного изображения, отличающихся друг от друга частотными сдвигами и . Рис.1.2 качественно показывает соотношение между двумерными спектрами непрерывного (рис.1.2.а) и дискретного (рис.1.2.б) изображений.

Рис. 1.2. Частотные спектры непрерывного и дискретного изображений

Сам результат суммирования существенно зависит от значений этих частотных сдвигов, или, иными словами, от выбора интервалов дискретизации . Допустим, что спектр непрерывного изображения отличен от нуля в некоторой двумерной области в окрестности нулевой частоты, т. е. описывается двумерной финитной функцией. Если при этом интервалы дискретизации выбраны так, что при , , то наложения отдельных ветвей при формировании суммы (1.7) происходить не будет. Следовательно, в пределах каждого прямоугольного участка от нуля будет отличаться лишь одно слагаемое. В частности, при имеем:

при , . (1.8)

Таким образом, в пределах частотной области спектры непрерывного и дискретного изображений с точностью до постоянного множителя совпадают. При этом спектр дискретного изображения в этой частотной области содержит полную информацию о спектре непрерывного изображения. Подчеркнем, что данное совпадение имеет место лишь при оговоренных условиях, определяемых удачным выбором интервалов дискретизации. Отметим, что выполнение этих условий, согласно (1.8), достигается при достаточно малых значениях интервалов дискретизации , которые должны удовлетворять требованиям:

в которых - граничные частоты двумерного спектра.

Соотношение (1.8) определяет способ получения непрерывного изображения из дискретного . Для этого достаточно выполнить двумерную фильтрацию дискретного изображения низкочастотным фильтром с частотной характеристикой

Спектр изображения на его выходе содержит ненулевые компоненты лишь в частотной области и равняется, согласно (1.8), спектру непрерывного изображения . Это означает, что изображение на выходе идеального фильтра низких частот совпадает с .

Таким образом, идеальное интерполяционное восстановление непрерывного изображения выполняется при помощи двумерного фильтра с прямоугольной частотной характеристикой (1.10). Нетрудно записать в явном виде алгоритм восстановления непрерывного изображения. Двумерная импульсная характеристика восстанавливающего фильтра, которую легко получить при помощи обратного преобразования Фурье от (1.10), имеет вид:

.

Продукт фильтрации может быть определен при помощи двумерной свертки входного изображения и данной импульсной характеристики. Представив входное изображение в виде двумерной последовательности -функций

после выполнения свертки находим:

Полученное соотношение указывает способ точного интерполяционного восстановления непрерывного изображения по известной последовательности его двумерных отсчетов. Согласно этому выражению для точного восстановления в роли интерполирующих функций должны использоваться двумерные функции вида . Соотношение (1.11) представляет собой двумерный вариант теоремы Котельникова-Найквиста.

Подчеркнем еще раз, что эти результаты справедливы, если двумерный спектр сигнала является финитным, а интервалы дискретизации достаточно малы. Справедливость сделанных выводов нарушается, если хотя бы одно из этих условий не выполняется. Реальные изображения редко имеют спектры с ярко выраженными граничными частотами. Одной из причин, приводящих к неограниченности спектра, является ограниченность размеров изображения. Из-за этого при суммировании в (1.7) в каждой из зон проявляется действие слагаемых из соседних спектральных зон. При этом точное восстановление непрерывного изображения становится вообще невозможным. В частности, не приводит к точному восстановлению и использование фильтра с прямоугольной частотной характеристикой.

Особенностью оптимального восстановления изображения в промежутках между отсчетами является использование всех отсчетов дискретного изображения, как это предписывается процедурой (1.11). Это не всегда удобно, часто требуется восстанавливать сигнал в локальной области, опираясь на некоторое небольшое количество имеющихся дискретных значений. В этих случаях целесообразно применять квазиоптимальное восстановление при помощи различных интерполирующих функций. Такого рода задача возникает, например, при решении проблемы привязки двух изображений, когда из-за геометрических расстроек этих изображений имеющиеся отсчеты одного из них могут соответствовать некоторым точкам, находящимся в промежутках между узлами другого. Решение этой задачи более подробно обсуждается в последующих разделах данного пособия.

