Регрессионный анализ в excel. Построение уравнения множественной регрессии в Excel

13.10.2019

Построение линейной регрессии, оценивание ее параметров и их значимости можно выполнить значительнее быстрей при использовании пакета анализа Excel (Регрессия). Рассмотрим интерпретацию полученных результатов в общем случае (k объясняющих переменных) по данным примера 3.6.

В таблице регрессионной статистики приводятся значения:

Множественный R – коэффициент множественной корреляции ;

R - квадрат – коэффициент детерминации R 2 ;

Нормированный R - квадрат – скорректированный R 2 с поправкой на число степеней свободы;

Стандартная ошибка – стандартная ошибка регрессии S ;

Наблюдения – число наблюдений n .

В таблице Дисперсионный анализ приведены:

1. Столбец df - число степеней свободы, равное

для строки Регрессия df = k ;

для строкиОстаток df = n – k – 1;

для строкиИтого df = n – 1.

2. Столбец SS – сумма квадратов отклонений, равная

для строки Регрессия ;

для строкиОстаток ;

для строкиИтого .

3. Столбец MS дисперсии, определяемые по формуле MS = SS /df :

для строки Регрессия – факторная дисперсия;

для строкиОстаток – остаточная дисперсия.

4. Столбец F – расчетное значение F -критерия, вычисляемое по формуле

F = MS (регрессия)/MS (остаток).

5. Столбец Значимость F –значение уровня значимости, соответствующее вычисленной F -статистике.

Значимость F = FРАСП(F- статистика, df (регрессия), df (остаток)).

Если значимость F < стандартного уровня значимости, то R 2 статистически значим.

	Коэффи-циенты	Стандартная ошибка	t-cта-тистика	P-значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y	65,92	11,74	5,61	0,00080	38,16	93,68
X	0,107	0,014	7,32	0,00016	0,0728	0,142

В этой таблице указаны:

1. Коэффициенты – значения коэффициентов a , b .

2. Стандартная ошибка –стандартные ошибки коэффициентов регрессии S a , S b .

3. t- статистика – расчетные значения t -критерия, вычисляемые по формуле:

t-статистика = Коэффициенты / Стандартная ошибка.

4.Р -значение (значимость t ) – это значение уровня значимости, соответствующее вычисленной t- статистике.

Р -значение = СТЬЮДРАСП (t -статистика, df (остаток)).

Если Р -значение < стандартного уровня значимости, то соответствующий коэффициент статистически значим.

5. Нижние 95% и Верхние 95% – нижние и верхние границы 95 %-ных доверительных интервалов для коэффициентов теоретического уравнения линейной регрессии.

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное y	Остатки e
	72,70	-29,70
	82,91	-20,91
	94,53	-4,53
	105,72	5,27
	117,56	12,44
	129,70	19,29
	144,22	20,77
	166,49	24,50
	268,13	-27,13

В таблице ВЫВОД ОСТАТКА указаны:

в столбце Наблюдение – номер наблюдения;

в столбце Предсказанное y – расчетные значения зависимой переменной;

в столбце Остатки e – разница между наблюдаемыми и расчетными значениями зависимой переменной.

Пример 3.6. Имеются данные (усл. ед.) о расходах на питание y и душевого дохода x для девяти групп семей:

x
y

Используя результаты работы пакета анализа Excel (Регрессия), проанализируем зависимость расходов на питание от величины душевого дохода.

Результаты регрессионного анализа принято записывать в виде:

где в скобках указаны стандартные ошибки коэффициентов регрессии.

Коэффициенты регрессии а = 65,92 и b = 0,107. Направление связи между y и x определяет знак коэффициентарегрессии b = 0,107, т.е. связь является прямой и положительной. Коэффициент b = 0,107 показывает, что при увеличении душевого дохода на 1 усл. ед. расходы на питание увеличиваются на 0,107 усл. ед.

Оценим значимость коэффициентов полученной модели. Значимость коэффициентов (a, b ) проверяется по t -тесту:

Р-значение (a ) = 0,00080 < 0,01 < 0,05

Р-значение (b ) = 0,00016 < 0,01 < 0,05,

следовательно, коэффициенты (a, b ) значимы при 1 %-ном уровне, а тем более при 5 %-ном уровне значимости. Таким образом, коэффициенты регрессии значимы и модель адекватна исходным данным.