Рис. 1.3. Влияние интервала дискретизации на восстановление изображения «Отпечаток пальца»

Рис. 1.3 иллюстрирует влияние интервалов дискретизации на восстановление изображений. Исходное изображение, представляющее собой отпечаток пальца, приведено на рис. 1.3, а, а одно из сечений его нормированного спектра - на рис. 1.3, б. Данное изображение является дискретным, а в качестве граничной частоты использовано значение . Как следует из рис. 1.3, б, значение спектра на этой частоте пренебрежимо мало, что гарантирует качественное восстановление. По сути дела, наблюдаемая на рис. 1.3.а картина и является результатом восстановления непрерывного изображения, а роль восстанавливающего фильтра выполняет устройство визуализации - монитор или принтер. В этом смысле изображение рис. 1.3.а может рассматриваться как непрерывное.

Рис. 1.3, в, г показывают последствия от неправильного выбора интервалов дискретизации. При их получении осуществлялась “дискретизация непрерывного” изображения рис. 1.3.а путем прореживания его отсчетов. Рис. 1.3, в соответствует увеличению шага дискретизации по каждой координате в три, а рис. 1.3, г - в четыре раза. Это было бы допустимо, если бы значения граничных частот были ниже в такое же число раз. В действительности, как видно из рис. 1.3, б, происходит нарушение требований (1.9), особенно грубое при четырехкратном прореживании отсчетов. Поэтому восстановленные при помощи алгоритма (1.11) изображения оказываются не только расфокусированными, но и сильно искажают текстуру отпечатка.

Рис. 1.4. Влияние интервала дискретизации на восстановление изображения «Портрет»

На рис. 1.4 приведена аналогичная серия результатов, полученных для изображения типа “портрет”. Последствия более сильного прореживания (в четыре раза на рис. 1.4.в и в шесть раз на рис. 1.4.г) проявляются в основном в потере четкости. Субъективно потери качества представляются менее значительными, чем на рис. 1.3. Это находит свое объяснение в значительно меньшей ширине спектра, чем у изображения отпечатка пальца. Дискретизация исходного изображения соответствует граничной частоте . Как видно из рис. 1.4.б, это значение намного превышает истинное значение . Поэтому увеличение интервала дискретизации, иллюстрируемое рис. 1.3, в, г, хотя и ухудшает картину, все же не приводит к таким разрушительным последствиям, как в предыдущем примере.

Тема 9. Цифровое представление изображений (2 часа) .
Многие отрасли техники, имеющие отношение к получению, обработке, хранению и передаче информации, в значительной степени ориентируются в настоящее время на развитие систем, в которых информация имеет характер изображений. Изображение, которое можно рассматривать как двумерный сигнал, является значительно более емким носителем информации, чем обычный одномерный (временной) сигнал. Вместе с тем, решение научных и инженерных задач при работе с визуальными данными требует особых усилий, опирающихся на знание специфических методов, поскольку традиционная идеология одномерных сигналов и систем мало пригодна в этих случаях. В особой мере это проявляется при создании новых типов информационных систем, решающих такие проблемы, которые до сих пор в науке и технике не решались, и которые решаются сейчас благодаря использованию информации визуального характера.

В связи с этим, в вузовских программах появляются дисциплины, направленные на изучение принципов обработки изображений, причем, приоритетное внимание уделяется цифровым методам, привлекательным своей гибкостью. Отсутствие учебной литературы является сильным препятствием данному изучению, что и побудило авторов к написанию пособия. Следует отметить, что ограниченный объем не позволил охватить многие важные аспекты проблемы цифровой обработки изображений. Авторы пособия, читающие курс цифровой обработки изображений в БГУИР, исходили из своих представлений о важности тех или иных разделов, а также опирались на многолетний научно-исследовательский и педагогический опыт.

^ 9.1. Типы изображений

Цифровое изображение представляет собой прямоугольную табли-цу точек, или элементов изображения, расположенных в т строках и п столбцах. Выражение т х п называется разрешением изображения (хотя иногда этот термин используется для обозначения чи-сла пикселей, приходящихся на единицу длины изображения). Точки изображения называются пикселами (за исключением случаев, когда изображение передается факсом или видео; в этих случаях точка называется пелом). Для целей сжатия графических образов удобно выделить следующие типы изображений:

1. Двухуровневое (или монохроматическое) изображение. В этом случае все пикселы могут иметь только два значения, которые обычно называют черным (двоичная единица, или основной цвет) и белым (двоичный нуль или цвет фона). Каждый пиксел такого изображения представлен одним битом, поэтому это самый простой тип изображения.