Результаты оценивания регрессии совместимы не только с полученными значениями коэффициентов регрессии, но и с некоторым их множеством (доверительным интервалом). С вероятностью 95 % доверительные интервалы для коэффициентов есть (38,16 – 93,68) для a и (0,0728 – 0,142) для b.

Качество модели оценивается коэффициентом детерминации R 2 .

Величина R 2 = 0,884 означает, что фактором душевого дохода можно объяснить 88,4 % вариации (разброса) расходов на питание.

Значимость R 2 проверяется по F- тесту: значимость F = 0,00016 < 0,01 < 0,05, следовательно, R 2 значим при 1 %-ном уровне, а тем более при 5 %-ном уровне значимости.

В случае парной линейной регрессии коэффициент корреляции можно определить как . Полученное значение коэффициента корреляции свидетельствует, что связь между расходами на питание и душевым доходом очень тесная.

Пакет MS Excel позволяет при построении уравнения линейной регрессии большую часть работы сделать очень быстро. Важно понять, как интерпретировать полученные результаты. Для построения модели регрессии необходимо выбрать пункт Сервис\Анализ данных\Регрессия (в Excel 2007 этот режим находится в блоке Данные/Анализ данных/Регрессия). Затем полученные результаты скопировать в блок для анализа.

Исходные данные:

Результаты анализа

Включать в отчет
Расчет параметров уравнения регрессии
Теоретический материал
Уравнение регрессии в стандартном масштабе
Множественный коэффициент корреляции (Индекс множественной корреляции)
Частные коэффициенты эластичности
Сравнительная оценка влияния анализируемых факторов на результативный признак (d - коэффициенты раздельной детерминации)

Проверка качества построенного уравнения регрессии
Значимость коэффициентов регрессии b i (t-статистика. Критерий Стьюдента)
Значимость уравнения в целом (F-статистика. Критерий Фишера). Коэффициент детерминации
Частные F-критерии

Уровень значимости 0.005 0.01 0.025 0.05 0.1 0.25 0.4

В Excel имеется еще более быстрый и удобный способ построить график линейной регрессии (и даже основных видов нелинейных регрессий, о чем см. далее). Это можно сделать следующим образом:

1) выделить столбцы с данными X и Y (они должны располагаться именно в таком порядке!);

2) вызвать Мастер диаграмм и выбрать в группе Тип – Точечная и сразу нажать Готово ;

3) не сбрасывая выделения с диаграммы, выбрать появившейся пункт основного меню Диаграмма , в котором следует выбрать пункт Добавить линию тренда ;

4) в появившемся диалоговом окне Линия тренда во вкладке Тип выбрать Линейная ;

5) во вкладке Параметры можно активизировать переключатель Показывать уравнение на диаграмме , что позволит увидеть уравнение линейной регрессии (4.4), в котором будут вычислены коэффициенты (4.5).

6) В этой же вкладке можно активизировать переключатель Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2) . Эта величина есть квадрат коэффициента корреляции (4.3) и она показывает, насколько хорошо рассчитанное уравнение описывает экспериментальную зависимость. Если R 2 близок к единице, то теоретическое уравнение регрессии хорошо описывает экспериментальную зависимость (теория хорошо согласуется с экспериментом), а если R 2 близок к нулю, то данное уравнение не пригодно для описания экспериментальной зависимости (теория не согласуется с экспериментом).

В результате выполнения описанных действий получится диаграмма с графиком регрессии и ее уравнением.

§4.3. Основные виды нелинейной регрессии

Параболическая и полиномиальная регрессии.

Параболической зависимостью величины Y от величины Х называется зависимость, выраженная квадратичной функцией (параболой 2-ого порядка):

Это уравнение называется уравнением параболической регрессии Y на Х . Параметры а , b , с называются коэффициентами параболической регрессии . Вычисление коэффициентов параболической регрессии всегда громоздко, поэтому для расчетов рекомендуется использовать компьютер.

Уравнение (4.8) параболической регрессии является частным случаем более общей регрессии, называемой полиномиальной. Полиномиальной зависимостью величины Y от величины Х называется зависимость, выраженная полиномом n -ого порядка:

где числа а i (i =0,1,…, n ) называются коэффициентами полиномиальной регрессии .

Степенная регрессия.