2. Полутоновое изображение. Каждый пиксел такого изображения может иметь значений от 0 до
, обозначающих одну из 2 п градаций серого (или иного) цвета. Число п обычно сравнимо с размером байта, то есть, оно равно 4, 8,12,16, 24 или другое кратное 4 или 8. Множество самых значимых битов всех пикселов образуют самую значимую битовую плоскость или слой изображения. Итак, полутоновое изображение со шкалой из уровней составлено из п битовых слоев.

3. ^ Цветное изображение. Существует несколько методов задания цвета, но в каждом из них участвуют три параметра. Следователь-но, цветной пиксел состоит из трех частей. Обычно, цветной пиксел состоит из трех байтов. Типичными цветовыми моделями являются RGB, HLS и CMYK.

4. Изображение с непрерывным тоном. Этот тип изображений может иметь много похожих цветов (или полутонов). Когда соседние пикселы отличаются всего на единицу, глазу практически невозможно различить их цвета. В результате такие изображения могут содержать области, в которых цвет кажется глазу непрерывно меняющимся. В этом случае пиксел представляется или большим числом (в полутоновом случае) или тремя компонентами (в случае цветного образа). Изображения с непрерывным тоном являются природными или естественными (в отличие от рукотворных, искусственных); обычно они получаются при съемке на цифровую фотокамеру или при сканировании фотографий или рисунков.

5. Дискретно-тоновое изображение (оно еще называется синтетическим). Обычно, это изображение получается искусственным путем. В нем может быть всего несколько цветов или много цветов, но в нем нет шумов и пятен естественного изображения. Примерами таких изображений могут служить фотографии искусственных объектов, машин или механизмов, страницы текста, карты, рисунки или изображения на дисплее компьютера. (Не каждое искусственное изображение будет обязательно дискретно-тоновым. Сгенерирован-ное компьютером изображение, которое должно выглядеть натуральным, будет иметь непрерывные тона, несмотря на свое искусственное происхождение.) Искусственные объекты, тексты, нарисованные линии имеют форму, хорошо определяемые границы. Они сильно контрастируют на фоне остальной части изображения (фона). Прилегающие пикселы дискретно-тонового образа часто бывают одиночными или сильно меняют свои значения. Такие изо-бражения плохо сжимаются методами с потерей данных, поскольку искажение всего нескольких пикселов буквы делает ее неразборчивой, преобразует привычное начертание в совершенно неразличимое. Методы сжатия изображений с непрерывными тонами плохо обращаются с четкими краями дискретно-тоновых образов, для которых следует разрабатывать особые методы компрессии. Отметим, что дискретно-тоновые изображения, обычно, несут в себе большую избыточность. Многие ее фрагменты повторяются много раз в разных местах изображения.

6. Изображения, подобные мультфильмам. Это цветные изображения, в которых присутствуют большие области одного цвета. При этом соприкасающиеся области могут весьма различаться по своему цвету. Это свойство можно использовать для достижения лучшей компрессии.

Интуитивно становится ясно, что каждому типу изображений присуща определенная избыточность, но все они избыточны по-разному. Поэтому трудно создать один метод, который одинаково хорошо сжимает любые типы изображений. Существуют отдельные методы для сжатия двухуровневых образов, непрерывно-тоновых и дискретно-тоновых изображений. Существуют также методы, ко-торые пытаются разделить изображение на непрерывно-тоновую и дискретно-тоновую части и сжимать их по отдельности.
^ 9.2. Дискретизация непрерывных изображений

Очень редко изображения, получаемые в информационных системах, имеют цифровую форму. Поэтому их преобразование к этому виду является обязательной операцией, если предполагается использовать цифровую обработку, передачу, хранение. Как и при одномерных сигналах, данное преобразование включает в себя две процедуры. Первая состоит в замене непрерывного кадра дискретным и обычно называется дискретизацией, а вторая выполняет замену непрерывного множества значений яркости множеством квантованных значений и носит название квантования. При цифровом представлении каждому из квантованных значений яркости ставится в соответствие двоичное число, чем и достигается возможность ввода изображения в ЭВМ.

Двумерный характер изображения по сравнению с обычными сигналами содержит дополнительные возможности оптимизации цифрового представления с целью сокращения объема получаемых цифровых данных. В связи с этим изучался вопрос о наилучшем размещении уровней квантования, а также об использовании различных растров, другие аспекты данной задачи. Следует, однако, сказать, что в подавляющем большинстве случаев на практике применяют дискретизацию, основанную на использовании прямоугольного растра, и равномерное квантование яркости. Это связано с простотой выполнения соответствующих операций и относительно небольшими преимуществами от использования оптимальных преобразований. При использовании прямоугольного растра в окончательном виде цифровое изображение обычно представляет собой матрицу, строки и столбцы которой соответствуют строкам и столбцам изображения.

Замену непрерывного изображения дискретным можно выполнить различными способами. Можно, например, выбрать какую-либо систему ортогональных функций и, вычислив коэффициенты представления изображения по этой системе (по этому базису), заменить ими изображение. Многообразие базисов дает возможность образования различных дискретных представлений непрерывного изображения. Однако наиболее употребительной является периодическая дискретизация, в частности, как упоминалось выше, дискретизация с прямоугольным растром. Такой способ дискретизации может рассматриваться как один из вариантов применения ортогонального базиса, использующего в качестве своих элементов сдвинутые -функции. Далее, следуя, в основном, подробно рассмотрим основные особенности прямоугольной дискретизации.

Пусть - непрерывное изображение, а -соответствующее ему дискретное, полученное из непрерывного путем прямоугольной дискретизации. Это означает, что связь между ними определяется выражением:

Где - соответственно вертикальный и горизонтальный шаги или интервалы дискретизации. Рис. 9.1 иллюстрирует расположение отсчетов на плоскости при прямоугольной дискретизации.

Основной вопрос, который возникает при замене непрерывного изображения дискретным, состоит в определении условий, при которых такая замена является полноценной, т.е. не сопровождается потерей информации, содержащейся в непрерывном сигнале. Потери отсутствуют, если, располагая дискретным сигналом, можно восстановить непрерывный. С математической точки зрения вопрос, таким образом, заключается в восстановлении непрерывного сигнала в двумерных промежутках между узлами, в которых его значения известны или, иными словами, в осуществлении двумерной интерполяции. Ответить на этот вопрос можно, анализируя спектральные свойства непрерывного и дискретного изображений.

Двумерный непрерывный частотный спектр непрерывного сигнала определяется двумерным прямым преобразованием Фурье:

Которому отвечает двумерное обратное непрерывное преобразование Фурье:

Последнее соотношение верно при любых значениях , в том числе и в узлах прямоугольной решетки . Поэтому для значений сигнала в узлах, учитывая (9.1), соотношение (9.3) можно записать в виде:

Обозначим для краткости через прямоугольный участок в двумерной частотной области

Вычисление интеграла в (1.4) по всей частотной области можно заменить интегрированием по отдельным участкам и суммированием результатов:

Выполняя замену переменных по правилу , добиваемся независимости области интегрирования от номеров и :

Здесь учтено, что при любых целых значениях и . Данное выражение по своей форме очень близко к обратному преобразованию Фурье. Отличие состоит лишь в неправильном виде экспоненциального множителя. Для придания ему необходимого вида введем нормированные частоты и выполним в соответствии с этим замену переменных. В результате получим:

(9.5)

Теперь выражение (5) имеет форму обратного преобразования Фурье, следовательно стоящая под знаком интеграла функция

(9.6)

Является двумерным спектром дискретного изображения. В плоскости ненормированных частот выражение (9.6) имеет вид:

(9.7)

Из (9.7) следует, что двумерный спектр дискретного изображения является прямоугольно периодическим с периодами и по осям частот и соответственно. Спектр дискретного изображения образуется в результате суммирования бесконечного количества спектров непрерывного изображения, отличающихся друг от друга частотными сдвигами и . Рис.9.2 качественно показывает соотношение между двумерными спектрами непрерывного (рис.9.2.а) и дискретного (рис.9.2.б) изображений.

а)	б)
Рис. 9.2. Частотные спектры непрерывного и дискретного изображений

Сам результат суммирования существенно зависит от значений этих частотных сдвигов, или, иными словами, от выбора интервалов дискретизации . Допустим, что спектр непрерывного изображения отличен от нуля в некоторой двумерной области в окрестности нулевой частоты, т. е. описывается двумерной финитной функцией. Если при этом интервалы дискретизации выбраны так, что при , , то наложения отдельных ветвей при формировании суммы (9.7) происходить не будет. Следовательно, в пределах каждого прямоугольного участка от нуля будет отличаться лишь одно слагаемое. В частности, при имеем:

при
, . (9.8)

Таким образом, в пределах частотной области спектры непрерывного и дискретного изображений с точностью до постоянного множителя совпадают. При этом спектр дискретного изображения в этой частотной области содержит полную информацию о спектре непрерывного изображения. Подчеркнем, что данное совпадение имеет место лишь при оговоренных условиях, определяемых удачным выбором интервалов дискретизации. Отметим, что выполнение этих условий, согласно (9.8), достигается при достаточно малых значениях интервалов дискретизации , которые должны удовлетворять требованиям:

, , (9.9)

В которых - граничные частоты двумерного спектра.

Соотношение (9.8) определяет способ получения непрерывного изображения из дискретного . Для этого достаточно выполнить двумерную фильтрацию дискретного изображения низкочастотным фильтром с частотной характеристикой

Спектр изображения на его выходе содержит ненулевые компоненты лишь в частотной области и равняется, согласно (9.8), спектру непрерывного изображения . Это означает, что изображение на выходе идеального фильтра низких частот совпадает с .

Таким образом, идеальное интерполяционное восстановление непрерывного изображения выполняется при помощи двумерного фильтра с прямоугольной частотной характеристикой (9.10). Нетрудно записать в явном виде алгоритм восстановления непрерывного изображения. Двумерная импульсная характеристика восстанавливающего фильтра, которую легко получить при помощи обратного преобразования Фурье от (9.10), имеет вид:

.

Продукт фильтрации может быть определен при помощи двумерной свертки входного изображения и данной импульсной характеристики. Представив входное изображение в виде двумерной последовательности -функций

После выполнения свертки находим:

(9.11)

Полученное соотношение указывает способ точного интерполяционного восстановления непрерывного изображения по известной последовательности его двумерных отсчетов. Согласно этому выражению для точного восстановления в роли интерполирующих функций должны использоваться двумерные функции вида . Соотношение (9.11) представляет собой двумерный вариант теоремы Котельникова-Найквиста.

Подчеркнем еще раз, что эти результаты справедливы, если двумерный спектр сигнала является финитным, а интервалы дискретизации достаточно малы. Справедливость сделанных выводов нарушается, если хотя бы одно из этих условий не выполняется. Реальные изображения редко имеют спектры с ярко выраженными граничными частотами. Одной из причин, приводящих к неограниченности спектра, является ограниченность размеров изображения. Из-за этого при суммировании в (9.7) в каждой из зон проявляется действие слагаемых из соседних спектральных зон. При этом точное восстановление непрерывного изображения становится вообще невозможным. В частности, не приводит к точному восстановлению и использование фильтра с прямоугольной частотной характеристикой.

Особенностью оптимального восстановления изображения в промежутках между отсчетами является использование всех отсчетов дискретного изображения, как это предписывается процедурой (9.11). Это не всегда удобно, часто требуется восстанавливать сигнал в локальной области, опираясь на некоторое небольшое количество имеющихся дискретных значений. В этих случаях целесообразно применять квазиоптимальное восстановление при помощи различных интерполирующих функций. Такого рода задача возникает, например, при решении проблемы привязки двух изображений, когда из-за геометрических расстроек этих изображений имеющиеся отсчеты одного из них могут соответствовать некоторым точкам, находящимся в промежутках между узлами другого. Решение этой задачи более подробно обсуждается в последующих разделах данного пособия.

а)	б)
в)	г)
Рис. 9.3. Влияние интервала дискретизации на восстановление изображения «Отпечаток пальца»

Рис. 9.3 иллюстрирует влияние интервалов дискретизации на восстановление изображений. Исходное изображение, представляющее собой отпечаток пальца, приведено на рис. 9.3.а, а одно из сечений его нормированного спектра - на рис. 9.3.б. Данное изображение является дискретным, а в качестве граничной частоты использовано значение . Как следует из рис. 9.3.б, значение спектра на этой частоте пренебрежимо мало, что гарантирует качественное восстановление. По сути дела, наблюдаемая на рис. 9.3.а картина и является результатом восстановления непрерывного изображения, а роль восстанавливающего фильтра выполняет устройство визуализации - монитор или принтер. В этом смысле изображение рис. 9.3.а может рассматриваться как непрерывное.