Степенной зависимостью величины Y от величины Х называется зависимость вида:

Это уравнение называется уравнением степенной регрессии Y на Х . Параметры а и b называются коэффициентами степенной регрессии .

ln =lna +b· lnx . (4.11)

Это уравнение описывает прямую на плоскости с логарифмическими координатными осями lnx и ln . Поэтому критерием применимости степенной регрессии служит требование того, чтобы точки логарифмов эмпирических данных lnx i и lnу i находились ближе всего к прямой (4.11).

Показательная регрессия.

Показательной (или экспоненциальной ) зависимостью величины Y от величины Х называется зависимость вида:

(или ). (4.12)

Это уравнение называется уравнением показательной (или экспоненциальной ) регрессии Y на Х . Параметры а (или k ) и b называются коэффициентами показательной (или экспоненциальной ) регрессии .

Если прологарифмировать обе части уравнения степенной регрессии, то получится уравнение

ln =x· lna +lnb (или ln =k·x +lnb ). (4.13)

Это уравнение описывает линейную зависимость логарифма одной величины ln от другой величины x . Поэтому критерием применимости степенной регрессии служит требование того, чтобы точки эмпирических данных одной величины x i и логарифмы другой величины lnу i находились ближе всего к прямой (4.13).

Логарифмическая регрессия.

Логарифмической зависимостью величины Y от величины Х называется зависимость вида:

=a +b· lnx . (4.14)

Это уравнение называется уравнением логарифмической регрессии Y на Х . Параметры а и b называются коэффициентами логарифмической регрессии .

Гиперболическая регрессия.

Гиперболической зависимостью величины Y от величины Х называется зависимость вида:

Это уравнение называется уравнением гиперболической регрессии Y на Х . Параметры а и b называются коэффициентами гиперболической регрессии и определяются методом наименьших квадратов. Применение этого метода приводит к формулам:

В формулах (4.16-4.17) суммирование проводится по индексу i от единицы до количества наблюдений n .

К сожалению, в Excel нет функции, вычисляющих коэффициенты гиперболической регрессии. В тех случаях, когда заведомо не известно, что измеряемые величины связаны обратной пропорциональностью, рекомендуется вместо уравнения гиперболической регрессии искать уравнение степенной регрессии, так в Excel имеется процедура ее нахождения. Если же между измеряемыми величинами предполагается гиперболическая зависимость, то коэффициенты ее регрессии придется вычислять с помощью вспомогательных расчетных таблиц и операций суммирования по формулам (4.16-4.17).

Линия регрессии является графическим отражением взаимосвязи между явлениями. Очень наглядно можно построить линию регрессии в программе Excel.

Для этого необходимо:

1.Открыть программу Excel

2.Создать столбцы с данными. В нашем примере мы будем строить линию регрессии, или взаимосвязи, между агрессивностью и неуверенностью в себе у детей-первоклассников. В эксперименте участвовали 30 детей, данные представлены в таблице эксель:

1 столбик — № испытуемого

2 столбик — агрессивность в баллах

3 столбик — неуверенность в себе в баллах

3.Затем необходимо выделить оба столбика (без названия столбика), нажать вкладку вставка , выбрать точечная , а из предложенных макетов выбрать самый первый точечная с маркерами .

4.Итак у нас получилась заготовка для линии регрессии — так называемая — диаграмма рассеяния . Для перехода к линии регрессии нужно щёлкнуть на получившийся рисунок, нажать вкладку конструктор, найти на панели макеты диаграмм и выбрать Ма кет9 , на нем ещё написано f(x)

5.Итак, у нас получилась линия регрессии. На графике также указано её уравнение и квадрат коэффициента корреляции

6.Осталось добавить название графика, название осей. Также по желанию можно убрать легенду, уменьшить количество горизонтальных линий сетки (вкладка макет , затем сетка ). Основные изменения и настройки производятся во вкладке Макет

Линия регрессии построена в MS Excel. Теперь её можно добавить в текст работы.

Регрессионный и корреляционный анализ – статистические методы исследования. Это наиболее распространенные способы показать зависимость какого-либо параметра от одной или нескольких независимых переменных.

Ниже на конкретных практических примерах рассмотрим эти два очень популярные в среде экономистов анализа. А также приведем пример получения результатов при их объединении.