Рис. 9.3.в,г показывают последствия от неправильного выбора интервалов дискретизации. При их получении осуществлялась “дискретизация непрерывного” изображения рис. 9.3.а путем прореживания его отсчетов. Рис. 3.в соответствует увеличению шага дискретизации по каждой координате в три, а рис. 9.3.г - в четыре раза. Это было бы допустимо, если бы значения граничных частот были ниже в такое же число раз. В действительности, как видно из рис.9.3.б, происходит нарушение требований (9.9), особенно грубое при четырехкратном прореживании отсчетов. Поэтому восстановленные при помощи алгоритма (9.11) изображения оказываются не только расфокусированными, но и сильно искажают текстуру отпечатка.

а)	б)
в)	г)
Рис. 9.4. Влияние интервала дискретизации на восстановление изображения «Портрет»

На рис. 9.4 приведена аналогичная серия результатов, полученных для изображения типа “портрет”. Последствия более сильного прореживания (в четыре раза на рис. 9.4.в и в шесть раз на рис. 9.4.г) проявляются в основном в потере четкости. Субъективно потери качества представляются менее значительными, чем на рис. 9.3. Это находит свое объяснение в значительно меньшей ширине спектра, чем у изображения отпечатка пальца. Дискретизация исходного изображения соответствует граничной частоте . Как видно из рис. 9.4.б, это значение намного превышает истинное значение . Поэтому увеличение интервала дискретизации, иллюстрируемое рис. 3.в,г, хотя и ухудшает картину, все же не приводит к таким разрушительным последствиям, как в предыдущем примере.
^ 9.3. Квантование изображений

При цифровой обработке изображений непрерывный динамический диапазон значений яркости делится на ряд дискретных уровней. Эта процедура называется квантованием. Квантователь преобразует непрерывную переменную в дискретную переменную , принимающую конечное множество значений . Эти значения называются уровнями квантования. В общем случае преобразование выражается ступенчатой функцией (рис. 9.5). Если яркость отсчета изображения принадлежит интервалу (т.е., когда ), то исходный отсчет заменяется на уровень квантования , где - пороги квантования. При этом полагается, что динамический диапазон значений яркости ограничен и равен .


Рис. 9.5.Функция, описывающая квантование
Задача построения квантователя состоит в определении значений порогов и уровней . Простейший способ решения этой задачи состоит в разбиении динамического диапазона на одинаковые интервалы. Однако такое решение не является наилучшим. Если значения яркости большинства отсчетов изображения сгруппированы, например, в «темной» области и число уровней ограничено, то целесообразно квантовать неравномерно. В «темной» области следует квантовать чаще, а в «светлой» реже. Это позволит уменьшить ошибку квантования .

Таким образом, задачу построения квантователя можно сформулировать как задачу нахождения оптимальных значений и , удовлетворяющих некоторому критерию оптимизации. Обычно при фиксированном числе уровней квантователь оптимизируется по критерию минимальной среднеквадратической ошибки

, (9.12)

В предположении, что яркость - случайная величина с известной плотностью вероятности .

Cреднеквадратическая ошибка квантования (9.12) равна

. (9.13)

Дифференцируя (9.13) по переменным , и приравнивая производные нулю, получаем нелинейных уравнений

.

Следует отметить, что крайние пороги и определяются динамическим диапазоном яркости. Уравнения (9.14) нетрудно привести к виду

.

Из (9.15) следует, что пороги должны располагаться по середине между двумя соседними уровнями и . Решение этих уравнений можно найти итеративным способом. Оптимальный квантователь, удовлетворяющий критерию (9.12), называется квантователем Ллойда-Макса, а среднеквадратическая ошибка для такого квантователя равна

(9.16)

При равномерном распределении яркости нелинейные уравнения (9.15) можно представить в виде

,

А среднеквадратическая ошибка равна
.

В системах цифровой обработки изображений стремятся уменьшить число уровней и порогов квантования, т.к. от их количества зависит длина двоичного кодового слова, которым представляются проквантованные отсчеты в ЭВМ. Однако при относительно небольшом числе уровней на проквантованном изображении появляются ложные контуры. Они возникают вследствие скачкообразного изменения яркости проквантованного изображения (рис.9.6) и особенно заметны на пологих участках ее изменения.

Ложные контуры значительно ухудшают визуальное качество изображения, т.к. зрение человека особенно чувствительно именно к контурам. При равномерном квантовании типичных изображений требуется не менее 64 уровней. На рис. 9.7 .а и 9.7.б приведены результаты равномерного квантования изображения «Портрет» соответственно на 256 и 14 уровней квантования.

Рис. 9.6. К механизму возникновения ложных контуров

В темных частях изображения заметны ложные контуры. Использование квантователя Ллойда-Макса позволяет существенно снизить их уровень (рис. 9.8, где число уровней квантования также равно 14). На рис. 9.9 приведена гистограмма яркости изображения «Портрет» при 256 уровнях квантования и отмечены пороги при . Из рисунка следует, что чаще квантуются те области динамического диапазона, в которых сгруппированы значения яркости отсчетов.

Чтобы избежать неравномерного квантования, которое не может быть выполнено с помощью стандартного АЦП, используют нелинейные преобразования (рис. 9.10). Отсчет исходного изображения подвергается нелинейному преобразованию, чтобы плотность распределения вероятностей преобразованных отсчетов была равномерной, т.е. выполняется процедура эквализации. Затем отсчеты квантуются с равномерным шагом и подвергаются обратному нелинейному преобразованию.

Рис.9.10. Квантование с предварительным нелинейным преобразованием
Для разрушения ложных контуров Робертс предложил перед равномерным квантованием к отсчетам яркости добавлять шум с равномерной плотностью распределения вероятностей. Добавленный шум переводит одни отсчеты изображения на уровень выше, а другие на уровень ниже. Тем самым разрушаются ложные контуры. Дисперсия добавляемого шума должна быть небольшой, чтобы не привести к искажениям, воспринимаемым как «снег» на изображении, и в то же время достаточной для разрушения ложных контуров. Обычно используют равномерно распределенный шум на интервале . Результаты равномерного квантования на 14 и 8 уровней изображения «Портрет» с предварительным добавлением шума приведены на рис.9.11.а и 9.11.б. При 8-ми уровнях квантования добавляемый шум становится слишком заметным, однако ложные контуры разрушены практически полностью.

Еще один метод квантования используется в полиграфии. Это метод формирования растровых бинарных (2-х уровневых) изображений из полутоновых. При печати (например, газет или журналов) изображение формируется из белых и черных точек. Для этого все исходное изображение разбивается по пространственным координатам на одинаковые квадратные блоки. Обычно блок содержит элементов. К каждому отсчету блока добавляется число с соответствующими координатами из матрицы возмущающего сигнала, размеры которой равны размерам блока. Например, в качестве матрицы возмущающего сигнала используют числа:

.

Эта операция повторяется для всех блоков. Получаемое при этом изображение квантуется на два уровня. На рис. 9.12.а приведено полутоновое изображение «Портрет» с добавленным возмущающим сигналом. На рис. 9.12.б,в приведены результаты бинарного квантования изображения «Портрет» с добавленным возмущающим сигналом (рис.9.13.б) и без него (рис.9.13.в).

б)	в)
Рис.9.12.Растрирование изображений

Бинарное растровое изображение обеспечивает значительно лучшее зрительное впечатление, чем обычное бинарное изображение. Передача шкалы яркости при растрировании достигается благодаря изменению геометрических размеров белого пятна, наблюдаемого на черном фоне. Если в блоке сгруппировались «светлые» отсчеты, то геометрические размеры белого пятна максимальны и равны размеру блока. При уменьшении яркости его геометрические размеры также уменьшаются. Глаз человека выполняет локальное усреднение, создавая иллюзию наблюдения полутонового изображения. Процедура растрирования особенно эффективна при печати изображений с высоким разрешением, когда одиночное пятно едва различимо глазом.

^ 9.4 Препарирование изображения

Препарирование представляет собой целый класс поэлементных преобразований изображений. Характеристики применяемых на практике процедур препарирования приведены на рис.9.13. Остановимся на описании некоторых из них.

Преобразование с пороговой характеристикой (рис. 9.13.а) превращает полутоновое изображение, содержащее все уровни яркости, в бинарное, точки

Которого имеют яркости или . Такая операция, называемая иногда бинаризацией или бинарным квантованием, может быть полезной, когда для наблюдателя важны очертания объектов, присутствующих на изображении,

А детали, содержащиеся внутри объектов или внутри фона, не представляют интереса. Основной проблемой при проведении такой обработки является определение порога , сравнение с которым яркости исходного изображения позволяет определить значение выходного изображения в каждой его точке. Наиболее оправданным для математического описания изображения является применение теории вероятностей, случайных процессов и случайных полей. При этом определение оптимального порога бинарного квантования представляет собой статистическую задачу. Статистическому подходу к обработке изображений в последующих разделах уделяется значительное внимание, в том числе и при решении задачи разделения точек изображения на два класса так называемой бинарной сегментации. Здесь же ограничимся обсуждением частного, но практически важного случая. Иногда при обработке приходится иметь дело с изображениями, хранимыми как полутоновые, но по своему содержанию мало отличающимися от бинарных.

а)	б)	в)
г)	д)	е)
ж)	з)	и)
	к)
Рис. 9.13 Примеры преобразований, используемых при препарировании

Рис. 9.14. К выбору порога бинарного квантования

К ним относятся текст, штриховые рисунки, чертежи, изображение отпечатка пальца, пример которого приведен на рис.9.15.а. Плотность вероятности , описывающая распределение яркости такого изображения, может содержать два хорошо разделяющихся пика. Интуитивно понятно, что порог бинарного квантования следует выбирать посредине провала между этими пиками, как это показано на рис.9.14. Замена исходного полутонового изображения бинарным препаратом решает две основные задачи. Во-первых, достигается бóльшая наглядность при визуальном восприятии, чем у исходного изображения. Во-вторых, ощутимо сокращается объем запоминающего устройства для хранения изображения, поскольку бинарный препарат для записи каждой точки бинарного изображения требует лишь 1 бит памяти, в то время как полутоновое изображение для решения той же задачи при наиболее часто применяемом формате представления - 8 бит. Пример бинаризации изображения отпечатка пальца приведен на рис.9.15.б.

Смысл других преобразований, представленных на рис. 9.13, нетрудно понять, рассматривая их характеристики. Например, преобразование рис. 9.13.б выполняет яростный срез изображения, выделяя те его участки, где яркость соответствует выделенному интервалу. При этом остальные участки оказываются полностью “погашенными” (имеют яркость, соответствующую уровню черного). Перемещая выделенный интервал по яркостной шкале и изменяя его ширину, можно детально исследовать содержание картины.

Рис.9.15. Пример бинаризации изображения

Преобразование, приведенное на рис.9.13.ж, также позволяет повысить детальность наблюдаемой картины в выбранном диапазоне яркостей, однако в отличие от предыдущего здесь выходное изображение использует полный динамический диапазон. По существу, это преобразование представляет собой линейное контрастирование, применяемое к избранному диапазону входного изображения. Как и в предыдущем варианте, участки, не попавшие в этот диапазон, образуют после препарирования черный фон.

Иногда наглядность изображения повышается применением преобразования типа пилообразного контрастирования. При этом различные яркостные диапазоны одновременно подвергаются локальному яркостному контрастированию. Однако необходимо иметь в виду, что данное преобразование, как и некоторые другие, может сопровождаться появлением ложных контуров на получаемом препарате.

Аналогично можно качественно рассмотреть и остальные процедуры препарирования, представленные на рис 9.13.

На рис. 9.16 приведены результаты эксперимента, в котором к аэроснимку участка земли (рис, 9.16.а) применялись преобразования типа пороговая обработка (рис. 9.16.б) и пилообразное контрастирование (рис. 9.16.в). Первое приводит к выявлению границ отдельных участков, создавая общее интегральное представление о наблюдаемой сцене. Второе, наоборот, дает возможность наблюдения мелких деталей на всех участках изображения. Сочетание двух таких возможностей может оказаться полезным наблюдателю.

а)	б)
в)
Рис. 9.16. Примеры препарирования изображения

В заключение отметим, что препарирование часто используется и в автоматических системах обработки визуальной информации, поскольку подготавливаемый при этом препарат может содержать всю информацию, необходимую для последующей (вторичной) обработки. Например, если при наблюдении из космоса требуется автоматически обнаружить на изображении некоторый объект, имеющий известную конфигурацию, то для этого может быть достаточно бинарного препарата, передающего эту конфигурацию.