Регрессионный анализ в Excel

Показывает влияние одних значений (самостоятельных, независимых) на зависимую переменную. К примеру, как зависит количество экономически активного населения от числа предприятий, величины заработной платы и др. параметров. Или: как влияют иностранные инвестиции, цены на энергоресурсы и др. на уровень ВВП.

Результат анализа позволяет выделять приоритеты. И основываясь на главных факторах, прогнозировать, планировать развитие приоритетных направлений, принимать управленческие решения.

Регрессия бывает:

линейной (у = а + bx);
параболической (y = a + bx + cx 2);
экспоненциальной (y = a * exp(bx));
степенной (y = a*x^b);
гиперболической (y = b/x + a);
логарифмической (y = b * 1n(x) + a);
показательной (y = a * b^x).

Рассмотрим на примере построение регрессионной модели в Excel и интерпретацию результатов. Возьмем линейный тип регрессии.

Задача. На 6 предприятиях была проанализирована среднемесячная заработная плата и количество уволившихся сотрудников. Необходимо определить зависимость числа уволившихся сотрудников от средней зарплаты.

Модель линейной регрессии имеет следующий вид:

У = а 0 + а 1 х 1 +…+а к х к.

Где а – коэффициенты регрессии, х – влияющие переменные, к – число факторов.

В нашем примере в качестве У выступает показатель уволившихся работников. Влияющий фактор – заработная плата (х).

В Excel существуют встроенные функции, с помощью которых можно рассчитать параметры модели линейной регрессии. Но быстрее это сделает надстройка «Пакет анализа».

Активируем мощный аналитический инструмент:

После активации надстройка будет доступна на вкладке «Данные».

Теперь займемся непосредственно регрессионным анализом.

В первую очередь обращаем внимание на R-квадрат и коэффициенты.

R-квадрат – коэффициент детерминации. В нашем примере – 0,755, или 75,5%. Это означает, что расчетные параметры модели на 75,5% объясняют зависимость между изучаемыми параметрами. Чем выше коэффициент детерминации, тем качественнее модель. Хорошо – выше 0,8. Плохо – меньше 0,5 (такой анализ вряд ли можно считать резонным). В нашем примере – «неплохо».

Коэффициент 64,1428 показывает, каким будет Y, если все переменные в рассматриваемой модели будут равны 0. То есть на значение анализируемого параметра влияют и другие факторы, не описанные в модели.

Коэффициент -0,16285 показывает весомость переменной Х на Y. То есть среднемесячная заработная плата в пределах данной модели влияет на количество уволившихся с весом -0,16285 (это небольшая степень влияния). Знак «-» указывает на отрицательное влияние: чем больше зарплата, тем меньше уволившихся. Что справедливо.

Корреляционный анализ в Excel

Корреляционный анализ помогает установить, есть ли между показателями в одной или двух выборках связь. Например, между временем работы станка и стоимостью ремонта, ценой техники и продолжительностью эксплуатации, ростом и весом детей и т.д.

Если связь имеется, то влечет ли увеличение одного параметра повышение (положительная корреляция) либо уменьшение (отрицательная) другого. Корреляционный анализ помогает аналитику определиться, можно ли по величине одного показателя предсказать возможное значение другого.

Коэффициент корреляции обозначается r. Варьируется в пределах от +1 до -1. Классификация корреляционных связей для разных сфер будет отличаться. При значении коэффициента 0 линейной зависимости между выборками не существует.

Рассмотрим, как с помощью средств Excel найти коэффициент корреляции.

Для нахождения парных коэффициентов применяется функция КОРРЕЛ.

Задача: Определить, есть ли взаимосвязь между временем работы токарного станка и стоимостью его обслуживания.

Ставим курсор в любую ячейку и нажимаем кнопку fx.

В категории «Статистические» выбираем функцию КОРРЕЛ.
Аргумент «Массив 1» - первый диапазон значений – время работы станка: А2:А14.
Аргумент «Массив 2» - второй диапазон значений – стоимость ремонта: В2:В14. Жмем ОК.

Чтобы определить тип связи, нужно посмотреть абсолютное число коэффициента (для каждой сферы деятельности есть своя шкала).

Для корреляционного анализа нескольких параметров (более 2) удобнее применять «Анализ данных» (надстройка «Пакет анализа»). В списке нужно выбрать корреляцию и обозначить массив. Все.

Полученные коэффициенты отобразятся в корреляционной матрице. Наподобие такой: